Quantentheorie und Gravitation

[antaris]

Um voranzukommen: verstehst du das Gegenargument

Ja im aktuellen Stand stimmt das, was aber nicht bedeutet, dass dies immer so bleibt. Ich hatte nicht vor dem Urknall und seine Gründe zu untersuchen. Wir können nur mit dem arbeiten, was schon da ist...ansonsten macht das keinen Sinn. Es sei denn, du weißt warum es einen Urknall gab und wie daraus die Geometrie entstanden ist. Nichts von dem was hier diskutiert wird, stellt irgendeine vollkommene Theorie von allem dar...das ist überhaupt nicht das Ziel. Das Ziel ist einen kleinen Schritt weiterzukommen bzw. die neuesten Ansätze zu beleuchten ob da was sinnvolles bei ist.

verstehst du Methode der Block-Spins?

Sicher nicht so, wie du das von mir einforderst...als wir hier im Forum über stabile bzw. metastabile Spinzustände diskutierten hast du ja auch nicht von mir gefordert das ganz Fundament aus dem Ärmel zu schütteln. Da hättest du genauso schon fordern können, dass ich die Phasenübergänge im Ferromagneten mittels Block-Spin berechnen können muss. Ich will mich da gar nicht rausreden...ich werde mich einlesen und komme zeitnah darauf zurück, wenn ich fragen habe...ok? Bis dahin kann die Diskussion hier meinetwegen ruhen.

 

[TomS]

Ja im aktuellen Stand stimmt das, was aber nicht bedeutet, dass dies immer so bleibt. Ich hatte nicht vor dem Urknall und seine Gründe zu untersuchen.

Wozu sonst bedarf es der QG?

Ich versuch's nochmal anders: Wenn du in eine mathematische Methode eine sehr spezielle Funktion hineinfütterst, dann kannst du mit dieser Methode nur mehr sehr spezielle Fragestellungen untersuchen. Hier: füttere ich in die FRG eine Funktion a(t) oder H(t) hinein, so kann ich sie nicht (mehr) auf die Schwarzschild-Raumzeiten mit einem schwarzen Loch anwenden; ich setze voraus, dass die FRG etwas reproduziert, das sehr nahe bei diesem a(t) liegt.

 

[antaris]

Wozu sonst bedarf es der QG?

Ich weiß es nicht. Wahrscheinlich geht es in erster Linie nur darum, das Wesen der Gravitation zu enträtseln. An welcher Stelle in der Grafik von Max Tegmark würdest du Bianconi's Theorie einsetzen? Ins Fragezeichen doch sicher nicht. Würden die Anordnungen und Verbindungen zwischen den Theorien, wie von tegmark dargestellt, nicht völlig anders geordnet werden müssen...nur allein durch die quantenrelative Entropie, der 2 Metriken in Form eines quantenmechanischen Operators? Bianconi erklärt lange nicht alles...gerade die Mikrostrukturen bleiben relativ stark offen. Wer sagt, dass es nicht wie immer ist und die Beantwortung heutiger großer Fragen zur Offenlegung morgiger große Fragen führen?

Ich versuch's nochmal anders: Wenn du in eine mathematische Methode eine sehr spezielle Funktion hineinfütterst, dann kannst du mit dieser Methode nur mehr sehr spezielle Fragestellungen untersuchen. Hier: füttere ich in die FRG eine Funktion a(t) oder H(t) hinein, so kann ich sie nicht (mehr) auf die Schwarzschild-Raumzeiten mit einem schwarzen Loch anwenden; ich setze voraus, dass die FRG etwas reproduziert, das sehr nahe bei diesem a(t) liegt.

Ich verstehe dein Argument. In diesem Bild fällt es schwer zwischen der Physik in der Kosmologie und bei den SL's zu wechseln...sozusagen entweder das eine oder das andere. Das ist nicht konsistent...stattgegeben.

