Die Thermal Interpretation der Quantenmechanik

Jakito

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Und wenn der Zustand strukturlos ist, ist die Wirklichkeit halt strukturlos – oder umgekehrt.
Wenn ich mit einem strukturlosen klassischen Zustand starte, dann hat der zugehörige Quantenzustand sehr wohl Struktur, eben diese "zufällige" klassische Struktur, die ich hineingesteckt habe.
Wenn ich aber mit einen strukturlosen Quantenzustand starte, dann gehört dazu gar kein klassischer Zustand.

Das ontologische Konzept der QFT+TI und das der klassischen Mechanik sind letztlich identisch: gewisse Aspekte der Realität werden durch eine mathematische Struktur in einer gewissen Näherung zutreffend beschrieben. Wem das nicht passt, der sollte eigentlich schon an der klassischen Mechanik verzweifeln.
Dann sollte ich vielleicht mal versuchen herauszuarbeiten, was die Natur klassischer Zustände ist, wie sie in der klassischen Mechanik auftreten. Und wieso man dies in der Quantenmechanik nicht so einfach fortführen kann.

Frage: Sind Dir die Begriffe der "hyperbolischen partiellen Differentialgleichung", der "elliptischen", und der "parabolischen" schon mal begegnet? Kannst Du dann nachvollziehen, wieso die Natur klassischer Zustände vor allem zu "hyperbolischen partiellen Differentialgleichung" passt, aber bei "elliptischen" und "parabolischen" problematisch ist? Und in der Konsequenz bedeutet dies, dass klassische Zustände ganz jenseits von QM und QFT nicht immer angemessen oder unproblematisch sind.

Ich sehe jedenfalls nicht, dass QFT+TI irgendein qualitativ neues metaphysisches Problem jenseits dessen einführen, was wir bereits in der klassischen Mechanik vorfinden und was schon vor 1925 ungelöst war – seit Platon. Die TI verschiebt das Problem von der Metaphysik in die Physik: modelliere ein System und löse die Gleichungen; eigtl. shut up and calculate at its best.
Naja, wenn QM und QFT metaphysische Sachverhalte jenseits der klassischen Mechanik beschreiben, dann wird auch die TI nicht ganz darum herum kommen, ein paar Ideen jenseits einer plumben klassischen Mechanik einzuführen.
 

A.Neumaier

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wenn QM und QFT metaphysische Sachverhalte jenseits der klassischen Mechanik beschreiben
Das tun sie doch gar nicht; sie beschreiben ja einfach Physik!
Nur gewisse Interpretationen steuern zusätzlich Metaphysik bei....
zu dem Zeitpunkt, als ich meinen Review der TI schrieb,
Statt alte Beiträge zu zitieren und dazusagen zu müssen, warum manches davon nicht mehr passt, ist es doch besser, den noch gültigen teil des Alten unter Berücksichtigung der neuesten Perspektive zu beschreiben. Wozu gibt es denn Editoren, mit denen man alte Terxte bearbeiten kann bevor man sie zum besten gibt....
 

A.Neumaier

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wieso die Natur klassischer Zustände vor allem zu "hyperbolischen partiellen Differentialgleichung" passt, aber bei "elliptischen" und "parabolischen" problematisch ist?
Viele klassische Feldgleichungen sind parabolisch, z.B. die Navier-Stokes Gleichungen. Was ist daran problematisch?
 

TomS

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Wenn ich mit einem strukturlosen klassischen Zustand starte, dann hat der zugehörige Quantenzustand sehr wohl Struktur, eben diese "zufällige" klassische Struktur, die ich hineingesteckt habe.
Wenn ich aber mit einen strukturlosen Quantenzustand starte, dann gehört dazu gar kein klassischer Zustand.
Vielleicht sollten wir für beide Fälle "strukturlos" definieren. Und was ist schlimm daran, wenn ein Quantenzustand keinem klassischen Zustand entspricht?

