Spielereien mit abzählbar-unendlichen Mengen: Hilbert-Hotel

[ralfkannenberg]

Hallo zusammen,

ich möchte dieses Thema aus dem Thread Grundlagenprobleme der Quantenmechanik auslagern.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Rainer]

kopierter Post

Wie lange laufe ich zum Zimmer Pi in Hiberts Hotel? (Matheboard.de, 08.07.2024) Zufall?

als Physiker ist die Anwort leicht, da interessiert gar nicht, ob es das Zimmer gibt, sondern nur, wie weit es weg ist.
t = π·t(1)
Am besten hat mir ja die japanische Lösung gefallen, π ist das Zimmer zwischen 2 und 4.
Diesen Satz "Nehmen wir an Hilbert's Hotel wäre real" habe ich allerdings erst zuletzt verstanden, er meinte wohl reelle Zimmernummern.
Das haben wohl die meisten Antwortenden auch nicht gleich so verstanden.

Interessant wäre ja die erste Zimmernummer in diesem HH. Ich denke, dass es das erste Zimmer gar nicht gibt. Gleiches gilt natürlich für alle Folgezimmer. Ein sehr einsamer Ort so ein HH ℝ¹, jedenfalls lückenlose Numerierung vorausgesetzt.
Und dennoch hat es nicht nur die Zimmer 1, 2, 3 etc, sondern auch π, e, ²2 etc. Das ist wie bei der Großstadtvereinsamung.

Meine Idee ist zwar, die Nummern in der Weise zu ordnen, dass man zuerst die natürlichen Zahlen aufzählt, dann die natürlichen Zahlen mit einer Kommastelle, dann die mit zwei Kommastellen etc. Bis π wird der Weg dadurch zwar auch nicht kürzer.

 

[Rainer]

als Physiker ist die Anwort leicht, da interessiert gar nicht, ob es das Zimmer gibt, sondern nur, wie weit es weg ist.
t = π·t(1)

Das ist genau die letzte Lösung von Elvis, der nach π parametrisiert, aber das wäre ja trivial...und nicht SI-gerecht.
Man wählt am besten eine Parametrisierung eines bekannten Intervalls.

Der Trick ist hier, dass man die Tupel-Komponenten nummeriert

klingt wie mein Vorschlag, nach der Anzahl der Nachkommastellen zu ordnen.

 

[ralfkannenberg]

Hallo zusammen,

wieder einmal wollen wir uns eine Krise der Mathematik anschauen.

Dank des Cantor'schen Diagonalverfahren gelang der Nachweis, dass die Menge der transzendenten Zahlen überabzählbar unendlich gross ist. Also riesig riesig gross. Man zeigt das, indem man zeigt, dass die Menge der algebraischen Zahlen abzählbar unendlich gross ist; da IR oder IC (je nach Betrachtungsweise) aber beide überabzählbar unendlich gross sind, muss auch die Differenzmenge IR\{reellen algebraischen Zahlen} bzw. die Differenzmenge IC\{komplexen algebraischen Zahlen} überabzählbar sein.

Denn andernfalls wären IR (oder analog IC) als Vereinigungsmenge zweier nur abzählbar unendlicher Mengen ebenfalls abzählbar, im Widerspruch zum Cantor'schen Diagonalbeweis.

Ok, bis hierher weitgehend trivial. Und nun ?

Nun haben wir eine riesige Menge konstruiert, seit 1874 weiss man. dass sie riegig gross ist, aber wir können kein einziges Element dieser Menge konkret angeben.


Zum Glück gelang Liouville im Jahre 1851 der Nachweis, dass die Liouville'sche Zahl transzendent ist (nachdem er das Liouvill'sche Theorem hergeleitet hat brauchte er noch 7 Jahre, um auch ein konkretes Gegenbeispiel zu finden); das war 23 Jahre vor dem Cantor'schen Diagonalbeweis.

Vergeblich mühte sich Liouville ab, auch den Nachweis der Transzendenz der Euler'schen Zahl e zu finden; es war dann Hermite vorbehalten, im Jahre 1873 den nachweis zu führen, dass auch die Euler'sche Zahl e transzendent ist.