In Bianconi's Arbeit ist die Standardmetrik g so definiert, dass diese eine Determinante = 1 hat. Das ist eine Symmetriebedingung, sodass u.a. Volumen und Orientierungen bei Transformationen erhalten bleiben? Sie definiert damit eine Raumzeit, die an jedem Ort und zu jeder Zeit identisch ist, sodass immer etwas vergleichbares für die induzierte Metrik G zur Verfügung steht? Ist das richtig?
Die Metrik g könnte genauso jede andere Hintergrundmetrik sein, wie z.B. FLRW. Summiert über alle Zeiten darf nur nicht gelten, dass g = G ist und die Lösungen natürlich den Beobachtungen entsprechen. In der Realität könnten die Lösungen noch andere Dynamiken aufweisen, als es Bianconi aufgeschrieben hat. Wichtig ist in dem Bild doch erstmal "nur", dass überhaupt ein Vergleich und die Ableitung einer quantenrelativen Entropie und Wirkung möglich ist. Bianconi hat in ihren Arbeiten nur die einfachste Annahme zur Form von g getroffen. Nach aktuellen Beobachtungsdaten wäre FLRW selbst ja auch nur eine vereinfachte bzw. idealisierte Sicht auf die Realität.

Bianconi erklärt nach meiner Ansicht die Effekte der Gravitation, welche von Wirkungen in einer zeitunabhängigen homogenen und isotropen Hintergrundraumzeit ausgehen. Das entspricht den Bedingungen der Umgebung, wie wir sie alltäglich erleben und das kann ja keine vollständige Beschreibung der Gravitation/Raumzeit sein. Wir wissen dass die Raumzeit selbst einer Dynamik unterliegt, was sich in der (beschleunigten) Expansion zeigt. Das ist bei Bianconi aber gar nicht berücksichtigt, also kann g nach ihrer Definition nur eine Vereinfachung der Realität darstellen oder ist das ein Fehlschluss?

 

[antaris]

Welche allgemeine Form hat eine 4D-Raumzeit-Metrik g mit Determinante = 1? Welche Form hätte g in 3+1D ADM-Form?

Ich sehe immer mehr ein, dass die Wahl des RG-Flusses in diesem Fall wirklich problematisch ein und vielleicht habe ich auch meinen Denkfehler gefunden. Eigentlich ist es ja die quantenrelative Wirkung Bianconi's und die effektive Wirkung des RG-Flusses, welche ich im Zusammenhang bringen wollte.

Ich frage mich nun, ob die quantenrelative Wirkung selbst RG-Fluss formuliert werden kann.
Zum Block-Spin. Es wird ein Gitter definiert in dessen kleinsten Skalen beispielsweise Spins eingebettet sind. Man fasst nun in 2D je 2x2 Spins in einem Block zusammen.

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wäre solche ein Block. Das ist die feinste Körnung die betrachtet werden kann. Wird eine gröbere Körnung gewählt, so ergibt sich ein Bild über mehrere Blocks und daraus eine effektive durchschnittliche Wirkung. Ist das zumindest grob richtig?

 

[antaris]

Dann erklär es mir doch mal anhand der Block-Spins für die Berechnung eines Phasenübergangs in einem Ferromagneten.

Das allein ist natürlich schon ziemlich komplex und nicht einfach für mich zu verstehen. Ich verstehe, dass es irgendwie sogar respektlos erscheinen mag diese und andere Ansätze "frei durchzuwürfeln", um zu schauen wie sie zueinander passen können...gerade wenn die Hintergründe nicht alle verstanden sind. Dieses Vorgehen stellt mich ganz sicher auch nicht auf Augenhöhe "des gleichen Verständnisses" von irgendwem.



Bezüglich der Frage von oben der nun folgende Versuch einer Antwort. Verstanden habe ich sicher nicht alles aber ich glaube es geht eher um die Fragestellung, ob ich das Prinzip verstanden habe, als um konkrete Gleichungen bzw. Berechnungen? Dazu gelesen habe ich u.a. folgendes paper.

