Nein, das bisher Gesagte läuft auf ganz normale rationale Zahlen hinaus.
Meine Idee basiert auf deiner Aussage
Genauso sehe ich keine Regel, die verbietet, eine natürlich Zahl in der Weise zu bilden, dass die nächste Nachkommastelle von π als führende Ziffer angefügt wird.
π → ...5972833462648323979853562951413
Damit wären die natürlichen Zahlen ebenfalls überabzählbar ...
Das funktioniert nicht so einfach, weil das, was du hinschreibst, zunächst nur für endlich viele Stellen definiert ist; für die Überabzählbarkeit benötigst du aber unendlich viele Stellen. Also muss man dem Ausdruck für unendlich viele Stellen einen mathematisch wohldefinierten Sinn geben; das funktioniert ... jedoch
nicht, wenn du diese unendlich vielen Ziffern als Darstellung natürlicher Zahlen betrachtest.
Die
p-adischen Zahlen leisten nun genau das, jedoch auf eine völlig andere Weise.
Die Zahlen, die so entstehen, stellen eine Erweiterung *) der rationalen Zahlen dar; letztlich handelt es sich dabei sogar um eine Vervollständigung **) die sich jedoch von der der reellen Zahlen unterscheidet. Dazu betrachtet man eine
neue Norm d.h. einen neuen Betrag |x|
p für eine rationale Zahl x. Bzgl. dieser neuen Norm sind die nach links unendlich fortgesetzten Zahlenreihen konvergent!
Wie funktioniert das?
Man schreibt eine rationale Zahl x als
wobei a,b teilerfremde natürliche Zahlen sind, p eine Primzahl, n eine ganze Zahl, und wobei außerdem weder a noch b einen Primfaktor p enthalten; das ist für jedes rationale x und je p immer eindeutig möglich.
Dann definiert man den Betrag
Man beachte das Vorzeichen bei n!
Beispiel:
x = 0.19 = 19 / 100 = 19 / (2² * 5²)
p = 2
x = 19/25 * 1/2²
a = 19, b = 25, n = -2
|0.19|₂ = 2²
p = 5
x = 19/4 * 1/5²
a = 19, b = 4, n = -2
|0.19|₅ = 5²
p = 19
x = 1/100 * 19¹
a = 1, b = 100, n = 1
|0.19|₁₉ = 1/19
jedes andere p
|0.19|
p = 1
Betrachtet man für eine beliebige natürliche Zahl x (also eine rationale Zahl mit Null Nachkommastellen) die o.g. p-adische Darstellung bzgl. einer Primzahl p, so ist der Exponent n von p sicher größer oder gleich Null, d.h. n ≥ 0. Damit gilt für den Betrag |x|
p ≤ 1, wobei |x|
p = 1 genau dann, wenn n = 0. Und damit sind alle p-adischen Beträge von 3, 13, 413, 1413, 51413 951413 ... (und letztlich die aller natürlichen Zahlen) sicher nie größer als Eins. Damit haben die Ziffernfolgen eine sinnvolle Definition erhalten ***)
Die Details sind eigentlich nicht so wichtig. Wichtig ist, die p-adischen Zahlen sind
überabzählbar, letztlich mittels eines ähnlichen Arguments wie für die reellen Zahlen; und das war ja das, worauf du ursprünglich hinauswolltest.
*) Letztlich handelt es sich nicht um eine Erweiterung, sondern um unendlich viele, nämlich je Primzahl p eine eigene.
**) Eine Vervollständigung bedeutet, dass wenn die Abstände zwischen zwei Folgen gegen Null konvergieren, die Folgen auch gegen ein Grenzelement konvergieren, das zu diesem Zahlenbereich gehört. Betrachte 𝜋 und konstruiere die beiden Folgen
rationalen Zahlen
3.1
3.14
3.141
3.1415
...
3.
2
3.1
5
3.14
2
3.141
6
Die Abstände 0.1, 0.01, ... konvergieren gegen die
rationale Zahl Null. Aber die beiden Folgen konvergieren
nicht gegen eine
rationale Zahl. D.h. sie sind innerhalb der rationalen Zahlen
nicht konvergent. Eine Vervollständigung ist nun eine geeignete Erweiterung, so dass man sozusagen alle derartigen Grenzelemente mit hinzunimmt; im Falle der rationalen Zahlen führt dies üblicherweise auf die reellen Zahlen (innerhalb derer die beiden Folgen gegen 𝜋 konvergieren). Aber man ist nicht gezwungen, die rationalen Zahlen so zu vervollständigen; wenn man einen anderen Abstandsbegriff einführt, dann erhält man einer andere, inäquivalente Vervollständigung, im vorliegenden Fall die pa-adischen Zahlen.
***) Die Norm liefert auch einen neuen Abstandsbegriff für zwei rationale Zahlen |x-y|
p. Die p-adischen Zahlen sind ein Körper, d.h. man kann (auf eine etwas andere Weise) addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Sie enthalten dabei die gewöhnlichen rationalen Zahlen als Untermenge, denn sie wurden ja als deren Erweiterung konstruiert.