Somit war die "Krise" der Mathematik nicht ganz so schlimm, denn zum Zeitpunkt der Entdeckung des Cantor'schen Diagonalbeweises kannte man bereits 2 transzendente Zahlen, und mit ihnen natürlich unendlich viele, da beispielsweise jede Summe der Liouville'schen Zahl mit einer algebraischen Zahl ebenfalls transzendent ist, oder auch jedes algebraische Vielfache der Liouville'schen Zahl ebenfalls transzent ist; gleiches gilt natürlich auch für jede Summe der Euler'schen Zahl mit einer algebraischen Zahl sowie für jedes algebraische Vielfache der Euler'schen Zahl.

Ob die Summe oder das Produkt der Liouville'schen Zahl mit der Euler'schen Zahl transzendent ist kann man so nicht feststellen und meines Wissens ist beides bis heute auch nicht bekannt.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[ralfkannenberg]

er meinte wohl reelle Zimmernummern.
Das haben wohl die meisten Antwortenden auch nicht gleich so verstanden.

Hallo Rainer,

das ist auch verständlich, denn das führt sofort zu einem Widerspruch.

EIn Hilbert-Hotel funktioniert nur mit einem abzählbar-unendlichen Indexsystem, nicht mit einem überabzählbaren. Da muss man also zuerst die Definitionen "anpassen", sonst wird es - wie so oft bei Unendlichkeiten - willkürlich.

Es gibt übrigens ein Resultat, welches diese beiden unterschiedlichen Indexsysteme einfach veranschaulicht:

Die Reihe ("Summe") echt positiver Zahlen über ein abzählbares Indexsystem kann konvergieren, beispielsweise die Zahl 1/3 = 0.3+0.03+0.003 etc. oder auch die geometrische Reihe zur Zahl 1/2: 1/2+1/4+1/8+1/16 usw., welche gegen 1 konvergiert (weil die Differenzfolge 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 usw. gegen 0 konvergiert). Auch die Euler'sche Zahl konvergiert, da man die Summanden der geometrischen Reihe zur Zahl 1/2 so gruppieren kann, dass die Glieder der Eulerschen Zahl alle kleiner sind.

Die Reihe ("Summe") echt positiver Zahlen über ein überabzählbares Indexsystem kann divergiert immer.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Rainer]

Ich denke, dass dieses HH so funktioniert, dass die Zimmernummern nach Bedarf generiert werden. Die Zimmer werden erst konkret gebildet, nachdem die Nummer am Schlüsselbrett erstellt wurde. Ein bisschen flexibel muss man da schon bleiben.

 

[Rainer]

klingt wie mein Vorschlag, nach der Anzahl der Nachkommastellen zu ordnen.

Das lässt sich geometrisch so gestalten, dass bei jedem Zimmer ein Nebengang abzweigt. Das führt natürlich zu einem unendlichdimensionalen Gangsystem unendlich langer Gänge, aber wen stört sowas schon in HH.

Es gibt noch eine andere Möglichkeit dies zu ordnen:

Von der Lobby führen zwei Gänge weg. Einer mit positiven Nummern, und einer mit Dezimalnummern.
Rechts kommen die Zimmer N = 1, 2, 3 ... und links die Zimmer n = 0.1, 0.2, 0.3 ...
π kommt dabei zwar nicht vor, aber immerhin alle reellen Nummern 0 < x < 1

Die Redundanz 0,1 und 0,10 gibt es nicht, sondern nach 0,9 folgt 0,01.

Gestaltet man dies nun ähnlich wie bei der oberen Lösung, also mit einem Seitengang bei jedem Zimmer N des Hauptganges, erhält man ein zweidimensionales Hotel N×n.

Dies lässt sich auch diagonalisieren, es sind dann nur abzählbar viele Zimmer.

DAS WAR DAS was ich bisher suchte, habe ich Cantor widerlegt?
0...1...0,1...2...1,1...0,2...3...2,1....1,2...0,3...4...3,1...2,2...1,3...0,4...
Natürlich kann man die Ordnungsstelle von π nicht angeben, sie bleibt zwar "so" abzählbar aber dennoch unerreichbar. Aber das ist die natürlich Zahl Nixnaxnux auch, leider kann ich sie nicht näher definieren...sie ist viel zu groß für jede Beschreibung, zumindest langt der Platz hier nicht.

