Quantentheorie und Gravitation

Rainer

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Insbs. der letzte Punkt ist eine Todsünde.
das ist nicht richtig, denn die Inflation löst Probleme, für die es vorerst keine bessere Lösung gibt.
Dabei basiert die Inflation auf nachgewiesenen Mechanismen, jedenfalls solange die beschleunigte Expansion nicht wieder widerlegt würde.
Die Theorie des Urknalls liefert auch keine "Vorhersage". Sie ist nur eine Extrapolation und benötigt auch noch die inflation.

Die Inflation liefert hingegen genau die Vorhersage der Expansion, der Energiedichte und der Flachheit, und löst das Horizontproblem widerspruchsfrei, wofür sie entwickelt wurde. Dass diese Vorhersagen sofort erfüllt wurden, ist ja kein Gegenargument.

Was Du ansprichst, betrifft lediglich die konkreten Lösungen in Form des Inflatonfeldes etc, diese sind nicht konkurrenzfrei und beseitigen nicht mehr Probleme als sie neu erschaffen. Erst wenn die Natur der DE geklärt wäre, könnte man da ins Detail gehen und sich auf das Gelernte berufen. Allein der Vergleich mit dem Higgsfeld erscheint mir nicht ausreichend, solange damit nicht einmal DE erklärt werden kann.

löst letztlich keine Probleme sondern verschiebt sie nur
So hat Kepler die Keplerkonstante C gefunden, eine sehr erfolgreiche Methode.
So hat Gauß sein k ~ ²G gefunden, eine sehr erfolgreiche Methode.
So hat Millikan e gefunden, eine sehr erfolgreiche Methode.
So hat Planck h gefunden, eine sehr erfolgreiche Methode.
So hat Clausius S gefunden, eine sehr erfolgreiche Methode.
So werden alle Naturkonstanten gefunden.

Aus der Dynamik folgt, jedoch ohne Einführung eines neuen Feldes, ein sinnvoller Weg.
Wenn es ein Modell eines "automatisch" veränderlichen Wertes von Λ gibt, wäre das sicher sehr erfolgreich. Dafür käme zB die Hawkingstrahlung zu Lasten von Λ in Betracht.
 
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TomS

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Die Inflation löst kein einziges Problem, sie ersetzt zwei Probleme durch einige andere.


Zu den Vorhersagen:

Die ART (= die Dynamik einer Riemannschen Mannigfaltigkeit plus Äquivalenzprinzip) liefert eine Vereinheitlichung der SRT mit der Newtonschen Gravitationstheorie – so wurde sie konstruiert; ein erster Konsistenzcheck ist die Periheldrehung.

Erste Vorhersagen der ART sind die korrekte Lichtablenkung im Gravitationsfeld inkl. Gravitationslinsen, die gravitative Zeitdilatation sowie die Rotverschiebung (gravitativ, kosmologisch), des Weiteren u.a. Frame Dragging (Lense-Thirring) – dies alles ohne Erweiterung, Fine-Tuning, zusätzliche Hypothesen.

Die ART liefert die Vorhersage der Gravitationswellen, indirekt bestätigt anhand von Pulsaren, direkt durch Ligo – ohne Adaption oder Einführung von Irgendwas.

Die ART plus bereits bekannte Dynamiken von Materie und Strahlung liefert die Vorhersage eines expandierendes Universum, nicht gelitten von Einstein jedoch bestätigt durch Hubble; dazu zählt auch die Vorhersage des CMB – ohne Adaption oder Einführung von Irgendwas.

Die ART liefert außerdem die Vorhersage der Dynamik von Sternen, Supernovae, Neutronensternen, Akkretionsscheiben, Lichtablenkung an Kerr-SLs … allesamt bestätigt – und allesamt ohne Adaption.

