Effekte an der Schnittstelle von Quantenmechanik und allgemeiner Relativitätstheorie

[Rainer]

Inwiefern ist das Ergebnis, dass die Vakuumenergie Null ist, falsch?

Wie ich schon sagte, bleibt 5 x 6 = 17 falsch, auch wenn das Ergebnis 17 richtig ist.

Nein, wie gesagt, man kann das mathematisch präzisieren.

Es geht nicht um Präzisierung, sondern um eine Begründung.

Und das hat nichts mit Unschärfe zu tun, diese ist in der bekannten Formulierung der nicht-rel. QM in der QFT ohnehin unzutreffend.

Was soll das genau heißen?
Ist das jetzt Wünsch-dir-was Physik?

Sie kann als Konsequenz der Heisenbergschen Unschärferelation aufgefasst werden, welche besagt, dass der Impuls und der Ort eines Teilchens nicht gleichzeitig beliebig genau festgelegt sein können. Die Nullpunktsenergie ist damit auch die Energie des Systems am absoluten Temperaturnullpunkt.

Nullpunktsenergie

Nullpunktsenergie Die Nullpunktsenergie eines quantenmechanischen Systems ist die Energie seines Grundzustands, der niedrigste Eigenwert des Energieoperators.

www.chemie.de

wiki:
Alternativ kann man dieses Resultat durch Verwenden der Unschärferelation erhalten:[3] Eine endliche Ortsunschärfe, die z. B. bei gebundenen Zuständen vorliegt, verlangt im Allgemeinen eine Impulsunschärfe größer als null. Daher können der Impuls und die kinetische Energie nicht exakt null sein. Da die kinetische Energie nicht negativ werden kann:

 

[TomS]

natürlich kann man das beides quantisieren, aber die stehende Welle muss erst einmal entstehen, also begründet werden.

Nein, das muss sie nicht; da muss nichts entstehen.

Man kann in (312) jedes beliebige Funktionensystem verwenden, das (300) löst: ebene Wellen, stehende Wellen, Kugelwellen … das ist mathematisch in äquivalent.

Du müsstest mathematisch darlegen, warum du äquivalente Quantisierungen verbieten willst.

… aber die Ruhemasse bedingt eine stehende Welle …

Aus welcher Gleichung folgt diese Behauptung??

… und das Higgsfeld muss …

… gar nichts, weil wir hier die QFT eines Skalarfeldes diskutieren, ohne das Higgs zu betrachten.

 

[Rainer]

Du müsstest mathematisch darlegen, warum du äquivalente Quantisierungen verbieten willst.

Ich will gar nichts verbieten.


Gegeben ist ein masseloses Fermion, (Feldanregung), das sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt (propagiert). Seine Energie hängt allein von der Frequenz ab, ist also nicht fermionspezifisch, sondern beobachterabhängig.

Nun wird das Higgsfeld wirksam und "verleiht" dem Fermion Ruhemasse, weil es mit diesem wechselwirkt. Das bedeutet, dass das Fermion nun ein eigenes Ruhesystem hat, in dem es eine stehende Welle ist.

WIE soll das Higgsfeld aus einer wandernden Welle eine stehende Welle machen?

DAS HAT ÜBERHAUPT NICHTS MIT QUANTISIERUNG ZU TUN. Unterlass doch bitte diese trivialen und vollkommen sinnlosen Ablenkungsversuche.

 

[TomS]

Geeben ist ein masseloses Fermion, (Feldanregung), das sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt. Seine Enrgie hängt allein von der Frequenz ab, ist also nicht fermionspezifisch, sondern beobachterabhängig.

Inwiefern unterscheidet sich deine Argumentation zwischen Fermionen und Bosonen?

Auf Basis welcher Gleichung argumentierst du?

Nun wird das Higgsfeld wirksam und "verleiht" dem Fermion Energie, weil es mit diesem wechselwirkt. Das bedeutet, dass das Fermion nun ein eingenes Ruhesystem hat, in dem es eine stehende Welle ist.

Auf Basis welcher Gleichung wäre das der Fall? Kannst du das vorrechnen? Hast du dafür eine Quelle?

WIE soll das Higgsfeld aus einer wandernden Welle eine stehende Welle machen?

Gar nicht.

Man verwendet irgendeine Poincare-invariante Lösung der freien Wellengleichung.