The Algebra of Block Spin Renormalization GroupTransformations

Gestartet wird mit einer Partitionsfunktion, welche sozusagen alle relevanten Wirkungen der Mikrozustände auf einem Gitterausschnitt X- als komplexe Felder enthält. Für den Block-Spin teilt man das Gitter in Blöcke auf und definiert für jeden Block einen mittleren Spin. Dies geschieht über einen linearen Durchschnittsoperator Q. Die Integration der ursprünglichen Variablen wird dann durch die Einführung einer „Identität“ als Gaussian-Integral durchgeführt. Dabei wird die durchschnittliche Wirkung des feineren Gitter X- auf ein gröberes Gitter X+ transformiert. Ziel ist es die kurzreichweitigen Wirkungen des feinen Gitters zu unterdrücken, um durch Interation Stück für Stück zur Beschreibung eines effektiven Systems über längere Reichweiten zu gelangen. Dabei dominieren häufig nur die relevanten Operatoren – beispielsweise der Operator, der der spontanen Magnetisierung entspricht –, während irrelevante Terme zunehmend unterdrückt werden.

Nach jeder Integration der kurzreichweiteigen Freiheitsgrade entstehen Terme, welche alle Informationen über die bereits integrierten Blöcke enthalten und iterativ in eine neue rekursive und effektive Partitionsfunktion eingehen. Bei jeder Iteration werden die Kopplungsparameter (z. B. die Stärke der Wechselwirkung) aber auch das Gitter und die Felder durch den RG-Fluss mit dem Faktor k reskaliert.

Im Falle des Ferromagneten erklärt die Block-Spin-Methode, wie aus den kurzreichweitigen Mikrozuständen die langreichweitigen effektiven Zustände entstehen

- T > T_c die Spins sind ungeordnet, zufällige Anordnung, sowie nicht zueinander korreliert -> paramagnetischer Zustand.
- T < T_c die Spins sind geordnet und zueinander korreliert, z.B. größtenteils 1 -> ferromagnetischer Zustand.

Im Ferromagneten zeigt der RG-Fluss, wie bei t < t_c (unter der kritischen Temperatur) die langreichweitigen, geordneten Zustände entstehen, während oberhalb von T_c (bei T > T_c) die zufällige, paramagnetische Anordnung vorherrscht. Die divergierende Korrelationslänge im kritischen Punkt und die damit verbundenen Skalierungsgesetze können aus der linearen Analyse des RG-Flusses nahe des Fixed Points abgeleitet werden.
Mit dem RG-Fluss können kritische Exponenten berechnet werden, womit universelle Aussagen in der Nähe des kritischen Fixpunkts getroffen werden können. Oberhalb der kritischen Temperatur (T > T_c) bleibt durch den RG-Fluss die zufällige, paramagnetische Anordnung stabil. Unterhalb von T_c (T < T_c) führt die Reskalierung zu einer stabilen, geordneten (ferromagnetischen) Phase. Die Korrelationslänge im kritischen Punkt wird mittels der Reskalierung (mit k) deutlich.

Passt das so?

 

[TomS]

Ich verstehe dein Argument.

Nicht ganz.

In diesem Bild fällt es schwer zwischen der Physik in der Kosmologie und bei den SL's zu wechseln...sozusagen entweder das eine oder das andere.

Es geht um den Status des Ansatzes: handelt es sich um eine fundamentale Theorie, oder um ein spezielles Modell?

Aus einer fundamentalen Theorie erhalte ich mittels spezieller Ansätze spezielle Modelle, z.B. aus der ART plus homogen und isotrop fließender Materie die FRWL-Metrik mit einem Skalenfaktor a(t). Aber aus einem derartigen speziellen Modell erhalte ich niemals die fundamentale Theorie.

Welche allgemeine Form hat eine 4D-Raumzeit-Metrik g mit Determinante = 1? Welche Form hätte g in 3+1D ADM-Form?