Zusammenfassung:

ART erfordert als Input ein Gesetz für die Dynamik einer Riemannschen Mannigfaltigkeit plus Äquivalenzprinzip; der Output d.h. die daraus folgenden Vorhersagen stehen oben. Sie sind allesamt nicht-trivial, überraschend, neuartig, wurden bei der Konstruktion der ART nicht in Betracht gezogen, sind robust und ohne Fine-Tuning gültig, erfordern keine zusätzlichen unbestätigten Hypothesen, und folgen aus einer einzigen Formel ohne einen einzigen freien Parameter!! (da G bekannt ist und Lambda für die gebannten Punkte irrelevant ist)


Die Inflation liefert für einige von unendlich vielen möglichen Modellen die korrekten Werte für das Winkelspektrum des CMB – weil Anfangsbedingungen und Modelle so konstruiert wurden, dass genau das dieses Winkelspektrum wieder herauskommt. Würden wir morgen andere Messdaten haben, würde man die Modelle anders konstruieren bzw. anpassen und erzielte diese neuen Werte.

Zusammenfassung:

Im Gegensatz zur ART liefert die Inflation Null Vorhersagen, nur wieder die Inflation. Das ist nicht neu, nicht überraschend sondern trivial. Was sie liefert, wurde bei der Konstruktion der Modelle betrachtet – die bekannten Beobachtungsdaten. Im Gegensatz zur ART benötigt sie die unbestätigte Hypothese des Inflatonfeldes. Und im Gegensatz zur ART folgt dies alles nicht aus einer einzigen Formel ohne freien Parameter, sondern nach Sichtung tausender Modelle!!

Die Inflation als Ganzes ist also keine wissenschaftliche Theorie im Sinne Poppers.


Zum Vergleich: Maxwell hat eine Theorie konstruiert. Einstein hat eine Theorie konstruiert. Feynman, Schwinger und Dyson haben ein Modell (die QED) für die QFT konstruiert … die Astrophysiker haben hunderte oder gar tausende Modellen mit anpassbaren Parametern konstruiert, von denen einige Dutzend den Output liefern, der dem zuvor bekannten Input entspricht.



The inflationary paradigm is highly flexible. It’s easy to invent versions of inflation that can explain anything and everything. Therefore, inflation is not falsifiable. It is not science.
(nach Paul Steinhardt)

Inflationary cosmology is just one of the many examples where we have a theory that is very flexible, so flexible that it can be adjusted to accommodate anything that happens.
(nach Sir Roger Penrose)

If we can explain any observation with some version of inflation, then it's not falsifiable, and it's not science.
(nach David Gross)
 
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antaris

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Kurzum haben sich, im Gegensatz bei den Postulaten der Astrophysikern, alle Modelle und der daraus folgenden Vorhersagen der Elementarteilchenphysiker empirisch bestätigt?
Evtl. ist die Idee, dass die Inflation o.ä. Aus der Dynamik folgt, jedoch ohne Einführung eines neuen Feldes, ein sinnvoller Weg. Zur Erklärung der Suprafluidität musste auch kein neues Feld eingeführt werden – es war schon da, als Quantenfeld der Gitterschwingungen mit den entsprechenden Pseudo-Teilchen, genannt Phononen. Die LQG hält da evtl. Lösungsansätze bereit.
Mit den Phononen habe ich mich noch nicht beschäftigt.
Aber evtl. ist die Idee "QFT + ART" bzw. "QFT + QG" gar nicht sinnvoll.