 

[Rainer]

Auf Basis welcher Gleichung wäre das der Fall? Kannst du das vorrechnen? Hast du dafür eine Quelle?

Jede (unbeschleunigte) Ruhemasse hat ein Inertialsystem.
Das ist doch wirklich trivial.
Ruhemasse ⇒ v<c ⇒ Ruhesystem
v ist RELATIV
relativ zu sich selbst ⇒ v = 0

 

[Rainer]

Inwiefern unterscheidet sich deine Argumentation zwischen Fermionen und Bosonen?

An dieser Stelle eigentlich gar nicht, sondern hier geht es nur um die Ruhemasse.
Aber W und Z sind nicht stabil, daher können wir diese hier ausschließen.

 

[TomS]

@antaris –

Ich denke, mit dem Skript von Tong bist du besser beraten. Er erklärt mehr, argumentiert sauberer, und weist auch auf offene Fragen hin.

http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/qft.pdf

Ich frage mich aber, worauf hinauswillst. Mit dem Thema hier hat das nichts zu tun, ich wollte ausschließlich Probleme diskutieren, die bereits in der QM sichtbar werden – ohne QFT.

 

[TomS]

Jede (unbeschleunigte) Ruhemasse hat ein Inertialsystem.
Das ist doch wirklich trivial.
Ruhemasse ⇒ v<c ⇒ Ruhesystem
v ist RELATIV
relativ zu sich selbst ⇒ v = 0

Dann frage ich nochmal:

Das bedeutet, dass das Fermion nun ein eigenes Ruhesystem hat, in dem es eine stehende Welle ist.

Auf Basis welcher Gleichung wäre es der Fall, dass das Fermion (oder das Boson) in seinem eigenen Ruhesystem eine stehende Welle ist?? Kannst du das vorrechnen? Hast du dafür eine Quelle? Welche Gleichung in dem Skript besagt das?

 

[Rainer]

in seinem eigenen Ruhesystem eine stehende Welle ist?

Feldanregungen schwingen.
Eine Schwingung in einem Ruhesystem ist eine stehende Welle. Ob die Welle dabei ihre Form verändert, auseinanderfließt etc sind nur Details. Aber sie kann in ihrem Ruhesystem nicht wandern, solange sie nicht beschleunigt wird, bewegt sie sich gar nicht.

 

[TomS]

Feldanregungen schwingen.
Eine Schwingung in einem Ruhesystem ist eine stehende Welle. Ob die Welle dabei ihre Form verändert, auseinanderfließt etc sind nur Details. Aber sie kann in ihrem Ruhesystem nicht wandern, solange sie nicht beschleunigt wird, bewegt sie sich gar nicht.

Ein "Teilchen" = eine Anregung des Quantenfeldes mit Impuls p wird im Fockraum dargestellt mittels (337).

Im Ruhesystem dieses Teilchens gilt p = 0.

In einer Poincare-invarianten Feldtheorie ohne zusätzliche Effekte (Goldstone, Higgs) gilt nach Normalordnung (336) und (339), d.h. mit p = 0 auch E(p) = m.

Die entsprechende Schwingung liefert (343), d.h. man erhält keine Schwingung sondern eine konstante räumliche Amplitude mit Frequenz m – weder eine stehende noch eine laufende Welle, einfach eine Konstante!


Zur Verwendung von stehenden vs. laufenden Wellen. Wie gesagt, das ist letztlich der geeigneten Wahl für die Symmetrie des Problems geschuldet. Die Wahl von cos(kx) und sin(kx) und damit stehenden Wellen anstelle von exp(ikx) d.h. laufenden Wellen ist normalerweise immer möglich – unabhängig von Bosonen oder Fermionen und unabhängig von m > 0 oder m = 0. Auch mit dem Higgs-Feld hat es absolut gar nichts zu tun.

Stehende Wellen für m = 0 siehe z.B. Tong (3.31).

 

[Bernhard]

Das ist ein Zaubertrick aus dem Hut und erinnert mich an das Wunschdenken der MONDianer.

Soll man das nun als Lob der MONDianer verstehen oder als Kritik an der kanonischen Quantisierung?

Falls Letzteres, was ich vermute, sei bemerkt, dass die kanonische (zweite) Quantisierung durchaus gut begründet und damit sicher nicht überflüssig oder gar falsch ist. Trotzdem besteht eine gewisse Möglichkeit der Erweiterung/Verbesserung, falls man die zweite Quantisierung eher als Konzept und nicht als fertigen Formalismus betrachtet.