Es gibt in der ART keine Bedingung an g, außer dass det(g) < 0 gilt.

In Bianconi's Arbeit ist die Standardmetrik g so definiert, dass diese eine Determinante = 1 hat.

Wo genau steht das? In der ART wäre det(g) = -1 zulässig, aber das ist bereits eine sehr einschränkende Bedingung. Zu letzterem siehe hier, allerdings ist das zunächst eine andere Theorie als die ART und hat erstmal nichts mit QG usw. zu tun:

Unimodular Gravity vs General Relativity: A status report

Unimodular Gravity is an alternative to General Relativity (GR) which, however, is so closely related to the latter that one can wonder to what extent they are different. The different behavior of the cosmological constant in the semiclassical regimes of both frameworks suggests the possible...

arxiv.org

 

[TomS]

Ich frage mich nun, ob die quantenrelative Wirkung selbst RG-Fluss formuliert werden kann.

Was ist das für ein Wortungetüm?

Zum Block-Spin. Es wird ein Gitter definiert in dessen kleinsten Skalen beispielsweise Spins eingebettet sind. Man fasst nun in 2D je 2x2 Spins in einem Block zusammen. Das ist die feinste Körnung die betrachtet werden kann. Wird eine gröbere Körnung gewählt, so ergibt sich ein Bild über mehrere Blocks und daraus eine effektive durchschnittliche Wirkung.

Ja.

Aber das und das folgende ist nicht der springende Punkt der Renormierungsgruppe.

 

[antaris]

Es geht um den Status des Ansatzes: handelt es sich um eine fundamentale Theorie, oder um ein spezielles Modell?

Aus einer fundamentalen Theorie erhalte ich mittels spezieller Ansätze spezielle Modelle, z.B. aus der ART plus homogen und isotrop fließender Materie die FRWL-Metrik mit einem Skalenfaktor a(t). Aber aus einem derartigen speziellen Modell erhalte ich niemals die fundamentale Theorie.

Welche Theorie ist aber fundamental bzw. welche Eigenschaften muss solch eine Theorie haben, um fundamental zu sein? Kann die ART z.B. fundamental sein, wenn sie in den Grenzregionen sehr starker Krümmungen singulär wird? Vielleicht habe ich auch den Begriff zu leichtfertig eingesetzt.

Es gibt in der ART keine Bedingung an g, außer dass det(g) < 0 gilt.

Wo genau steht das? In der ART wäre det(g) = -1 zulässig, aber das ist bereits eine sehr einschränkende Bedingung. Zu letzterem siehe hier, allerdings ist das zunächst eine andere Theorie als die ART und hat erstmal nichts mit QG usw. zu tun:

Bianconi definiert die Standardmetrik g z.B. in Gravity from Entropy wie folgt unter Gleichung 2:

One striking consequence of this definition is that the
eigenvalues of the metric gμν are all identically equal to
one.

Vielleicht habe ich es falsch verstanden aber die Determinate ist das Produkt aller Eigenwerte? Wenn alle Eigenwert gleich 1 sind, dann ist das Produkt aller Eigenwerte und damit die Determinante = 1? Ergibt sich det(g) < 0 aus der effektiven Metrik bzw. dem quantenmechhanischen Metrik-Operator Ĝ zwischen g und G?

 

[antaris]

Was ist das für ein Wortungetüm?

Mir ging es einfach darum, dass Bianconi eine quantenrelative Entropie und effektive Wirkung zwischen g und G definiert. Mein Gedanke war, dass die Definition der Energie im Verlauf der Zeit in gekrümmten Räumen problematisch ist. Energie * Zeit = Wirkung. Wird eine Hyperfläche lt. ADM betrachtet, so entspricht das einem inifintisimalen Ausschnitt im zeitlichen Verlauf. Auf der Hyperfläche gibt es keinen zeitlichen Verlauf, da alle räumlichen Punkte raumartige Abstände haben aber man kann für jede Hyperfläche eine gesamte Energie definieren, welche im zeitlichen Verlauf zwischen den Hyperflächen variiert. Ich dachte es wäre einfacher über eine mögliche QG nur auf einzelnen Hyperflächen zu diskutieren, als zusätzlich noch die zeitliche Entwicklng selbst mitbetrachten zu müssen. Nach meiner Ansicht ist Zeit ein emergentes Phänomen, welches nur dadurch entsteht, dass Austausch von Energie zwischen physikalischen Systemen periodisch oder statistisch wiederkehrende Bewegungen oder Effekte verursacht.