 

[ralfkannenberg]

Ich denke, dass dieses HH so funktioniert, dass die Zimmernummern nach Bedarf generiert werden. Die Zimmer werden erst konkret gebildet, nachdem die Nummer am Schlüsselbrett erstellt wurde. Ein bisschen flexibel muss man da schon bleiben.

Hallo Rainer,

diese Konstruktion führt nur zu einer abzählbaren Menge.

Von der Lobby führen zwei Gänge weg. Einer mit positiven Nummern, und einer mit Dezimalnummern.
Rechts kommen die Zimmer N = 1, 2, 3 ... und links die Zimmer n = 0.1, 0.2, 0.3 ...
π kommt dabei zwar nicht vor, aber immerhin alle reellen Nummern 0 < x < 1

Mit dieser Konstruktion erhälst Du nur Dezimalnummern, die irgendwo abbrechen, d.h. ein Nullerende oder ein Neunerende haben.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Rainer]

Mit dieser Konstruktion erhälst Du nur Dezimalnummern, die irgendwo abbrechen, d.h. ein Nullerende oder ein Neunerende haben.

Na, mach mal ewig weiter....
Auch die natürlichen Zahlen haben immer eine definierte Länge.

 

[ralfkannenberg]

DAS WAR DAS was ich bisher suchte, habe ich Cantor widerlegt?
0...1...0,1...2...1,1...0,2...3...2,1....1,2...0,3...4...3,1...2,2...1,3...0,4...

Hallo Rainer,

es ist einfacher, Cantor zu beweisen als ihn zu widerlegen. Und mir ist keine Widerlegung eines Sachverhaltes bekannt, der zuvor bewiesen worden ist.

Es gab in der Vergangenheit Arbeiten, die versucht haben, hier etwas zu widerlegen, aber diese haben einen grundsätzlich anderen Charakter, nämlich dass sie indirekte Beweise nicht zulassen.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[ralfkannenberg]

Na, mach mal ewig weiter....

Hallo Rainer,

kannst Du machen, bleibt aber abzählbar.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[TomS]

Die Reihe echt positiver Zahlen über ein überabzählbares Indexsystem kann divergiert immer.

Kann man das mittels Maßtheorie definieren?

Wenn ja, dann verstehe ich deinen Einwand nicht, denn es gibt ja messbare Mengen die zu einer Teilmenge des Kontinuums isometrisch sind und die endliches Maß.

 

[ralfkannenberg]

Kann man das mittels Maßtheorie definieren?

Hallo Tom,

das weiss ich nicht. Ein Prof hat uns das mal erzählt, ohne Beweis.

Ich habe dazu vor Ewigkeiten mal einen Beweis versucht und wenn ich mich recht entsinne lief das darauf hinaus, dass die Indexmenge abzählbar sein muss, wenn die Reihe echt positiver Zahlen konvergieren soll. Das heisst, dass die übrigen (überabzählbar vielen) Reihenelemente identisch gleich 0 sein müssen.

Ich habe das ganze damals aber nicht weiterverfolgt.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Rainer]

Jedenfalls, WENN die Liouvillsche Zahl legal definiert ist, dann darf ich das auch für die Vorkommastellen genauso machen.

es ist einfacher, Cantor zu beweisen

Das beruht auf dem Diagonalbeweis und Potenzmengen.

Dezimalstellen sind den Vorkommastellen jedoch spiegelbildlich gleich.
Dem Problem der Unendlichkeit in zwei Richtungen begegne ich mit der alternierenden bzw rechteckigen Anordnung, genauso wie es Cantor bei den rationalen Zahlen macht.

Meist wird als Bedingung genannt, dass jede Zahl beschreibbar sein muss, und damit wäre jede natürlich Zahl auch bezifferbar, während viele reelle Zahlen zwar leicht beschreibbar sind, aber nicht vollständig bezifferbar.

Bei der Liouvillschen Zahl ist das anders, sie wird durch unendliche Rekursion beschrieben, was auch für natürliche Zahlen dazu führt, dass sie nicht bezifferbar sind.

Genauso sehe ich keine Regel, die verbietet, eine natürlich Zahl in der Weise zu bilden, dass die nächste Nachkommastelle von π als führende Ziffer angefügt wird.