Frage: Sind Dir die Begriffe der "hyperbolischen partiellen Differentialgleichung", der "elliptischen", und der "parabolischen" schon mal begegnet? Kannst Du dann nachvollziehen, wieso die Natur klassischer Zustände vor allem zu "hyperbolischen partiellen Differentialgleichung" passt, aber bei "elliptischen" und "parabolischen" problematisch ist? Und in der Konsequenz bedeutet dies, dass klassische Zustände ganz jenseits von QM und QFT nicht immer angemessen oder unproblematisch sind.
Wo treten denn problematische Gleichungen auf?

Und was hat das mit dem übergeordneten Realitätsbegriff oder der Ontologie zu tun? An welcher Stelle genau bricht die von mir genannte Analogie?

(Ich habe übrigens nicht gesagt, dass die Ontologie in allen Details identisch ist)
 
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Jakito

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Wo treten denn diese problematischen Gleichungen auf?
OK, diese Begriffe sagen Dir also nichts. Mit dem Begriff der Wohlgestelltheit muss ich dann wohl auch gar nicht erst anfangen.

Die Gleichungen sind übrigens nicht im geringsten problematisch. Nur die naive Newton'sche Vorstellung, die Vergangenheit würde die Zukunft perfekt vorherbestimmen, ist problematisch. Bei den Navier-Stokes Gleichungen auf einem endlichen Rechengebiet mit "offenen" Randbedingungen kommt halt laufend "von draußen" neue Flüssigkeit rein, und alte Flüssigkeit fließt ab. Und der Zustand der reinkommenden Flüssigkeit beeinflusst halt auch "die Zukunft" im endlichen Rechengebiet.

Zusätzlich kann es bei Navier-Stokes auch Probleme geben, wenn Du die Vergangenheit aus der Gegenwart rekonstruieren willst, weil dann halt unkontrollierbar kleinste Änderungen zu einer beliebig unterschiedlichen Vergangenheit gehören kann. Deshalb sagt man, dieses Problem sei nicht wohlgestellt.
 

TomS

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OK, diese Begriffe sagen Dir also nichts.
Doch natürlich. Ich sehe nur kein Problem.

Die Gleichungen sind übrigens nicht im geringsten problematisch. Nur die naive Newton'sche Vorstellung, die Vergangenheit würde die Zukunft perfekt vorherbestimmen, ist problematisch. Bei den Navier-Stokes Gleichungen auf einem endlichen Rechengebiet mit "offenen" Randbedingungen kommt halt laufend "von draußen" neue Flüssigkeit rein, und alte Flüssigkeit fließt ab. Und der Zustand der reinkommenden Flüssigkeit beeinflusst halt auch "die Zukunft" im endlichen Rechengebiet.
Klar. Das ist aber nur das Problem eines offenen Systems, nicht der Ontologie.

Zusätzlich kann es bei Navier-Stokes auch Probleme geben, wenn Du die Vergangenheit aus der Gegenwart rekonstruieren willst, weil dann halt unkontrollierbar kleinste Änderungen zu einer beliebig unterschiedlichen Vergangenheit gehören kann. Deshalb sagt man, dieses Problem sei nicht wohlgestellt.
Damit das jetzt wirklich ein Problem ist, müssten z.B. die Navier-Stokes-Gleichungen fundamental sein – sind sie aber nicht.

Wenn die Gleichungen als klassischer Grenzfall für ein offenes System aufgefasst werden können, das lediglich ein Subsystem eines abgeschlossenen Systems mit von-Neumann-Gleichung darstellt – was man im Einzelfall natürlich zeigen muss – ist die Zeitentwicklung der Dichtematrix unitär und somit invertierbar und deterministisch. Die Problematik steckt dann in einer Näherung und ggf. unbekannten Anfangsbedingungen und ist nicht fundamentaler Natur.
 
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Jakito

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Vielleicht sollten wir für beide Fälle "strukturlos" definieren. Und was ist schlimm daran, wenn ein Quantenzustand keinem klassischen Zustand entspricht?
Es geht darum, was die Erwartungswerte als Ontologie leisten können, und was nicht.
Wo keine makroskopische Struktur vorhanden ist, kann auch die Ontologie der Erwartungswerte keine herbeizaubern.

