Quantentheorie und Gravitation

[TomS]

Hier was zum Lesen:

Cosmic neutrino background - Wikipedia

en.wikipedia.org

Neutrino decoupling - Wikipedia

en.wikipedia.org

https://pdg.lbl.gov/2023/reviews/rpp2023-rev-neutrinos-in-cosmology.pdf

Even high energy neutrinos are notoriously difficult to detect, and the CνB has energies around 10^10 times smaller, so the CνB may not be directly observed in detail for many years, if at all.

 

[TomS]

Der Skalenfaktor damals ergibt sich aus der Temperatur
1/a = z+1 = T/Tcnb

Anmerkung: Das ist natürlich nicht allgemeingültig. Wir benötigen die Annahmen,

• dass sich alle Energieformen (Materie, Strahlung) im thermischen Gleichgewicht befinden; nur dann können wir ein einziges T ansetzen
• dass, das Universum von Strahlung dominiert wird

Außerdem sei darauf hingewiesen, dass es damals keine Rotverschiebung z im Sinne einer messbaren Größe gab, da Photonen überhaupt nicht über kosmische Distanzen propagieren konnten. z ist damit eine reine Rechengröße.

Die CNB kommt wie die CMB isotrop aus allen Richtungen.
Tcnb = ³(4/11)Tcmb = 1,945 K
Der Temperaturunterschied ergibt sich aus der Annihilationsenergie der Positronen, die eben erst später annihilierten und nur die CMB aufheizten.

Anmerkung 2: Der Unterschied der Temperaturen von CNB und CMB ist im Wikipedia-Artikel nur ansatzweise erklärt.

• Das hat etwas mit der Anzahl der beteiligten effektiven Freiheitsgrade zu tun d.h. man zählt die Teilchenarten Neff, die bei der jeweiligen Temperatur beitragen können
• dann Teilchen und Antiteilchen (d.h. 1 für Photonen, 2 sonst; Ausnahme wäre 1 für Majorana-Neutrinos), Spinorientierungen (3 für massebehaftete Fermionen, 2 für masselose Teilchen) und berücksichtigt das Pauli-Prinzip (7/8 für Fermionen, 1 für Bosonen; für die 7/8 kenne ich keine Herleitung)
• 4/11 folgt dann als Quotient für die Werte vor bzw. nach Entkoppeln der Neutrinos
• außerdem gehen Annahmen zur Entropie und deren Verhalten während der Expansion ein

Astrophysiker haben die unangenehme Eigenschaft, oft derartige Zusammenhänge zu verwenden, ohne die Annahmen, die ihrer Herleitung und Gültigkeit zugrunde liegen, zu nennen. Das verleiht der Astrophysik immer noch so einen Anflug von Geheimwissenschaft

 

[Rainer]

dass sich alle Energieformen (Materie, Strahlung) im thermischen Gleichgewicht befinden; nur dann können wir ein einziges T ansetzen

Man setzt die Strahlungstemperatur an, und alle relativistischen Teilchen befinden sich im thermodynamsichen Gleichgewicht. Der Rest wird gar nicht betrachtet. Einzig die Neutrinos weichen dabei ab, sobald sie entkoppeln, man nimmt an, dass sie sich nach wie vor relativistisch bewegen. Dies liegt am geringen Wirkungsquerschnitt.

Außerdem sei darauf hingewiesen, dass es damals keine Rotverschiebung z im Sinne einer messbaren Größe gab, da Photonen überhaupt nicht über kosmische Distanzen propagieren konnten. z ist damit eine reine Rechengröße.

Doch, selbsverständlich.
λ ~ 1/T ~ a
Das hat mit der freien Weglänge überhaupt nichts zu tun. Diese ergibt sich ohnehin aus der Temperatur.
λø ~ T/p ~ 1/T³
Allerdings wird das mit z schwierig weil die Temperatur durch die Annihilation aufgeheizt wird, also λ (jedesmal) eine zeitlang konstant bleibt.

Für die Zeit vor der Annihilation der Positronen ist daher die Tcnb maßgeblich. Die Annihilation der Quarks (etc) habe ich noch nicht durchgerechnet.

Das verleiht der Astrophysik immer noch so einen Anflug von Geheimwissenschaft

Das könnte ich jetzt mit gutem Gewissen auch von Deinen Posts zur QFT behaupten.