"Just my 2 Cents"

 

[TomS]

Soll man das nun als Lob der MONDianer verstehen oder als Kritik an der kanonischen Quantisierung?

Falls Letzteres, was ich vermute, sei bemerkt, dass die kanonische (zweite) Quantisierung durchaus gut begründet und damit sicher nicht überflüssig oder gar falsch ist. Trotzdem besteht eine gewisse Möglichkeit der Erweiterung/Verbesserung, falls man die zweite Quantisierung eher als Konzept und nicht als fertigen Formalismus betrachtet.

"Just my 2 Cents"

Weil ich oben auf Tong verwiesen habe:

What Is Quantum Field Theory and Why Is It Incomplete? | Quanta Magazine

Quantum field theory may be the most successful scientific theory of all time, but there’s reason to think it’s missing something. Steven Strogatz speaks with theoretical physicist David Tong about this enigmatic theory.

www.quantamagazine.org

The problem comes when we talk to our pure mathematician friends, because our pure mathematician friends are smart people, and we think that we have this mathematical theory. But they don’t understand what we’re talking about. And it’s not their fault, it’s ours. That the mathematics we’re dealing with is not something that’s on a rigorous footing. It’s something where we’re playing sort of fast and loose with various mathematical ideas. And we’re pretty sure we know what we’re doing as this agreement with experiments * shows. But it’s certainly not at the level of rigor that, well, certainly mathematicians would be comfortable with. And I think increasingly that we physicists are also growing uncomfortable with.

Ich denke, das fasst die Situation sehr gut zusammen.

1. Jeder Physiker, der sich mit Quantenfeldtheorie befasst, weiß, dass dieses Framework nicht mathematisch rigoros definiert ist.
2. Aber ebenso weiß jeder, dass Quantenfeldtheorien für alle bekannten Phänomene * im Mikrokosmos mit phantastischer Präzision funktionieren **, d.h. dass die Berechnungen bzw. Vorhersagen allesamt experimentell bestätigt wurden.

Just my two cents.

* seit den 20ern: Compton- und Bhabha-Streuung, Paar -Produktion, Lamb Shift, Elektron g-Faktor, Casimir-Effekt … Pion-Nukleon-Streuung / Soft Pions … Hadron-Massen / -Formfaktoren / -Strukturfunktionen, Bjorken Scaling / Scaling Violations, DIS und Drell-Yan … QCD bei Temperatur > 0, z.B QGP …
** seit den 40ern und der Renormierung der QED, später dann Renormierung der QCD und der GSW-Theorie.

 

[Rainer]

keine Schwingung sondern eine konstante räumliche Amplitude mit Frequenz m – weder eine stehende noch eine laufende Welle, einfach eine Konstante!

Du willst sagen, dass das Feld eine konstante Beule hat? Aber die Beule hat eine Frequenz und schwingt nicht?
Nun wirds abenteuerlich.

Weil ich oben auf Tong verwiesen habe:

Es geht mir nicht um mathematische Exaktheit, sondern um die Logik dahinter.

 

[TomS]

Für einen 1-Teilchen-Zustand in seinem eigenen Ruhesystem:

Ich will sagen, dass

gilt.

D.h. die räumliche Amplitude ist konstant = Eins, das Feld oszilliert zeitlich mit einer Frequenz ~ m. Das gilt unabhängig von m. In keinem der Fälle ist es sinnvoll, von einer stehenden oder laufenden Welle zu sprechen, da die räumliche Form konstant = Eins ist; da steht oder läuft nichts.

Für m = 0 liefert der Grenzfall E = 0 natürlich omega = 0 und damit wieder das Vakuum. Anders gesagt, ein Photon mit Energie E = 0 existiert nicht, das "ist einfach das Vakuum". Man kann natürlich nicht mit irgendeinem Ruhesystem argumentieren.

Für m > 0 ist das anders, ein Teilchen mit m > 0 hat ein Ruhesystem. In einem anderen Bezugsystem S', das mit dem ursprüngliche S durch einen Lorentz-Boost Lambda verknüpft ist, gilt

D.h. wenn in S ein 1-Teilchen-Zustand mit Impuls p vorliegt, dann liegt in S' ein 1-Teilchen-Zustand mit Impuls p' vor - so wie man es erwartet. Die Argumentation hängt aber implizit von der Poincare-Invarianz des Vakuums ab, d.h. man verwendet

Aus dem obigen Spezialfall mit konstanter Amplitude im eigenen Ruhesystem S wird eine laufende Welle in S' - ebenfalls so, wie man es erwartet.