Die spannende Sache hier ist, dass die Bohmianer glauben, ihre Teilchenontologie könne genau dies: ganz ohne Hilfe einer im Quantenzustand vorhandenen Struktur eine klassische makroskopische Struktur herbeizuzaubern. Wie ich schon woanders erwähnte, hat Roderich Tumulka in seinem Buch diesen Glauben in ungeschönter Reinform ausgedrückt:
Roderich Tumulka schrieb:
It is widespread to call any variables that are not functions of \Psi “hidden variables”; in Bohmian mechanics, the configuration Q is a variable that is not a function of \Psi, so it is often called a hidden variable although the particle positions are not hidden at all in Bohmian mechanics, as they can be measured any time to any desired accuracy.
Natürlich kann man diesen Glauben auch als Wahrheit hernehmen, aber dann macht die Bohmsche Mechanik halt andere Vorhersagen als die orthodoxe Quantenmechanik.
 

Jakito

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Das tun sie doch gar nicht; sie beschreiben ja einfach Physik!
Nur gewisse Interpretationen steuern zusätzlich Metaphysik bei....
Aber leider steuert die klassische Mechanik, bzw. ihre naive Interpretation, genau eine solche problematische Metaphysik bei. Und auch der frequentistische Wahrscheinlichkeitsbegriff macht implizite Annahmen, die unkorrigiert in der Quantenphysik zu Problemen bei der Ontologie führen.

Klar. Das ist aber nur das Problem eines offenen Systems, nicht der Ontologie.
Die Annahme, dass ein offenes System ein Problem sei, ist ja bereits Teil der problematischen Metaphysik aus der klassischen Mechanik.

Denn was heisst es denn in der Konsequenz, wenn man offene Systeme "ablehnt"? Wenn man jetzt von partiellen Differentialgleichungen wieder zu gewöhnlichen (oder differential-algebraischen) Differentialgleichungen zurück geht, dann verwandelt sich "der Zustand der reinkommenden Flüssigkeit" schlicht in ein externes Steuersignal. Die Kontrolltheorie (oder korrekter Regelungstheorie) hat damit keinerlei Problem. Aber die Metaphysik der klassischen Mechanik will da auf einmal ein Problem sehen, insbesondere wenn eine solche Gleichung "fundamental" sein sollte.
 

Jakito

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Doch natürlich. Ich sehe nur kein Problem.
Wenn ich das gewusst hätte, wer ich mehr in Richtung Satz von Cauchy-Kowalewskaja gegangen, der nicht zwischen hyperbolischen und parabolischen partiellen Differentialgleichungen unterscheidet, und damit insbesondere den parabolischen eine unangebrachte Sichtweise aufdrückt, die ihren Ursprung in der naiven Interpretation der klassischen Mechanik hat.

Ja, der Satz ist trotzdem richtig und wichtig, aber eben nur im Kontext analytischer Funktionen.
 

TomS

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Und auch der frequentistische Wahrscheinlichkeitsbegriff macht implizite Annahmen, die unkorrigiert in der Quantenphysik zu Problemen bei der Ontologie führen.
Ontologie ist zunächst die Ontologie eines Systems und einer Messung. Wo auch immer ein Wahrscheinlichkeitsbegriff zu Problemen führt, nicht bei der Ontologie, da spielt er m.E. überhaupt keine Rolle.

Entweder habe ich ein Ensemble mehrerer einzelner realer Systeme, dann kann ich die Ontologie für einzelne Systeme entwickeln. Oder ich habe nur ein gedachtes Ensemble, dann kann ich dafür trivialerweise keine Ontologie entwickeln. In keinem der beiden Fälle spielt der Wahrscheinlichkeitsbegriff eine Rolle.

Die Annahme, dass ein offenes System ein Problem sei, ist ja bereits Teil der problematischen Metaphysik aus der klassischen Mechanik.
Welche Metaphysik?