Ich habe hier nur die Ergebnisse präsentiert.

für die 7/8 kenne ich keine Herleitung)

Dies ist der Quotient aus FD-Statistik und BE-Statistik. Man nennt dies auch den Pauli-Freiheitsgrad der Fermionen.
NfPF = IntF/IntB = 7/8

4/11 folgt dann als Quotient für die Werte vor bzw. nach Entkoppeln der Neutrinos

Nein.
Es handelt sich um die Werte vor und nach Annihilation der Positronen. Die Neutrinos haben vorher schon entkoppelt. DESHALB wird deren Temperatur nicht tangiert.
4/11 = Nfγ/(Nfγ+Nfe·NfPF)

Bei der Entkopplung der Neutrinos passiert insofern gar nichts. Bis zur Annihilation der Positronen haben sie (immer noch) die gleiche Temperatur der Strahlung.
Tbb = Tcnb

Mit Nf bezeichne ich die Anzahl der Freiheitsgrade, normal wird das Allerwelts-Symbol g verwendet.

 

[antaris]

Hier ein ganz frisches paper, aufbauend auf die Arbeiten von Wald. Ich bin noch am leseen aber scheint interessant zu sein.

A new approach in classical Klein-Gordon cosmology: “Small Bangs”, inflation and Dark Energy

Abstract

In this work, we analyze the cosmological model in which the expansion is driven
by a classical, free Klein-Gordon field on a flat, four-dimensional Friedmann–Lemaˆıtre–
Robertson–Walker spacetime. The model allows for arbitrary mass, non-zero cosmo-
logical constant and coupling to curvature. We find that there are strong restrictions
to the parameter space, due to the requirement for the reality of the field values. At
early cosmological times, we observe Big Bang singularities, solutions where the scale
factor asymptotically approaches zero, and Small Bangs. The latter are solutions for
which the Hubble parameter diverges at a finite value of the scale factor. They appear
generically in our model for certain curvature couplings. An early inflationary era is
observed for a specific value of the curvature coupling without further assumptions (un-
like in many other inflationary models). A late-time Dark Energy period is present for
all solutions with positive cosmological constant, numerically suggesting that a “cos-
mic no-hair” theorem holds under more general assumptions than the original Wald
version which relies on classical energy conditions. The classical fields in consideration
can be viewed as resembling one-point functions of a semiclassical model, in which the
cosmological expansion is driven by a quantum field.

 

[TomS]

Man setzt die Strahlungstemperatur an, und alle relativistischen Teilchen befinden sich im thermodynamsichen Gleichgewicht.

Richtig.

Es ist für andere aber evtl. irreführend, dass man zuletzt unterschiedliche Temperaturen für CMB und CNB hat, du jedoch a durch TCNB ausdrückst; das gilt eben nur, solange TCMB = TCNB, denn andernfalls hättest du zwei verschiedene Temperaturen jedoch nur einen Skalenfaktor – wie sollte das gehen?

… man nimmt an, dass sie sich nach wie vor relativistisch bewegen.

Das ist auch eine Annahme, die oft nicht erklärt wird.

Neutrinos mit einer Ruhemasse ungleich Null sind heute bei einer Temperatur des CNB von 1.95 K und damit kinetischen Energien < 1 meV nicht-relativistisch.

[1304.5632v4] Search for the Cosmic Neutrino Background and KATRIN

Das hat mit der freien Weglänge überhaupt nichts zu tun.

Dieser Zusammenhang nicht, jedoch die Messbarkeit. Kosmische Rotverschiebung eines Photons wird messbar, wenn das Photon eine genügend lange kosmische Zeit existieren kann. Natürlich kann man auch ohne diese Messbarkeit weiter mit z rechnen, daran ist nichts falsch.

Das könnte ich jetzt mit gutem Gewissen auch von Deinen Posts zur QFT behaupten.

Dann musst Du halt QFT lernen

Dies ist der Quotient aus FD-Statistik und BE-Statistik.

Kennst du denn eine Herleitung?

Nein.
Es handelt sich um die Werte vor und nach Annihilation der Positronen.

Stimmt, du hast recht.