I began to realize that trying to quantize gravity might be like trying to quantize a fluid—perhaps the notion of quantizing spacetime itself was misguided … Maybe spacetime is an emergent phenomenon, not something fundamental. Perhaps trying to apply the same quantization rules to it as we do to other fields might be missing the point entirely.
(nach Susskind)
Ich vermute zwischen Raumzeit und Vakuum einen direkten Zusammenhang, sodass die Berechnungen der Raumzeit im Bezug zur ART + SRT eigentlich den (hauptsächlichen) Inhalt der Raumzeit, also das Vakuum und die Materie beschreiben. Es kommt mir befremdlich vor nur mit einem künstlich eingeführten Koordinantensystem arbeiten "zu müssen". Ich dachte da immer an eine Quanten-Entität (welcher Art auch immer), welche im Grunde aufgrund dessen Struktur ein natürliches Koordinatensystem und somit eine berechenbare Raumzeit vorgibt. Das Vakuum als Entität bietet sich da m.E. sehr direkt an.
Es ist nach meinem Verständnis
  • die Singularität selbst, die jedoch aus der Perspektive des Hawking-Effekts nicht zum Tragen kommt
Gibt es tragbare Ansätze ohne Singularitäten, die dann noch im Einklang mit der ART sind?
  • das Problem, wie die Hilberträume bei Anwesenheit von Horizonten definiert werden und wie sie zusammenhängen (evtl. hat Wald das gelöst, aber den gesamten Problemkomplex wohl nicht)
Also sollte man Wald zumindest nicht ganz nach hinten stellen
  • die Rückwirkung der QFT auf die Raumzeit
Ist damit die Krümmung der Raumzeit durch die Quantenfelder gemeint?
Aber wenn Susskind recht hat, sitzt das Problem viel tiefer. Wenn Raumzeit und Gravitation ein emergentes Quantenphänomen darstellen, ist es letztlich falsch *, eine Quantenfeldtheorie auf einer Raumzeit zu definieren.
Ja das macht m.E. sowieso Sinn, da die Koordinatensysteme der Raumzeit künstlich sind.
Nehmen wir an, zumindest die Grundlagen der Quantenmechanik blieben weiterhin gültig. Nun formulieren wir ein System aus vielen quantenmechanischen Freiheitsgraden. Wenn wir es richtig machen, resultiert daraus nach diversen Näherungen eine effektive ** Theorie für Flüssigkeiten ***. Warum könnte nicht aus einem geeigneten quantenmechanischen System eine effektive Theorie der klassischen Gravitation resultieren? Diese wäre dann evtl. nur ein Nebenprodukt makroskopischer Quantensysteme.
Das macht es aber dann auch notwendig die Raumzeit, das Vakuum, die Materiefelder usw. von einer fundamentaleren und damit neu zu definierenden Entität abzuleiten. Ob diese Entität dann nachweisbar ist halte ich für unwahrscheinlich. Ich glaube es ist auch keine schlechte Idee die Singularitäten "irgendwie" loszuwerden. Dazu muss m.E. das Konstrukt Raumzeit und der Zeitpfeil (Richtungen, Anfang, Ende) auf den "Prüfstand" gestellt werden, denn wenn die Raumzeit, z.B. als Quantenfeld, emergent aus etwas fundamentaleren hervorgeht, so gilt das wohl für Raum und Zeit. Nur ist es dem Vorstellungsvermögen entgegen nicht wirklich beschreibbar wie eine Theorie ohne Raum und Zeit auskommen soll.
In meinem naiven glauben kann ich mir aber schon irgendwie eine isotrope und homogene fundamentale (Quanten-)Struktur vorstellen, innerhalb derer der Begriff Raum und Zeit bei Energiedichten nahe der Planck-Skala an Bedeutung verliert.

@Rainer
Ich habe es so verstanden, dass im Prinzip genau die Größen an den Beginn der Inflationstheorie hineingeworfen wurden, damit am Ende ein passendes Ergebnis herauskommt, welches aber keine Aussagekraft hat.
 

antaris

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In meinem naiven glauben kann ich mir aber schon irgendwie eine isotrope und homogene fundamentale (Quanten-)Struktur vorstellen, innerhalb derer der Begriff Raum und Zeit bei Energiedichten nahe der Planck-Skala an Bedeutung verliert.
Vom abstract her und ohne mehr gelesen zu haben, ist mein naiver glaube nah an folgendem paper aus Juli 2024:

Quantum Null Geometry and Gravity
Abstract:
In this work, we demonstrate that quantizing gravity on a null hypersurface leads to the emergence of a CFT associated with each null ray. This result stems from the ultralocal nature of null physics and is derived through a canonical analysis of the Raychaudhuri equation, interpreted as a constraint generating null time reparametrizations. The CFT exhibits a non-zero central charge, providing a mechanism for the quantum emergence of time in gravitational systems and an associated choice of vacuum state. Our analysis reveals that the central charge quantifies the degrees of freedom along each null ray. Throughout our investigation, the area element of a cut plays a crucial role, necessitating its treatment as a quantum operator due to its dynamic nature in phase space or because of quantum backreaction. Furthermore, we show that the total central charge diverges in a perturbative analysis due to the infinite number of null generators. This divergence is resolved if there is a discrete spectrum for the area form operator. We introduce the concept of `embadons' to denote these localized geometric units of area, the fundamental building blocks of geometry at a mesoscopic quantum gravity scale.
Die "lokalisierten Blöcke der Geometrie" finde ich super.