Denn was heisst es denn in der Konsequenz, wenn man offene Systeme "ablehnt"?
Ich lehne keine offenen Systeme ab.

Aber die Metaphysik der klassischen Mechanik will da auf einmal ein Problem sehen, insbesondere wenn eine solche Gleichung "fundamental" sein sollte.
Welche Metaphysik will da ein Problem sehen? Kannst du das mal klar benennen?
 
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TomS

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Es geht darum, was die Erwartungswerte als Ontologie leisten können, und was nicht.
Wo keine makroskopische Struktur vorhanden ist, kann auch die Ontologie der Erwartungswerte keine herbeizaubern.
Was sagt dieser Absatz? Was bedeutet "was die Erwartungswerte als Ontologie leisten können"? Ich verstehe es nicht.

Wahrscheinlich ist bereits der Begriff "Erwartungswert" problematisch, weil irgendeine nicht weiter definierte Bedeutung mitschwingt. Warum sprechen wir nicht einfach nur von "Matrixelementen"?

Auf Diskussionen zu Bohm habe ich keine List. Natürlich verschwinden einige Interpretationsprobleme, daf reduziert sich der Anwendungsbereich auf eine Nullmenge 😁
 

Jakito

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Welche Metaphysik will da ein Problem sehen? Kannst du das mal klar benennen?
Determinismus ist ja schön und gut, aber wenn sich der unbewusst mit einer "Metaphysik des passiven Zuschauers" verbindet, dann leidet irgendwann der Erklärungswert unserer wissenschaftlichen Modelle darunter.

Was ist denn so nicht-intuitiv an der Quantenmechanik? Diese Frage hatte ich Fra/Fredrik an den Kopf geknallt, nachdem auch er die Begriffe und Worte dieser "passiven Zuschauerrolle" unhinterfragt benutzte:
I am so upset that even you talk of „observers“ now that I have to comment: One unintuitive feature of QM is that you have to interact with a system to observe it. And this interaction alters the system. Classically, I can also alter a system without learning anything about its state prior to the interaction. How does QM change this part? Why can‘t I just forget what I learned during the interaction, if QM should force me to always learn something? Perhaps because my own state was altered nevertheless?

Bei meiner Antwort auf Fra/Fredriks Reaktion, beschrieb ich dann recht klar das Problem dieser Metaphysik (und ihren Ursprung):
gentzen schrieb:
I see. It is not the "human" part which upsets me about the word "observer". It is the suggested absence of "interaction" and "altering"/"influencing" capabilities. The word "observer" suggest a passive viewer of some "TV show" or "cinematic movie", not an active participant in some "massively multiplayer online game".

Or maybe more aptly, it suggests an old time astronomer like in Newton's times watching the planets, moons, and stars without any possibility to alter their course. It does not suggests a modern NASA scientist designing swing-by (gravity assist) maneuvers to steal a tiny amount of the energy of some planet or moon to let his spacecraft save fuel.

Später erläuterte ich dann noch genauer, wieso der Erklärungswert unserer wissenschaftlichen Modelle leidet, wenn wir an diese passive Zuschauerrolle als letzte Wahrheit glauben:
gentzen schrieb:
I rather think, before getting rid of agents, we first have to embrace them more seriously:
gentzen schrieb:
Or maybe more aptly, it suggests an old time astronomer like in Newton's times watching the planets, moons, and stars without any possibility to alter their course. It does not suggests a modern NASA scientist designing swing-by (gravity assist) maneuvers to steal a tiny amount of the energy of some planet or moon to let his spacecraft save fuel.
Of course, the course of the planet or moon is not significantly altered, but the course of the spacecraft is. You could model the spacecraft itself as an agent, because it has thrusters which are effectively controlled by intentions (i.e. final causes). It can also make sense to only model the ground station as an agent, because the communication delay to the spacecraft might be important. But beyond that, the usefullness and explanatory value of the model would rather decrease if you try to remove agents even further.