 

[Rainer]

denn andernfalls hättest du zwei verschiedene Temperaturen jedoch nur einen Skalenfaktor – wie sollte das gehen?

Weil Tcmb dann vor der Annihilation der Positronen die falsche Bezugsgröße ist.
Vor der Annihilation anderer Teilchen ist dann auch die Tcnb nicht mehr korrekt.

Neutrinos mit einer Ruhemasse ungleich Null sind heute bei einer Temperatur des CNB von 1.95 K und damit kinetischen Energien < 1 meV nicht-relativistisch.

Das stimmt, damit haben sie inzwischen sogar eine weit geringere Temperatur, weil sie durch die Expansion gebremst werden.

Aber egal, für den Skalenfaktor genügt diese fiktive Temperatur, die dann mit der Strahlung vor der Annihilation der Positronen übereinstimmt.

Natürlich kann man auch ohne diese Messbarkeit weiter mit z rechnen, daran ist nichts falsch.

Das ist die einzige Idee dabei. Beobachten kann man sowieso nichts vor der Rekombination.

 

[TomS]

Weil Tcmb dann vor der Annihilation der Positronen die falsche Bezugsgröße ist.

Und weil das so ist, sollte man es erklären; mehr sage ich doch gar nicht.

 

[Rainer]

Und weil das so ist, sollte man es erklären; mehr sage ich doch gar nicht.

Naja, das bedarf mehr als ein paar Worte. Man kann alles noch weiter erklären. Aber im Kontext gibt es immer eine Grenze.

 

[Rainer]

Kennst du denn eine Herleitung?

Ich habe das selber berechnet, aber kurz danach auch woanders gelesen, etwas komplizierter, als ich das gerechnet habe.

Rechne doch einfach den Quotienten der Integrale, das geht schon.

IntB = 12ζB²/5 = 6ζ.(4) = π⁴/15 → (A231535)
IntF = 21ζB²/20 = 21ζ.(4)/4 = 7π⁴/120 → (A337711)
ζB = ζ.(2)

 

[TomS]

Anmerkung 2: Der Unterschied der Temperaturen von CNB und CMB ist im Wikipedia-Artikel nur ansatzweise erklärt.

• Das hat etwas mit der Anzahl der beteiligten effektiven Freiheitsgrade zu tun d.h. man zählt die Teilchenarten Neff, die bei der jeweiligen Temperatur beitragen können
• dann Teilchen und Antiteilchen (d.h. 1 für Photonen, 2 sonst; Ausnahme wäre 1 für Majorana-Neutrinos), Spinorientierungen (3 für massebehaftete Fermionen, 2 für masselose Teilchen) und berücksichtigt das Pauli-Prinzip (7/8 für Fermionen, 1 für Bosonen; für die 7/8 kenne ich keine Herleitung)
• 4/11 folgt dann als Quotient für die Werte vor bzw. nach Entkoppeln der Neutrinos
• außerdem gehen Annahmen zur Entropie und deren Verhalten während der Expansion ein

Anmerkung zur Anmerkung:

• …
• "Spinorientierungen (3 für massebehaftete Fermionen …)" ist natürlich falsch, keine Ahnung, was mich da geritten hat; richtig ist 2 für Elektron bzw. Positron, 1 für ein Neutrin wg. der Chiralität (!) und wieder 2 für das Photon
• @Rainer – du sagst, was für die 7/8 zu rechnen ist, aber eine Erklärung für das warum ist das immer noch nicht; ich schaue nach
• der Quotient ist zu bilden für das Verhältnis der Temperaturen der Photonen vor und nach der Elektron-Positron-Paarvernichtung; Entkoppeln der Neutrinos ist falsch, darauf hat @Rainer hingewiesen

 

[TomS]

Rechne doch einfach den Quotienten der Integrale, das geht schon.

Aha.

IntB = 12ζB²/5 = 6ζ.(4) = π⁴/15 → (A231535)
IntF = 21ζB²/20 = 21ζ.(4)/4 = 7π⁴/120 → (A337711)
ζB = ζ.(2)

Das liest sich wie arabische Zaubersprüche.