Wieder meine naiven Gedanken: Maximale Energiedichten "pressen" die Energien der nicht-lokalisierten Quantenfelder in diese Blöcke (größtmöglicher aber endlicher Energiedichte) und diese stellen maximal lokalisierte Quantensysteme dar (mit minimaler Unschärfe). Damit erhält man eine maximal isotrope und homogene Struktur (und die maximale Energiedichte unterbindet Singularitäten).

Nach etwas mehr lesen: Wald bzw. seine OPE's sind auch wieder vertreten. Der Ansatz scheint insgesamt aber vollkommen anders zu sein.
 
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TomS

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… wenn Susskind recht hat, sitzt das Problem viel tiefer. Wenn Raumzeit und Gravitation ein emergentes Quantenphänomen darstellen, ist es letztlich falsch *, eine Quantenfeldtheorie auf einer Raumzeit zu definieren.

Warum könnte nicht aus einem geeigneten quantenmechanischen System eine effektive Theorie der klassischen Gravitation resultieren? Diese wäre dann evtl. nur ein Nebenprodukt makroskopischer Quantensysteme.

* das würden dann z.B. für die Loop Quantum Gravity gelten …
Letzteres muss nicht zwingend der Fall sein.

Die LQG gewinnt man zwar im ersten Schritt durch eine Art Quantisierungsprozedur einer Mannigfaltigkeit, jedoch hat das Endergebnis – die Spinnetzwerke – mit einer Mannigfaltigkeit nichts mehr zu tun. In der Folge erscheint Letztere doch eher als emergentes Phänomen für gewisse Grenzfälle.
 

TomS

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Kurzum haben sich, im Gegensatz bei den Postulaten der Astrophysikern, alle Modelle und der daraus folgenden Vorhersagen der Elementarteilchenphysiker empirisch bestätigt?
Im Rahmen des Standardmodells der Elementarteilchenphysik ja. Darüberhinaus nein, nichts. Das "darüberhinaus" wie SUSY, GUT etc. ist jedoch auch ausschließlich theoretisch motiviert; es gibt keine experimentellen Indizien für Physik jenseits dieses Standardmodells, lediglich theoretische, dass es so eben nicht die endgültige Geschichte sein kann.

Mit den Phononen habe ich mich noch nicht beschäftigt.
War nur ein Beispiel, um zu zeigen, dass oft Phänome existieren, die man nicht erst fordern sondern nur entdecken muss.

Gibt es tragbare Ansätze ohne Singularitäten, die dann noch im Einklang mit der ART sind?
Nach den Theoremen von Hawking und Penrose sind in der ART Singularitäten unvermeidlich.

Das könnte in einfachen Erweiterungen wie der Einstein–Cartan-Theorie anders sein.

Also sollte man Wald zumindest nicht ganz nach hinten stellen.
Sicher nicht.

Ist damit die Krümmung der Raumzeit durch die Quantenfelder gemeint?
Ja.

Ja das macht m.E. sowieso Sinn, da die Koordinatensysteme der Raumzeit künstlich sind.
Das hat nichts mit Koordinatensystemen zu tun.

Das macht es aber dann auch notwendig die Raumzeit, das Vakuum, die Materiefelder usw. von einer fundamentaleren und damit neu zu definierenden Entität abzuleiten.
Ja.

Ein ebenfalls interessanter Ansatz könnte die Twistor-Theorie sein.
 

TomS

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Nach etwas mehr lesen: Wald bzw. seine OPE's sind auch wieder vertreten.
Die sind nicht von Wald, sondern von Wilson (1964), und sie existieren in jeder QFT.

Der Ansatz scheint insgesamt aber vollkommen anders zu sein.
Ja.

Der wesentliche Unterschied ist, dass ich nicht mal ansatzweise verstehe, was Freidel da eigentlich bezweckt.