I admit that trying to develop theoretical frameworks which are less dependent on agents for their explanatory power is a worthwhile goal. I am in full support of A. Neumaier's thermal interpretation, which includes a convincing non-subjective interpretation of probabilities. But we should also admit that we are not there yet, and that we currently have no idea how that goal to get rid of agents in our models could ever be reached.
 

TomS

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Determinismus ist ja schön und gut …
Es geht mir weder um Determinismus …
aber wenn sich der unbewusst mit einer "Metaphysik des passiven Zuschauers" …
… noch um einen passiven Zuschauer.

Es geht mir um die ganz triviale Feststellung, dass Ontologie zunächst die Ontologie eines Systems und einer Messung ist.

Ontologie bedeutet die Lehre vom Seienden. Dabei wird die Systematik grundlegender konkreter und abstrakte Entitäten – Gegenstände, Eigenschaften, Ereignisse, Prozesse … mathematischer Modelle – in ihren strukturellen Beziehungen diskutiert.
(nach Wikipedia)

An einem Beispiel: Da in einem Detektor offensichtlich ein Detektorereignis tatsächlich stattfindet, ist der Gegenstand des Messproblem zunächst mal dieses eine Experiment und dieses eine Detektorereignis. Das zu betrachtende System besteht (mindestens) aus Strahlquelle, Beschleuniger, Detektor und Umgebung, wobei aufgrund genügend geringer Luminosität im Betrachtungszeitraum höchstens ein Ereignis registriert wird.

Dass man in der Quantenphysik immer ein Ensemble – real oder gedacht – im Kopf hat, ist vermutlich eine der größten Idiotien der Wissenschaftsgeschichte.

Entweder glaubt man, dass die Quantenmechanik zu einem einzelnen Ereignis etwas zu sagen hat, oder man glaubt es nicht. Falls letzteres – was ok ist – wird daraus aber nie eine Ontologie und nie eine realistische Weltsicht, da wir es in der Welt letztlich immer mit Einzelereignissen zu tun haben – von den Detektorereignissen bis hin zur Krönung Karls des Großen.

Das typische Problem, dass man alles für einen Nagel hält, nur weil einem der Meister den Gebrauch anderer Werkzeuge außer Hämmern untersagt hat.

… [what] upsets me about the word "observer" … is the suggested absence of "interaction" and "altering"/"influencing" capabilities. The word "observer" suggest a passive viewer … it suggests an old time astronomer like in Newton's times watching the planets, moons, and stars without any possibility to alter their course.
Ich denke, wir sind uns einig, dass diese passive Rolle des Beobachters Unsinn ist. Der Beobachter entspricht einem quantenmechanisches Subsystem und ist als solches Teil des Ganzen.

I am in full support of A. Neumaier's thermal interpretation, which includes a convincing non-subjective interpretation of probabilities.
Aber das ist nicht die ganze TI und nicht der Ausgangspunkt für die Ontologie.


Apart from the quantum measurement problem … this section also discusses philosophical considerations related to the development, namely
• the nature of the basic substance of quantum matter – particles or fields;
• the applicability of quantum mechanics to the whole universe;
Das ist der ontologische Anspruch.

In a measurement, we extract within some measurement tolerance an unambiguous value from an environment and simultaneously make a claim that this value reveals a property of the system at the measurement time.
Man beachte den Singular.

A complete solution of the measurement problem would consist of three separate parts:
1. A derivation of the states ρ and the operators Pk from the microscopic description of typical macroscopic quantum systems that serve as sources and detectors. This is the classicality problem of quantum measurement.
2. A description of a single measurement, deriving both the measurement result and its accuracy from the state and the dynamics of the composite quantum system formed by a measured system and a detector. This is the definite outcome problem of quantum measurement.
3. To show that a single "particle" moving along a beam triggers at most one of an array of detection elements. This is the unique outcome problem of quantum measurement.
Meine Hervorhebungen.

"Teilchen" bedarf einer Erklärung. Letztlich muss man von einer Quelle sprechen, die räumlich und zeitlich einigermaßen lokalisierte Entitäten produziert bzw. Detektorereignisse verursacht. Das, was dann quantenmechanisch modelliert ist, wäre die Entsprechung dieser Entität, oft verkürzt "Teilchen" genannt. Diese Modellierung ist aber häufig unbekannt.

