Exkurs: Warum eigentlich „Vis-Viva“? Die Energie hinter ViaSat-3
Wer den heutigen Start der Falcon Heavy verfolgt, hört oft Begriffe wie „Einschussgeschwindigkeit“ oder „Delta-v“. Aber wie berechnen Ingenieure eigentlich, wie schnell eine Rakete an einem bestimmten Punkt sein muss? Hier kommt die
Vis-Viva-Gleichung ins Spiel.
Warum genau diese Gleichung?
„Vis Viva“ (lateinisch für „lebendige Kraft“) ist im Grunde die Bilanzrechnung des Weltraums. Sie verknüpft die kinetische Energie (Geschwindigkeit) mit der potenziellen Energie (Abstand zum Planeten). In einem stabilen Orbit muss diese Summe immer konstant bleiben.
Während uns Newton sagt,
warum sich etwas bewegt, sagt uns Vis-Viva ganz präzise,
wie schnell es das tun muss:
(Keine Sorge, das sieht komplizierter aus, als es ist! r ist der aktuelle Abstand, a die Form der Bahn).
Was bringt uns das?
Mit dieser einen Formel können wir alles berechnen:
- Wie schnell muss ich im Erdorbit sein, um nicht abzustürzen?
- Wie viel „Zunder“ muss ich geben, um zum Mond zu gelangen?
- Wann erreiche ich die Fluchtgeschwindigkeit?
Beispiel ViaSat-3:
Der Satellit soll in den Geostationären Orbit (GEO) in ca. 35.786 km Höhe. Die Falcon Heavy bringt ihn aber zuerst auf eine langgestreckte Ellipse (den GTO).
- An der erdnächsten Stelle (Perigäum) rast der Satellit mit über 10 km/s (36.000 km/h) dahin.
- Dank Vis-Viva wissen wir: Wenn er sich von der Erde entfernt, wird er langsamer. Am höchsten Punkt (Apogäum) ist er nur noch etwa 1,6 km/s schnell.
- Dort muss der Satellit dann noch einmal „Gas geben“, um die Ellipse in einen Kreis zu verwandeln.
Ohne diese Gleichung wüssten wir nie, wann wir das Triebwerk abstellen müssen – wir würden entweder im Ozean landen oder ziellos ins Sonnensystem driften.
Zum Mitrechnen: Die Geschwindigkeiten der ViaSat-3 Mission
Um die Vis-Viva-Gleichung greifbar zu machen, schauen wir uns die drei kritischen Phasen an, die der Satellit heute und in den nächsten Tagen durchläuft.
Die Eckdaten der Mission:
- Niedriger Erdorbit (LEO): Hier startet die Reise (ca. 300 km Höhe).
- Geotransfer-Orbit (GTO): Die langgestreckte Ellipse, auf die die Falcon Heavy den Satelliten schießt.
- Geostationärer Orbit (GEO): Das Ziel in 35.786 km Höhe.
| Phase | Entfernung zum Erdmittelpunkt (r) | Geschwindigkeit (v) | Zustand |
| LEO | 6.671 km | 7,73 km/s | Stabiler Kreisorbit |
| GTO (Start) | 6.671 km | 10,24 km/s | Start der Ellipse (Perigäum) |
| GTO (Ziel) | 42.157 km | 1,61 km/s | Höchster Punkt (Apogäum) |
| GEO | 42.157 km | 3,07 km/s | Ziel erreicht (Kreisorbit) |
Das Python-Tool für eure eigene „Mission Control“
Hier ist ein kleines Skript, mit dem ihr die Geschwindigkeiten selbst berechnen könnt. Ihr müsst nur die Höhe (hoehe_geo ) eingeben – den Rest erledigt die Physik für euch.
Python:
import math
# Konstanten
MU = 3.986004418e14 # Gravitationsparameter der Erde (m^3/s^2)
R_ERDE = 6378137 # Erdradius in Metern (Aequatorradius)
def vis_viva(hoehe_km, halbachse_a_km):
"""
Berechnet die Geschwindigkeit v in m/s.
hoehe_km: Aktuelle Höhe über der Oberfläche
halbachse_a_km: Die 'Größe' des Orbits (halbe Gesamtlänge der Ellipse)
"""
r = R_ERDE + (hoehe_km * 1000)
a = halbachse_a_km * 1000
# Die Vis-Viva-Formel: v = sqrt( mu * (2/r - 1/a) )
v = math.sqrt(MU * (2/r - 1/a))
return v
# BEISPIEL: Geschwindigkeit im GEO-Zielorbit (Kreisbahn, also r = a)
hoehe_geo = 35786
v_geo = vis_viva(hoehe_geo, R_ERDE/1000 + hoehe_geo)
print(f"Ziel-Geschwindigkeit im GEO: {v_geo/1000:.3f} km/s")
Test bei mir mit pyCharm ergibt die Ausgabe:
Ziel-Geschwindigkeit im GEO: 3.075 km/s
Warum interessant?
Schaut euch den Sprung im GTO an: Der Satellit kommt am höchsten Punkt mit nur
1,61 km/s an, braucht aber
3,07 km/s, um dort oben im Kreis zu bleiben. Die Differenz von knapp
1,46 km/s muss der Satellit mit seinem eigenen Triebwerk aufbringen.
Genau diese Rechnungen entscheiden darüber, wie viele Jahre der Satellit im All arbeiten kann, bevor ihm der Sprit für die Lageregelung ausgeht!