Aber der sitzt am Perimeter Institute, da muss das wohl so sein 😀
 
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antaris

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Im Rahmen des Standardmodells der Elementarteilchenphysik ja. Darüberhinaus nein, nichts. Das "darüberhinaus" wie SUSY, GUT etc. ist jedoch auch ausschließlich theoretisch motiviert; es gibt keine experimentellen Indizien für Physik jenseits dieses Standardmodells, lediglich theoretische, dass es so eben nicht die endgültige Geschichte sein kann.
Sind denn aktuell Projekte am laufen, die von experimenteller Seite etwas mehr Licht ins dunkle bringen können? Euclid ist ja letztes Jahr gestartet und vermisst die Expansanion des Universums. Das James-Webb-Teleskop hat ja schon gezeigt, dass das Standardmodell der Kosmologie in den frühen Phasen der Galaxienentwicklung angepasst werden muss.
War nur ein Beispiel, um zu zeigen, dass oft Phänome existieren, die man nicht erst fordern sondern nur entdecken muss.
Wenn es so einfach wäre was neues zu entdecken.
Nach den Theoremen von Hawking und Penrose sind in der ART Singularitäten unvermeidlich.
Das könnte in einfachen Erweiterungen wie der Einstein–Cartan-Theorie anders sein.
Also je nach Modell mehr oder weniger unvermeidlich.
Ist die Rückwirkung auf die Raumzeit komplett ungelöst oder wie funktioniert das in den Standard-Modellen?
Das hat nichts mit Koordinatensystemen zu tun.
Auch nicht die Definition von Abstände?
Ein ebenfalls interessanter Ansatz könnte die Twistor-Theorie sein.
Ein kurzes sichten des deutschen Wiki Artikels hat bei mir Verwirrung gestiftet.
Die sind nicht von Wald, sondern von Wilson (1964), und sie existieren in jeder QFT.
Oh, ok. Ich hatte in dem Bezug zuerst davon in den papers von Wald gelesen und dachte er ist der Urheber.
Der wesentliche Unterschied ist, dass ich nicht mal ansatzweise verstehe, was Freidel da eigentlich bezweckt.
Na ja, es war ein Beispiel für das was ich meine. Worauf ich hinaus will, ist eine geometrische Lösung des Problems, welche sich nur aus einem Zustand ableiten lässt, der sich aber unter uns gewohnten Bedingungen nicht herstellen lässt.
Aber der sitzt am Perimeter Institute, da muss das wohl so sein 😀
So schlimm?
 

ralfkannenberg

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Der wesentliche Unterschied ist, dass ich nicht mal ansatzweise verstehe, was Freidel da eigentlich bezweckt.

Aber der sitzt am Perimeter Institute, da muss das wohl so sein 😀
Hallo zusammen,

wieder einmal eine Episode aus dem Studium - da kam es öfters vor, dass der Proefssor die Aussage tätigte, dass er die Formel, die man gerade an die Tafel geschrieben hatte, "nicht versteht".

Gerade in einer Prüfung war es dann ein ganz schlechter Ansatz, daraus zu folgern, dass der Professor dumm sei. Der bessere Ansatz war, die Formel sofort mit dem Schwamm auszuwischen und erneut herzuleiten; dafür gab es dann in der Regel auch keine Punktabzüge.


Sabine Hossenfelder hat übrigens auch am Perimeter Institute geforscht.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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Zum Vergleich: Aus jedem Feld, das die Elementarteilchenphysiker im Standardmodell eingeführt haben (z.B. die dritte Generation von Fermionen) folgt nicht nur die Lösung eines Problems (CP-Verletzung) sondern buchstäblich dutzende neue Vorhersagen, die im Lauf der Jahrzehnte alle bestätigt wurden, insbs der Nachweis all dieser Teilchen.
Hallo Tom,

ich wusste noch nicht, dass man mit der 3.Generation von Fermionen das Problem der CP-Verletzung lösen kann.

Kannst Du dazu bei Gelegenheit etwas mehr schreiben - gerne auch in einem eigenen Thread ?


Freundliche Grüsse, Ralf


P.S. dieses "ich wusste das noch nicht" ist bitte wörtlich zu nehmen und kein Code dafür, dass ich Deine Aussage irgendwie in Zweifel ziehen würde.
 

TomS

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… was ist mit den Neutrino-Oszillationen: gibt es dazu Ansätze innerhalb des Standardmodells ?
Die Neutrino-Oszillationen folgen aus der Flavor-Mischung für Massen ungleich Null. Das ist streng genommen auch schon außerhalb des des Standardmodells, aber eigtl. keine echte Herausforderung.

… ich wusste noch nicht, dass man mit der 3.Generation von Fermionen das Problem der CP-Verletzung lösen kann.