π → ...5972833462648323979853562951413

Damit wären die natürlichen Zahlen ebenfalls überabzählbar, ODER die reellen sind es AUCH nicht.

 

[ralfkannenberg]

Jedenfalls, WENN die Liouvillsche Zahl legal definiert ist, dann darf ich das auch für die Vorkommastellen genauso machen.

Hallo Rainer,

das verstehe ich nicht.

Das beruht auf dem Diagonalbeweis.

Das verstehe ich auch nicht.

Dezimalstellen sind den Vorkommastellen jedoch spiegelbildlich gleich.

Irgendwie nicht: wenn Du "unendlich" viele Vorkommastellen hast ist das Ergebnis immer "unendlich" oder genauer: "nicht definiert. - Das ist bei unendlich vielen Nachkommastellen nicht der Fall: das ist immer endlich und liefert immer unterschiedliche Ergebnisse (von der Dualität der Nullerenden und Neunerenden mal abgesehen).

Dem Problem der Unendlichkeit in zwei Richtungen begegne ich mit der alternierenden bzw rechteckigen Anordnung, genauso wie es Cantor bei den rationalen Zahlen macht.

Ich würde das Problem damit begegnen, dass ich alle reellen Zahlen biijektiv auf das Intervall (-1,+1) abbilde. Dann hast Du ohnehin keine Vorkommastellen mehr.

Das kann man z.B. geometrisch machen: nimm das Dreieck (-1,0), (1,1), (1,0). Nun nimmst Du eine beliebige Zahl vom Zahlenstrahl und ziehst eine Gerade zur Spitze dieses Dreiecks, also zu (1,1). Dort, wo diese Gerade dieses Dreieck schneidet gehst Du seknrecht hinunter zur x-Achse, das ist der Bildpunkt. Diese Abbildung bildet jeden Punkt aus IR bijektiv auf das Intervall (-1,+1) ab.

Meist wird als Bedingung genannt, dass jede Zahl beschreibbar sein muss, und damit wäre jede natürlich Zahl auch bezifferbar, während viele reelle Zahlen zwar leicht beschreibbar sind, aber nicht vollständig bezifferbar.

Was ist "beschreibbar", was ist "bezifferbar" ? Naiverweise mag das Dir vielleicht klar sein (mir nicht), aber man sollte das wenigstens ein Stück weit hieb- und stichfest definieren, ohne in Pedanterie zu verfallen.

Bei der Liouvillschen Zahl ist das anders, sie wird durch unendliche Rekursion beschrieben, was auch für natürliche Zahlen dazu führt, dass sie nicht bezifferbar sind.

Auch das verstehe ich nicht - die Liouvillesche Zahl ist eine ganz banale Summe aus Termen 1*10^(-n).

Genauso sehe ich keine Regel, die verbietet, eine natürlich Zahl in der Weise zu bilden, dass die nächste Nachkommastelle von π als führende Ziffer angefügt wird.

Wie gesagt: Vorkommastellen kann man ganz einfach vermeiden. Solange Deine Vorkomma-Konstruktion endlich bleibt hast Du ohnehin nicht die Zahl pi, sondern nur ihren "cut" nach n-Kommastellen, und das ist eine rationale Zahl. Und sobald Du unendlich viele davon hast divergiert das ganze gegen "+oo".


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Rainer]

das ist immer endlich

das ist eine Definitionsfrage, denn die Ziffernfolge ist eben dann unendlich lang.

viele Vorkommastellen hast ist das Ergebnis immer "unendlich"

Ja und, ist das jetzt verboten? Wieso nicht definiert?Ich habe doch genau gesagt, welche Zahl ich meinte....

Ich würde das Problem damit begegnen, dass ich alle reellen Zahlen biijektiv auf das Intervall (-1,+1) abbilde. Dann hast Du ohnehin keine Vorkommastellen mehr.

Warum so umständlich? Einfach abschneiden.
Naja, das ist natürlich richtig und noch einfacher.

 

[ralfkannenberg]

das ist eine Definitionsfrage, denn die Ziffernfolge ist eben dann unendlich lang.