Da ist nichts abenteuerlich, das ist einfach Poincare-invariante QFT, so wie seit knapp hundert Jahren.





Ist Poincare-Invarianz nicht gegeben - z.B. für ein Elektron in einem Atom, für das el.-mag. Feld in einer Kavität ... - funktioniert die kanonische Quantisierung anders, insbs. verwendet man andere Lösungen zu (300) bzw. der jeweiligen Gleichung für Spin 1/2, 1 ... D.h. (312) ändert sich zu

wobei f(x) nun andere Funktionen sind - z.B. Kugelwellen für das Elektron, stehenden el.-mag. Wellen ...

In keinem Fall ist die Form der Wellen relevant, man verwendet die Lösungen von (300), die praktisch sind. Meist sind das ebene, laufenden Wellen, aber nicht immer.

Es geht mir nicht um mathematische Exaktheit, sondern um die Logik dahinter.

Dafür ist das verlinkte Skript nicht die beste Quelle. Dass es in diesem Skript hapert, heißt aber nicht, dass es insgesamt hapert. Dummerweise muss man aber die nicht-rel. Quantenmechanik sehr gut verstanden haben, um die Idee der Quantenfeldtheorie zu verstehen. Evtl. hapert es ja daran ...

Tong ist sicherlich ein ganz gutes Script.

Coleman hat einen guten Ruf:

[1110.5013] Notes from Sidney Coleman's Physics 253a

arxiv.org

Bei Büchern und zu Idee / Logik / Erklärung / Bedeutung von Quantenfeldtheorie etc. ist Weinberg I + II das Standardwerk. Aber ohne fundierte Kenntnisse der Quantenmechanik ist man auch da verloren.

Zur Historie: die Idee ist seit fast 100 Jahren klar.

Eines der ersten Arbeiten war
https://doi.org/10.1098/rspa.1927.0039
The quantum theory of the emission and absorption of radiation
Paul Adrien Maurice Dirac (1927)

Der Fock-Raum wurde hier eingeführt:

Konfigurationsraum und zweite Quantelung - Zeitschrift für Physik A Hadrons and nuclei

Es wird der Zusammenhang zwischen der Methode der gequantelten Wellenfunktionen und der Koordinatenraummethode untersucht. Die Operatoren der zweiten Quant

link.springer.com

Konfigurationsraum und zweite Quantelung
Fock, V. (1932)

 

[Rainer]

D.h. die räumliche Amplitude ist konstant = Eins, das Feld oszilliert zeitlich mit einer Frequenz ~ m

wie ich sagte, eine stehende Welle.

Für m = 0 liefert der Grenzfall E = 0 natürlich omega = 0 und damit wieder das Vakuum. Anders gesagt, ein Photon mit Energie E = 0 existiert nicht, das "ist einfach das Vakuum". Man kann natürlich nicht mit irgendeinem Ruhesystem argumentieren.

Deshalb hatte ich auch (einfach) von Fermionen gesprochen, und genau aus dem mangelnden Ruhesystem ergibt sich dieses Ergebnis.

Und GENAU dieser Zustand bestand für ALLE Teilchen, bevor das Higgs Feld aktiv wurde.

 

[TomS]

wie ich sagte, eine stehende Welle

Wenn du darauf bestehst, die Funktion

f(x) = cos(0) = 1

als Welle zu bezeichnen … und wenn du mir erklären kannst, wie sich die stehende Welle f(x) = 1 von der laufenden Welle f(x) = 1 unterscheidet

Egal, über Begriffe sollte man an der Stelle nicht streiten.

Deshalb hatte ich auch (einfach) von Fermionen gesprochen, und genau aus dem mangelnden Ruhesystem ergibt sich dieses Ergebnis.

Das hat nichts mit Bosonen oder Fermionen zu tun sondern ausschließlich etwas etwas mit deren Masse.

Und GENAU dieser Zustand bestand für ALLE Teilchen, bevor das Higgs Feld aktiv wurde.

Welcher Zustand? m=0? E=0? omega=0?