In the thermal interpretation of quantum physics, given a particular instance of a quantum system described by a model at a given time, the state defines all its properties, and hence what exists in the system at that time. The objective properties of the system are given by quantum values and what is computable from these. All properties of a quantum system at a fixed time depend on the state ⟨⋅⟩ of the system at this time and are expressed in terms of definite, but uncertain values of the quantities.
Meine Hervorhebungen.

Das hat nicht nur irgendwie eine Ontologie zum Ziel, es ist bereits diese Ontologie eines einzelnen Quantensystems – in einem Absatz.

Die philosophischen Überlegungen sind damit abgeschlossen, es bleibt die Aufgabe, realistische und zugleich lösbare Modelle für interessante Systeme zu finden: ein Photon mit einem Photodetektor und einem Detektorereignis, ein Photon am Doppelspalt usw., ein Photon mit Strahlteiler usw., ein Photonpaar aus parametric downconversion plus Bell-Experimente usw., ein entsprechendes Elektronpaar plus zwei Stern-Gerlach-Detektoren, …

Ensembles, wiederholte Messungen, Wahrscheinlichkeiten sind nachgelagert. Natürlich muss die TI diesbzgl. etablierte und experimentell bestätigte Ergebnisse reproduzieren, aber das ist nicht der eigentliche Witz. Der eigentliche Witz ist, dass sie im Gegensatz zu vielen anderen Interpretationen nicht ausschließlich darauf abzielt. Letztere können nämlich gar keine ontologischen Aussagen zu Einzelsystemen machen, insofern sie alles nur durch die Brille der Wahrscheinlichkeiten sehen.
 

TomS

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Kurze Zwischenfrage: Ein offenes Quantensystem muss doch nicht örtlich begrenzt sein?
Stimmt.

Ignoriert man z.B. in einem abgeschlossenen System gewisse Freiheitsgrade, so ist das resultierende Subsystem ggf. auch offen.

Beispiel: Nimm zwei eindimensionale, gekoppelte harmonische Oszillatoren; die unitäre Zeitentwicklung des Systems d.h. der Dichtematrix ρ folgt der von-Neumann-Gleichung, die den Kommutator -i[H, ρ] enthält.

Spure den zweiten Oszillator aus; die Zeitentwicklung des ersten Subsystems und dessen reduzierter Dichtematrix nach Ausspuren von 2 d.h. ρ₁ = tr₂(ρ) enthält dissipative Terme, insbs. da Energie aus der ersten in die zweite Oszillation abfließt u.u. Das erste Subsystem ist offen, aber nicht räumlich offen.
 

Bernhard

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Das erste Subsystem ist offen, aber nicht räumlich offen.
Schönes Beispiel (y) .

Ich möchte mit der Frage in 156 ein mögliches Mißverständnis seitens Jakito ausschließen. Sein Hinweis auf die verschiedenen Typen partieller Differentialgleichungen und insbesondere der starke Fokus dabei auf die Wirkung von Randbedingungen lässt vermuten, dass Jakito den Begriff "offen" eventuell mit "räumlich begrenzt" interpretiert, was aber nicht zutreffend wäre.
 

Bernhard

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Beispiel: Nimm zwei eindimensionale, gekoppelte harmonische Oszillatoren; die unitäre Zeitentwicklung des Systems d.h. der Dichtematrix ρ folgt der von-Neumann-Gleichung, die den Kommutator -i[H, ρ] enthält.

Spure den zweiten Oszillator aus; die Zeitentwicklung des ersten Subsystems und dessen reduzierter Dichtematrix nach Ausspuren von 2 d.h. ρ₁ = tr₂(ρ) enthält dissipative Terme, insbs. da Energie aus der ersten in die zweite Oszillation abfließt u.u. Das erste Subsystem ist offen, aber nicht räumlich offen.
Ich habe ChatGPT diese Aufgabe gestellt. Da kommen dann ganz interessante Formeln. Das Ausspuren führt je nach Kopplung und Darstellung zu verschiedenen Gleichungen vom Typ Master- oder Lindblad-Gleichung.