Hallo Rainer,

nur, solange die unendlich vielen Ziffern nach dem Dezimalpunkt kommen.

Ja und, ist das jetzt verboten? Wieso nicht definiert?Ich habe doch genau gesagt, welche Zahl ich meinte....

Du hast mich hier verloren - kannst Du mir das nochmals Stück für Stück aufschreiben ?

Irgendwo hängst Du irgendwie eine 3 vornedran (1. Iterationsschritt ?), dann eine 31 (2. Iterationsschritt ?), dann eine 314 (3. Iterationsschritt), eine 3141 (4. Iterationsschritt), eine 31415 (5. Iterationsschritt) u.s.w.

Könntest Du mir das bitte nochmals etwas langsamer ausführen ?

Warum so umständlich? Einfach abschneiden.

Würde prinzipiell auch gehen; der Vorteil ist, dass mein Vorschlag ("mein" = entstammt meinem Mathematikbuch zu Schulzeiten) bijektiv ist, d.h. die involvierten Mengen sind gleichmächtig.

Naja, das ist natürlich richtig und noch einfacher.

Ob es einfacher ist sei dahingestellt, aber eben - es ist gleichmächtig und das ist ein gutes Argument.

Aber hier ist ohnehin kein Problem, mein Verständnisproblem liegt bei Deiner Konstruktion der Vorkommastellen.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[ralfkannenberg]

Genauso sehe ich keine Regel, die verbietet, eine natürlich Zahl in der Weise zu bilden, dass die nächste Nachkommastelle von π als führende Ziffer angefügt wird.

π → ...5972833462648323979853562951413

Damit wären die natürlichen Zahlen ebenfalls überabzählbar, ODER die reellen sind es AUCH nicht.

Hallo Rainer,

das habe ich vorher nicht gesehen.

Nein - dieses Konzept geht nicht auf. Diese Überabzählbarkeit des Kontinuums oder meinetwegen der Strecke zwischen (-1,+1) kommt ja daher, dass es so eine riesige Anzahl möglicher Nachkommastellen gibt, die allesamt ein anderes Ergebnis liefern. Aber erst, wenn man sehr salopp formuliert unendlich viele Nachkommastellen hat. Vorher sind das ganz banale rationale Zahlen. Und schon seit der Antike weiss man, dass beispielsweise die Länge der Diagonalen im Einheits-Quadrat (Satz von Pythagoras, -> √2) keine rationale Zahl ist, d.h. mit Zirkel und Lineal (und Einheitsmassstab) konstruierbar, aber nicht rational, das kriegt man auch mit der cleversten Intervall-Schachtelung nicht hin.

Symmetrisch auf Vorkommastellen bezogen klappt das nicht:
selbst wenn man die "unendlich grosse natürliche Zahl" zu IN dazunimmt, also die Menge IN U {+oo} betrachtet, so ist diese nach wie vor abzählbar:

+oo <-> 1
1 <-> 2
2 <-> 3
3 <-> 4
(...)
n <-> n+1

Das ist eine Bijektion, d.h. die Menge IN U {+oo} ist gleichmächtig zur Menge IN.

Woran liegt das ? - Nun, von der "unendlich grossen natürlichen Zahl" gibt es nur eine, indes von den unendlich vielen Nachkommastellen-Zahlen gibt es sehr viele verschiedene. Unendlich viele, und wie der Cantor'sche Diagonalbeweis zeigt kann man diese nicht alle in eine Liste schreiben, d.h. diese sind überabzählbar unendlich.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Rainer]

Woran liegt das ? - Nun, von der "unendlich grossen natürlichen Zahl" gibt es nur eine, indes von den unendlich vielen Nachkommastellen-Zahlen gibt es sehr viele verschiedene.

Das stört mich jetzt nicht, solange sie unterschiedliche Ziffernfolgen aufweisen.

Um es mal so zu sagen:
Wenn das ein Hinderungsgrund sein soll, dann liegt es an einer falschen Definition. Spiegelbildliches IST gleich.

Wenn Du davon ausgehst, dass solche Zahlen alle den gleichen (Grenz)-Wert ∞ haben, dann hat auch die unendlichste Ziffer der reellen Zahlen KEINEN Zahlenwert.