So ganz nebenbei: Dich beschäftigen offenbar Grundsatzfragen bzw. die Idee oder die Logik der QFT. Da ist der Spezialfall des Higgsfeld noch völlig irrelevant, an der Idee und der Logik der kanonischen Quantisierung ändert dieses nämlich gar nichts.

 

[Rainer]

So ganz nebenbei: Dich beschäftigen offenbar Grundsatzfragen bzw. die Idee oder die Logik der QFT.

Was sonst?
Daraus ergibt sich alles.

Die Frage bleibt offen, wie das Higgsfeld eine wandernde Welle in eine stehende Welle (stationäre Schwingung) verwandelt.

Gegeben ist ein Bezugssystem, in dem die Welle die Energie f·h = c²m aufweist. Diese Welle müsste also an ihren Knoten im Abstand λ reflektiert werden, um stehen zu bleiben, mithin also nur beim Übergang in eine bestimmte Richtung, sonst hätten wir die Nullmode λ/2.

Die Kopplung findet also nur statt, wenn λ genau passt (Resonanzfrequenz). Dann wandert aber die Nullmode weiterhin mit Lichtgeschwindigkeit und ohne objektiv definierte Energie. Die Energiedichte der Nullmoden ergibt sich dann allein aus der "Temperatur".

 

[TomS]

Die Frage bleibt offen, wie das Higgsfeld eine wandernde Welle in eine stehende Welle (stationäre Schwingung) verwandelt.

Du verrennst dich mit stehender vs. laufender Welle. Diese Unterscheidung ist für die Theorie irrelevant.

Gegeben ist ein Bezugssystem, in dem die Welle die Energie f·h = m aufweist. "Plötzlich" müsste diese Welle also an ihren Knoten im Abstand λ reflektiert werden, um stehen zu bleiben.

Die Frage des Bezugssystems ist aufgrund der Poincare-Invarianz völlig irrelevant. Da muss gar nichts "plötzlich".

Nimm Lösungen für (300) und verwende sie in (312). Das funktioniert mit m = 0, und es funktioniert mit m > 0. Du kannst stehende oder laufende Wellen nutzen, das ist ebenfalls egal (letzteres ist jedoch meist praktischer).


Ich sehe einen völlig anderen Punkt: Die Frage bleibt offen, wie sich der Fock-Raum und die Feldoperatoren für ein Fermionfeld ψ ändern, wenn bei sinkender Temperatur ein Phasenübergang von m = 0 zu m > 0 erfolgt.

 

[Rainer]

wenn bei sinkender Temperatur ein Phasenübergang von m = 0 zu m > 0 erfolgt.

ich rede seit gefühlt 50 Posts über nichts anderes...genau genommen seit 36 Posts.

Nachdem es ja das Higgsfeld ist, das den Teilchen ihre Ruhemasse verleiht, sollte die Vakuumschwingung gar keine Masse~Energie haben.

Den obigen Post hatte ich noch ergänzt.
Das stimmt dann wohl, dass die Vakuumenergie von der Temperatur abhängt....Λ also doch variabel?

Auch für diese Nullmode in diesem Bezugssystem gibt es jedoch ein Bezugssystem, in dem es die Bedingung für ein Teilchen f·h = c²m erfüllt.
Also gar keine Vakuumenergie, sondern diese Vakuumfluktuationen sind lediglich unterschiedlich schnell bewegte Teilchen?

 

[TomS]

ich rede seit gefühlt 50 Posts über nichts anderes...genau genommen seit 36 Posts.

Du redest über a) stehende und laufende Wellen; und b) über das Ruhesystem eines Teilchens.

Beides ist irrelevant. Ich mag das jetzt nicht nochmal erklären.

Dann reden wir bisher vom Fock-Raum und dessen eindeutigem Vakuum, dem Fock-Vakuum |0> . Dein letzter Punkt bzgl. des Zustandes niedrigster Energie für T > 0, nennen wir ihn vac(T), hat nichts mit dem Fock-Vakuum zu tun.

Das stimmt dann wohl, dass die Vakuumenergie von der Temperatur abhängt....Λ also doch variabel?

Mit ist leider völlig rätselhaft, was du meinst.

Auch für diese Nullmode in diesem Bezugssystem gibt es jedoch ein Bezugssystem, in dem es die Bedingung für ein Teilchen f·h = c²m erfüllt.
Also gar keine Vakuumenergie, sondern diese Vakuumfluktuationen sind lediglich unterschiedlich schnell bewegte Teilchen?

Dito.