Spielereien mit abzählbar-unendlichen Mengen: Hilbert-Hotel

[TomS]

Mein "Problem" ist, dass ich den p-adischen Körper als die normalen Zahlen ansehe …

Das glaube ich dir nicht.

 

[Rainer]

Das glaube ich dir nicht.

Ich spreche nicht von deren Darstellung, sondern von der Erweiterung.

 

[TomS]

Auch das glaube ich nicht. p-adische Zahlen haben z.T. völlig andere Eigenschaften als z.B. reelle Zahlen.

 

[Rainer]

p-adische Zahlen haben z.T. völlig andere Eigenschaften als z.B. reelle Zahlen.

Dann ist das aber eine merkwürdie "Erweiterung", das sieht mir dann eher nach "Veränderung" aus.
Aber die Eigenschaft der Zahlen stand eigentlich nicht im Vordergrund. Es ging ja darum, was die repräsentieren.

 

[TomS]

Dann ist das aber eine merkwürdie "Erweiterung", das sieht mir dann eher nach "Veränderung" aus.

"Erweiterung" ist ein Fachbegriff.

Aber die Eigenschaft der Zahlen stand eigentlich nicht im Vordergrund. Es ging ja darum, was die repräsentieren.

Na ja, ich dachte, genau deine links unbegrenzten Ziffernfolgen sollen etwa repräsentieren. Und da fallen einem eben die p-adischen Zahlen ein.

 

[Rainer]

Und da fallen einem eben die p-adischen Zahlen

sagen wir so, die p-adischen Zahlen repräsentieren meine (mathematisch unzulässigen) Zahlen, bzw eben die Spiegelbilder der reellen Zahlen.

 

[ralfkannenberg]

sie werden dadurch natürlich nicht gleichmächtig wie die reellen Zahlen.

Hallo Rainer,

sorry, ich war das gesamte Wochenende offline.

Die p-adischen Zahlen liefern wenn ich das richtig verstanden habe eine "Vervollständigung", d.h. dass alle "Cauchy-Folgen" ebenfalls in der Menge enthalten sind. Und dann wird es - etwas salopp und allzu anschaulich formuliert - überabzählbar.

Und da kann man dann vermutlich auch eine Art Cantor'schen Diagonalbeweis ansetzen.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[ralfkannenberg]

Hallo zusammen,

der Thread ist etwas zum Erliegen gekommen, ich wollte noch etwas zu den Darstellungen sehr einfacher Zahlen wie 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 und 1/6 schreiben, also 1/"kleine Primzahl", 1/ "Quadrat einer Primzahl (der kleinsten Primzahl)" sowie 1/"Produkt der beiden kleinsten Primzahlen", habe aber aus beruflichen Gründen keinerlei Zeit gefunden. Zudem weile ich ab morgen für eine gute Woche in den Ferien. Offline, d.h. ohne Internetzugang.

Aber natürlich mit Feldstecher und ein paar Sternkarten

Vielleicht hat jemand der Mitleser ja Lust, dies mal aufzuschreiben.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[ralfkannenberg]

Vielleicht hat jemand der Mitleser ja Lust, dies mal aufzuschreiben.

Hallo zusammen,

ich mache das mal für die drei einfachsten Beispiele:

x = 0.5 = 1/2 = 1 / 2¹

p = 2
x = 1/1 * 1/2¹
a = 1, b = 1, n = -1
|0.5|₂ = 2¹ = 2

Andere p haben wir hier nicht.

========================================================

x = 0.33333..... = 1/3 = 1 / 3¹

p = 3
x = 1/1 * 1/3¹
a = 1, b = 1, n = -1
|0.3333...|3 = 3¹ = 3

Andere p haben wir hier nicht.
========================================================

x = 0.25 = 1/4 = 1 / 2²

p = 2
x = 1/1 * 1/2²
a = 1, b = 1, n = -2
|0.25|₂ = 2² = 4

Andere p haben wir hier nicht.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[TomS]

Und da kann man dann vermutlich auch eine Art Cantor'schen Diagonalbeweis ansetzen.

Ja.

Äquivalent die Bijektivität zu den reellen Zahlen.

 

[ralfkannenberg]

jedes andere p
|0.19|p = 1

Hallo zusammen,

das dürfte bei der Zahl 1 für alle p der Fall sein: |1|p = 1

a=1, b=1 und n=0


Freundliche Güsse, Ralf

 

[ralfkannenberg]

Man schreibt eine rationale Zahl x als

wobei a,b teilerfremde natürliche Zahlen sind, p eine Primzahl, n eine ganze Zahl, und wobei außerdem weder a noch b einen Primfaktor p enthalten; das ist für jedes rationale x und je p immer eindeutig möglich.

Hallo Tom,

nicht ganz: für die rationale Zahl 0 klappt das meines Erachtens nicht. Allerdings könnte man eine Minimalitätsbedingung zufügen, dahingehend, dass man bei mehreren "Kandidaten" denjenigen mit dem kleinsten Absolutbetrag wählen soll. Dann hätten wir für die 0:

a=0, b=1 und n=0.

Aber eben: für alle natürlichen Zahlen > 1 klappt das für b auch, und bezüglich n klappt das sogar für alle n.

Dann definiert man den Betrag

Man beachte das Vorzeichen bei n!

Ohne die Minimalitätsbedingung wäre |0|p = nicht definiert, mit Minimalitätsbedingung wäre der Betrag wie bei der 1 für alle p gleich 1.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[TomS]

Du hast recht, man definiert zusätzlich