Alle endlichen Ziffern sind spiegelbildlich gleich, die "letzte" ist nicht definiert.

und wie der Cantor'sche Diagonalbeweis zeigt kann man diese nicht alle in eine Liste schreiben

Das kann man mit diesen Spiegelbildern auch -nicht-.

 

[ralfkannenberg]

Das stört mich jetzt nicht, solange sie unterschiedliche Ziffernfolgen aufweisen.

Hallo Rainer,

es sollte Dich aber stören

Um es mal so zu sagen:
Wenn das ein Hinderungsgrund sein soll, dann liegt es an einer falschen Definition. Spiegelbildliches IST gleich.

Nein: nimm die Folge {1, 2, 3, 4, 5 ...}. Diese divergiert (gegen +oo).

Nimm nun die "spiegelbildliche" Folge der Kehrwerte, also 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 ... . Diese konvergiert gegen 0 ("zufälligerweise das Neutralelement der Addition"). Im Übrigen konvergiert sie letztlich deswegen, weil der Abstandsbegriff, also die Metrik, über die Addition definiert ist. Das hat zur Konsequenz, dass die "spiegelbildliche" Folge der Negativen, also -1, -2, -3, -4, -5 ..., gegen -oo divergiert.

Du kannst (formal) auch eine "spiegelbildliche" Folge der n.-ten Wurzeln bilden - für echt positive Zahlen konvergiert diese auch, und zwar gegen die 1 ("zufälligerweise das Neutralelement der Multiplikation").

Mit sehr viel Fantasie könnte man übrigens "der Meinung sein", dass das Neutralelement des Nachfolgeoperators -oo sei. Dann würde die Folge der negativen Zahlen "so gesehen" gegen das Neutralelement des Nachfolgeoperators "konvergieren", nur dass in unserer additiven Welt das natürlich keine Konvergenz, sondern eine Divergenz ist.


Wie auch immer: die Folge der natürlichen Zahlen divergiert gegen +oo, während die spiegelbildliche Folge ihrer Kehrwerte eine Nullfolge ist, also gegen 0 konvergiert.


Der Fehler, dem Du erliegst, liegt aber ganz woanders, wie wir gleich sehen werden:

Wenn Du davon ausgehst, dass solche Zahlen alle den gleichen (Grenz)-Wert ∞ haben, dann hat auch die unendlichste Ziffer der reellen Zahlen KEINEN Zahlenwert.

Hier liegt Dein Fehler (und Du erkennst ihn in Deinem nächsten Satz ja auch gleich selber):

es gibt keine "unendlichste" Ziffer. Ebensowenig wie es eine natürliche Zahl "unendlich" gibt. Es klingt banal, aber man muss es sich dennoch immer wieder bewusst machen:

Jede natürliche Zahl ist endlich, aber es gibt unendlich viele von ihnen. Das ändert aber nichts daran, dass jede von ihnen endlich ist.

Alle endlichen Ziffern sind spiegelbildlich gleich, die "letzte" ist nicht definiert.

Ganz genau so ist es. Nur: Du kannst Dich dieser letzten Ziffer "annähern", indem Du die ersten n Ziffern betrachtest, dann die n+1.-te Ziffer und nun letztlich eine vollständige Induktion durchführst.

Ein jonglieren mit der "unendlichsten" Ziffer - egal ob vor oder nach dem Komma - ist nicht zielführend, weil nicht definiert. Die endlichen (Teil-)Folgen aber sind wohldefiniert und nun kann man die Regeln der Infinitesimalrechnung und der Konvergenz anwenden und damit Aussagen gewinnen. Nicht in jedem Fall, aber in vielen Fällen.

Das kann man mit diesen Spiegelbildern auch -nicht-.

Genau.

Es ist keine Schande, wenn man sich beim Betrachten von Unendlichkeiten auf endliche Mengen beschränkt und dann die Regeln der "Epsilontik" darauf anwendet. Wenn man dann noch das Kontinuum zugrundelegt muss man noch zusätzlich die Dreieck-Ungleichung und die Schwarz'sche Ungleichung anwenden und beachten, dass die abzählbare Menge der rationalen Zahlen dicht in der überabzählbaren Menge der reellen Zahlen liegt.


Freundliche Grüsse, Ralf