Siehe (6.48ff), (6.55) in
https://pulsar.sternwarte.uni-erlangen.de/wilms/teach/cosmo/cosmochap7.pdf
bzw. Kap. 9.5 in

https://mcgreevy.physics.ucsd.edu/s12/lecture-notes/chapter09.pdf#page15

und natürlich (3.411.3) in Gradshteyn-Ryzhik (1981)

 

[TomS]

@Bernhard – die englische Wikipedia ist da ziemlich wischi-waschi, die deutsche unterbietet das noch:

Kosmischer Neutrinohintergrund – Wikipedia

de.wikipedia.org

 

[Rainer]

aber eine Erklärung für das warum

Die Statistiken geben die Häufigkeit der Partikel wieder. 7/8 ist das Verhältnis der Häufigkeiten für Fermionen zu Bosonen im thermodynamischen Gleichgewicht, mit gleich vielen Freiheitsgraden. Genauso wie die Freiheitsgrade beschreiben, wie häufig ein Teilchen vorkommen kann.

 

[Rainer]

Das liest sich wie arabische Zaubersprüche.

Wenn Du ζ nicht kennst, wirst Du auch Deine eigenen Zitate nicht verstehen. Das ist die Riemannsche Zetafunktion.
Ich hatte extra die Symbole von Oesis dazugeschrieben.

 

[TomS]

Die Statistiken geben die Häufigkeit der Partikel wieder. 7/8 ist das Verhältnis der Häufigkeiten für Fermionen zu Bosonen im thermodynamischen Gleichgewicht, mit gleich vielen Freiheitsgraden.

Es handelt sich nicht um das Verhältnis der Häufigkeiten sondern um das der mittleren Energien bzw. der Energiedichten; das Verhältnis der Häufigkeiten liefert ein anderes Resultat – siehe die Quellen.

Genauso wie die Freiheitsgrade beschreiben, wie häufig ein Teilchen vorkommen kann.

Freiheitsgrade beschreiben nicht, wie häufig ein Teilchen vorkommen kann, sondern wieviele Freiheitsgrade – hier genauer: innere Freiheitsgrade – ein einzelnes Teilchen hat. Bei einem Photon sind das 2 Polarisationen, bei einem Elektron 2 Spinororientierungen, bei einem Quark eines Flavors dagegen 6 = 2*3 wg. 2 Spinororientierungen und 3 Colors.

 

[Rainer]

Freiheitsgrade beschreiben nicht, wie häufig ein Teilchen vorkommen kann

Doch natürlich. Jeder Freiheitsgrad kommt genausooft vor.

ein anderes Resultat

Für Teilchendichte, Dichte, Druck muss man jeweils anders rechnen, aber das hat nichts mit dem Grundsatz der Freiheitsgrade zu tun.

bei einem Elektron 2 Spinororientierungen,

Es sind 4 für Elektron + Positron, solange die Temperatur hoch genug ist, dass diese nicht annihiliert haben. Das wird meist nicht explizit dazugesagt. Gelegentlich sind damit auch τ und μ gemeint, dann ergeben sich für "die Elektronen" 12 Freiheitsgrade.

 

[TomS]

Wenn Du ζ nicht kennst …

ζ kenne ich, deine Notation nicht – nie gesehen.

Warum nutzt du nicht LaTeX, so wie jeder andere?

 

[Rainer]

Warum nutzt du nicht LaTeX, so wie jeder andere?

Nur wegen den Bruchstrichen?

 

[TomS]

Doch natürlich. Jeder Freiheitsgrad kommt genausooft vor.

Nein.

Er kommt nicht so oft vor, er ist vorhanden und kann vorkommen, d.h. er trägt im Mittel bei. Wir reden hier über statistische Physik.

Es sind 4 für Elektron + Positron …

Das ist Konvention. Man kann entweder dem Elektron 2 und dem Positron 2 zuschreiben, oder beiden zusammen 4.

 

[TomS]

Nur wegen den Bruchstrichen?

Nee, nicht nur.

IntB = was?
ζB²/5 = was?
ζ.(4) = was?
…

Schreib's doch einfach so wie in irgendeiner der verlinkten Quellen.

Für den bosonischen Fall findet man das hier:
https://en.wikipedia.org/wiki/Stefan%E2%80%93Boltzmann_law#Derivation_from_Planck's_law
https://en.wikipedia.org/wiki/Polylogarithm#Notes