Ich verstehe gerade nicht warum die unterschiedliche Energieverteilung je Hyperfläche nicht die Evolution der Lapse-Funktion und des Shift-Vektors beeinflussen soll oder das spezielle "Blättern" (das slicing) der Raumzeit nicht näher daran liegen sollte, wie die Natur wirklich funktioniert. Warum nicht über andere Dynamiken oder neue Zusammenhänge innerhalb einer etablierten Theorie nachdenken? Gibt es handfeste Gründe, warum sowas nicht möglich sein kann?

Aber das und das folgende ist nicht der springende Punkt der Renormierungsgruppe.

Richtig. Es geht eigentlich um den Fluss der Kopplungen, Massen usw. und um das analysieren der Fixpunkte des betrachteten Systems.
Der ursprüngliche Ansatz des RG-Fluss konnte aber schon auf diverse Bereiche verschiedener Disziplinen unterschiedlich angewendet werden. Im hier diskutierten Zusammenhang ist da natürlich die asymptotic safe gravity zu nennen, welche wir hier vorher kurz diskutierten. Vielseitige Anwendbarkeit würde ich z.B. ebenso als Eigenschaft einer fundamentalen Theorie ansehen.

 

[TomS]

Bianconi definiert die Standardmetrik g z.B. in Gravity from Entropy wie folgt unter Gleichung 2:

Nein, in (2) geht es um G, nicht um g.

Ich habe schon mal angemerkt, dass sie nicht ohne g auskommt und dass G eben nicht g ersetzt.

 

[antaris]

Nein, in (2) geht es um G, nicht um g.

Das verstehe ich nicht. Sie schreibt im Text unter (2) eindeutig g_μν.

Ich habe schon mal angemerkt, dass sie nicht ohne g auskommt und dass G eben nicht g ersetzt.

Das habe ich auch nicht behauptet. Sie definiert aber die quantenrelative Entropie an jedem Punkt, mittels beider Metriken.

This work greatly expands on previous results [44] ob-
tained in the discrete setting by the same author. On
one side, here a continuum and fully Lorentz invariant
theory is proposed. This progress is based on the devel-
opment of the suitable mathematical framework to define
the Lorentz invariant entropy and cross-entropy between
the metric of the spacetime and the metric induced by
the matter fields. On the other side, here the relation of
this statistical mechanics/information theory action with
the Einstein-Hilbert action [46, 47] is established defining
a clear connection to gravity. Two fundamental aspects
of this work that are not present in Ref. [44], are relevant
to clearly relate this approach to gravity. First, this work
considers a local theory, defining the entropy of the met-
ric at each point of spacetime, while the previous work
considers only the entropy associated to the full metric of
the higher-order network. The present local theory allows
a closer connection to gravity and constitutes a step for-
ward to establish the connection between this approach
and the quantum theory of entanglement.
Secondly, by adopting the continuum limit, in this work the intrin-
sic difficulty related to the definition of the curvature of
networks, simplicial and cell complexes is avoided.