Kannst Du dazu bei Gelegenheit etwas mehr schreiben - gerne auch in einem eigenen Thread ?
Sorry, da bin ich dir keine große Hilfe. Evtl. sollten wir gemeinsam diese Erklärung nachvollziehen:
https://en.wikipedia.org/wiki/Cabibbo–Kobayashi–Maskawa_matrix#General_case_construction
 

ralfkannenberg

Registriertes Mitglied
Sorry, da bin ich dir keine große Hilfe. Evtl. sollten wir gemeinsam diese Erklärung nachvollziehen:
https://en.wikipedia.org/wiki/Cabibbo–Kobayashi–Maskawa_matrix#General_case_construction
Hallo Tom,

in der Wikipedia wird zu dieser Thematik eine Arbeit aus dem Jahre 1973 verlinkt, die mir vielversprechend erscheint:

CP-Violation in the Renormalizable Theory of Weak Interaction (Makoto Kobayashi, Toshihide Maskawa).

Sie ist übrigens frei einsehbar, z.B. diesen Link anklicken oder auf das PDF-Symbol klicken.

This is the most natural choice in the quartet model. (...) no CP-violations occur in this case. It should be noted, however, that this argument does not hold when we introduce one more fermion doublet with the same charge assignment. This is because all phases of elements of a 3 X 3 unitary matrix cannot be absorbed into the phase convention of six fields. This possibility of CP-violation will be discussed later on.
Bemerkung: fett hervorgehoben von mir

Am Ende dieser Arbeit wird auch noch eine Arbeit von H. Georgi and S. L. Glashow aus dem Jahre 1972 referenziert, die ebenfalls das Problem der CP-Verletzung lösen würde: Gauge Theories Without Anomalies (Howard Georgi and Sheldon L. Glashow)

Dazu gibt es auch Kommentare, z.B.

Comments on Gauge Theories Without Anomalies (Murat Günaydin)
Comment on Gauge Theories Without Anomalies (J. Banks)


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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TomS

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Ist die Rückwirkung auf die Raumzeit komplett ungelöst oder wie funktioniert das in den Standard-Modellen?
Gar nicht.

Die rechte Seite der Einstein-Gleichung ist der klassische Energie-Impuls-Tensor. Das ist für die konsistente Rückwirkung einer quantenmechanischen Theorie auf die Raumzeit nicht ausreichend.

Ein kurzes sichten des deutschen Wiki Artikels hat bei mir Verwirrung gestiftet.
Das ist bei der deutschen Wikipedia oft der Fall.

Anyway – die Idee ist ziemlich abstrakt. Der Charme ist, dass sie ein paar Dinge verwendet, die ausschließlich in vier Dimensionen funktionieren.

Oh, ok. Ich hatte in dem Bezug zuerst davon in den papers von Wald gelesen und dachte er ist der Urheber.
OPE ist im Rahmen der QFT keine Rocket Science.

Nicht bei allen.
 

ralfkannenberg

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Und genau für den Fall (A,C) muss man die SU(N)-Gymnastik verstehen.
Hallo Tom,

ich habe das so verstanden, dass der Fall (A,C) würde eine mögliche Lösung darstellen, wenn wir nur 2 Fermionen-Familien haben, nicht aber, wenn man auf 3 Fermionen-Familien erweitert, zumal deren Teilchen mittlerweile (seit >20 Jahren) experimentell nachgewiesen sind, das Tauon bereits im Jahre 1975 (Nobelpreis 1995) und das bottom-Quark im Jahre 1977.

Ich habe das verwechselt - der erste beschriebene Fall i) ist ja gerade der Fall (A.C), den ich oben referenziert hatte.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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ralfkannenberg

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eine Arbeit aus dem Jahre 1973 verlinkt, die mir vielversprechend erscheint:

CP-Violation in the Renormalizable Theory of Weak Interaction (Makoto Kobayashi, Toshihide Maskawa).

Sie ist übrigens frei einsehbar, z.B. diesen Link anklicken oder auf das PDF-Symbol klicken.
Hallo zusammen,

meine Intuition, dass diese Arbeit bedeutsam sein könnte, hat sich mit einer kleinen Recherche bestätigt: die beiden Autoren haben für ihre Erklärung der CP-Verletzung im Jahre 2008 den Nobelpreis für Physik erhalten.

Schade dass das bis heute an mir vorbeigegangen ist.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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