EDIT: Dabei gibt es auch etliche Approximationsmöglichkeiten und ChatGPT muss da auch erst etwas suchen (< 30 Sekunden).
 
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Jakito

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Ich möchte mit der Frage in 156 ein mögliches Mißverständnis seitens Jakito ausschließen. Sein Hinweis auf die verschiedenen Typen partieller Differentialgleichungen und insbesondere der starke Fokus dabei auf die Wirkung von Randbedingungen lässt vermuten, dass Jakito den Begriff "offen" eventuell mit "räumlich begrenzt" interpretiert, was aber nicht zutreffend wäre.
Ich hatte mir partielle Differentialgleichungen als konkretes Beispiel herausgesucht, weil sie intuitiv einfach wirken, aber der Teufel im Detail steckt. Weil es mir ja um konkrete einfache Beispiele (oder wenigstens einfach wirkende) geht, dürfen wir uns ruhig auf 2-, 3-, oder 4-dimensionale Räume beschränken. (Es geht also z.B. nicht um die Mehrteilchen-Schrödinger-Gleichung.)
In diesem Kontext geht es bei offenen Systemen schon vor allem um die Randbedingungen. Natürlich kann man auch "Quellen" im Rechengebiet haben, aber das diese die Determiniertheit der Zukunft stören, wenn ihr Zeitverlauf externen Einflüssen unterliegt, ist ja irgendwie offensichtlich.

Absichtlich und unabsichtlich habe ich in meinem Studium einst viel zu viel Funktionalanalysis, Differentialgeometrie, partielle Differentialgleichungen, gewöhnliche (und "ungewöhnliche") Differentialgleichungen, sowie Numerik derselben, Lie-Gruppen&Symmetrien von Differentialgleichungen, ... gehört und gelernt.

Wenn ich partielle Differentialgleichungen als Beispiel hernehme, ist die Reaktion enorm schwer vorher abzuschätzen. Eventuell wird ein Experte anfangen, auf irgendwelchen Details meiner Beispiele und Aussagen rumzureiten. Eventuell wird jemand einwenden, dass partielle Differentialgleichungen praktisch doch sehr schwer zu lösen sind, und z.B. elementare Fragen über die Navier-Stokes Gleichung ungelößt, und sogar eines der Millenium Probleme sind. Oder umgekehrt könnte auch jemand alle Subtilitäten und Detailprobleme beiseite wischen, und voller Unverständnis reagieren, wieso ein so triviales Beispiel irgendwelche Lektionen für die komplizierten Fragen beisteuern könnte, mit denen er sich gerade beschäftigt.

Hier ein Auszug aus meiner Antwort auf eine Frage, wieso Integralgleichungen weniger studiert werden als partielle Differentialgleichung:
Integral equations are often harder to solve by nature.
They may be harder to solve than ordinary differential equations, but the questioner asked about partial differential equations. I'm not aware of any general theory for partial differential equations. Yes, there are theories for elliptic equations, for parabolic equations, and for systems of hyperbolic conservation laws. Yes, there are also theories for many other types of partial differential equations, but the theory is there because the equations arise in certain applications, not because anybody would try to develop a general theory of partial differential equations.

What we do have for partial differential equations is a flow of information. If we take a finite volume bounded by a sufficiently smooth surface, then we can uniquely determine the solution inside the finite volume by prescribing "enough" information on the surface. Sadly, we often can't avoid prescribing "too much" information on the surface when we do this, so that this sort of procedure often would lead to ill-posed problems.
Wenn ein Experte es drauf anlegt, kann er meine Aussage einfach widerlegen, indem er eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung in 2D mit geschlossenen Charakteristiken hernimmt: Dann ist die Eindeutigkeit kaputt, wenn das (innere des) Volumen eine solche Charakteristik vollständig enthält.
 
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