As a reference for the notation used, the reader can refer to Table I. Recalling
that the metric g has all the eigenvalues equal to one, it
follows that the entropy of the metric g is null, i.e.
H = Trg ln g−1 = 0. (9)

The fundamental assumption of the present theory is
that spacetime is endowed with two metrics: the met-
ric g fully determining the spacetime geometry and the
metric induced by the matter fields G that fully capture
the interplay between matter fields and geometry. Leav-
ing the detailed discussion about the metric induced by
the matter fields to the next paragraph, we postulate
that the action should explicitly express the relation be-
tween these two metrics and their reciprocal coupling. By
embracing a statistical mechanics approach we consider
the Lagrangian L given by the quantum relative entropy
between the metric g and the metric G induced by the
matter field defined as

L = −Tr g ln g−1 + Tr g ln G−1. (10)

Using H = 0 we thus obtain:
L = Tr g ln G−1. (11)

 

[TomS]

Das verstehe ich nicht. Sie schreibt im Text unter (2) eindeutig g_μν.

Das ist entweder ein Flüchtigkeitsfehler bzw. eine irreführende Formulierung, oder ganz einfach falsch; sehr wahrscheinlich ersteres.

(2) ist eine Eigenwertgleichung für G_μ^ν bzw. Gg^{-1}, das schreibt sie selbst.

Angewandt auf g müsste sie g_μ^ν schreiben, dafür ist die Aussage trivial.

In d räumlichen Dimensionen und einer flachen Raumzeit ist g_μν = (+1, -1 … -1) wobei -1 d-mal auftritt; in d = 3 ist also det(g) = -1, weswegen du immer wieder Wurzel(-det g), Wurzel |g| o.ä. findest. Das ist aber nicht unmittelbar auf die Definition der Determinante als Produkt von Eigenwerten zu übertragen, da du für diese eine Eigenwertgleichung

Tensor * Vektor = Eigenwert * Vektor

benötigst. Nun steht entweder a) links ein ko- und rechts der zugehörige kontravariante Vektor – was seltsam ist – dann folgt für g das oben gesagte det(g) = -1 in drei Dimensionen. Oder b) es steht links und rechts ein kovarianter Vektor, dann muss aber der Tensor gemischte Indizes aufweisen, und in diesem Sinne (b) verwendet sie es, d.h. G_μ^ν bzw. Gg^{-1}.

Jedenfalls ist diese Kleinigkeit irrelevant, da sie dies im folgenden nie verwendet. Bei ihr geht es immer um die Eigenwerte von Gg^{-1}.

Wenn du aber nach den Eigenschaften der Determinante der Metrik g fragst, erhältst du immer Antworten im Sinne von (a). Daran ändert sich auch durch die Einführung von G nichts, da g immer im Sinne der ART verwendet wird.

 

[antaris]

Ich habe die AI dazu gefragt:

"One striking consequence of this definition is that the eigenvalues of the metric

are all identically equal to one."

Die Aussage von Bianconi bedeutet, dass für einen allgemeinen Rang-2-Tensor

die Eigenwertgleichung wie folgt definiert ist:

.


Speziell für den Fall, dass der Tensor mit der Metrik selbst identifiziert wird

, folgt unmittelbar

,


woraus sich direkt ergibt, dass alle Eigenwerte der Metrik identisch Eins sind, also

.


Dies verdeutlicht, dass durch die gewählte Definition die Metrik

stets als Identitätstensor fungiert.

 

[TomS]

Das ist genau der Punkt den ich oben meinte.

Für die ko- bzw. kontravariante Metrik ist die Aussage falsch, für gemischte Indizes trivial.

Die KI kapiert das auch nicht

 

[antaris]

Das ist genau der Punkt den ich oben meinte.

Für die ko- bzw. kontravariante Metrik ist die Aussage falsch, für gemischte Indizes trivial.

Sie verwendet genau diese Definition in verschiedenen papern.

Die AI bestätigt deine Kritik aber...:

Die Kritik ist berechtigt und klärt auf, dass die Aussage der Eigenwerte identisch Eins nur für den gemischt indizierten Tensor zutrifft und dort
trivial ist.

Die Kritik verfehlt jedoch den eigentlichen Kontext von Bianconis Aussage, denn die Eigenwertdefinition erfolgt explizit über die Kontraktion mit der inversen Metrik und betrifft somit nur den gemischten Tensor, wo die Aussage korrekt und trivial ist.

Die Kritik betont dennoch zu Recht die Bedeutung einer klaren Offenlegung dieser Definitionswahl.

Zusammenfassend liefert die Kritik eine hilfreiche Präzisierung: Bianconis Aussage ist nicht allgemeingültig für die Metrik allein, sondern erst durch ihre
spezielle mathematische Konstruktion gerechtfertigt. Dies ist eine wichtige Erinnerung daran, die Definition von Eigenwerten klar und deutlich offenzulegen und
richtig zu interpretieren.

Wie ist das dann aber letztendlich zu interpretieren?

 

[Bernhard]

Wie ist das dann aber letztendlich zu interpretieren?

Im Abschnitt A legt Bianconi so eine Art Vokabular für Tensoren vom Rang 2 fest, um dieses Vokabular dann später nutzen zu können. Das "positively defined" muss vermutlich auch "positively definit" heißen: https://de.wikipedia.org/wiki/Definitheit

Davon abgesehen, kann ich nur Tom bestätigen. Der besagte Satz ist für sich alleine genommen schlicht "Bullshit". Er steht übrigens auch im klaren Widerspruch zu Satz 1 des Abschnittes A.

 

[antaris]

In The quantum relative entropy of the Schwarzschild black-hole and the area law im Abschnitt II. BOLTZMANN LEGACY AND THE
QUANTUM RELATIVE ENTROPY FOR GRAVITY verwendet sie den Begriff genauso aber ja es könnte sein.

Im hier genannten paper zeigt sie, wie aus g und G die quantenrelative Entropie hergeleitet wird.
Unter (15) steht:

Thus the quantum relative entropy counts the number of
degrees of freedom of the metric and is associated to the
volume over which the integral is performed

Dabei ist √-|g| die gesamte Metrik und somit das Volumen? W(r)dr bewirkt dann sozusagen die gravitativen Effekte über den Radius r des Volumen von g (über das dann integriert wird)? In dem Abschnitt definiert sie auch die topologischen Metriken g und G, mit je Indizes unten 0 bis 2 als Skalar-, Vektor- und Zwei-Form-Metriken?

 

[Bernhard]

Davon abgesehen, kann ich nur Tom bestätigen. Der besagte Satz ist für sich alleine genommen schlicht "Bullshit". Er steht übrigens auch im klaren Widerspruch zu Satz 1 des Abschnittes A.

Sorry. Falsch. Es geht um die speziell definierten Eigenwerte. Setzt man anstelle von G die Metrik ein, so steht auf der linken Seite das Kronecker-Delta mit gemischten Indizes und damit sind alle Eigenwerte gleich 1.

Kurioserweise widerspricht diese Aussage dann aber der Gleichung (1). Das ist etwas eigenartig, weil man dann je nach Definition der Eigenvektoren unterschiedliche Eigenwerte bekommt. Notfalls muss angegeben werden, zu welcher Gleichung verwendete Eigenwerte gehören.

Die AI hat es richtig erklärt. Chapeau.

 

[Bernhard]

Dabei ist √-|g| die gesamte Metrik und somit das Volumen?

Mit √-|g| kann ein Volumenelement für eine 4D-Integration definiert werden. √-|g| d4x ist dieses Volumenelement.

 

[Petz]

Dabei ist √-|g| die gesamte Metrik und somit das Volumen?

Das 4D Volumenelement inklusive Zeit (das ist in allen Koordinaten gleich), aber für das räumliche 3D Volumen auf der in den jeweiligen Koordinaten verwendeten Hyperfläche konstanter Zeit lässt man das gtt weg.

Das räumliche Volumen eines schwarzen Lochs auf der zeitlichen Hyperfläche die in Raindrop Koordinaten wo man ein euklidsches grr, gθθ & gφφ hat verwendet wird, also mit freifallenen Uhren und Linealen deren Ekin=-Epot ist gemessen, ist z.B. ganz normal V=4πr³/3.