Naja, das ist schon alles klar. Es geht ja um die Menge der Zahlen. Und da sehe ich keinen Unterschied zwischen den reellen und deren Spiegelbild, denn wir betrachten ja nur endliche Ziffernfolgen. Daher ist der Lines → ∞ eben nur ein Limes, wird aber nie erreicht, sondern nur asymptotisch.
Hallo Rainer,
nicht unbedingt: die Summe 0.3+0.03+0.003+... hat auch unendlich viele von 0 verschiedene Nachkommastellen, wird aber trotzdem "erreicht", denn es handelt sich ja um die wohldefinierte Zahl 1/3.
Bei der geometrischen Reihe für die Zahl 1/2, also 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... muss man ein bisschen mehr überlegen, aber auch sie führt zu einer wohldefinierten Zahl, nämlich der 1, einfach in der Folge (1-1/2, 1-1/4=3/4, 1-1/8=7/8, 1-1/16=15/16 ...).
Und bei der Reihe, welche die Euler'sche Zahl e definiert, muss man sich eben etwas mehr überlegen, aber diese Reihe ist absolut konvergent, die ersten beiden Glieder sind gleich 1 und die übrigen kleiner gleich einem Glied der geometrischen Reihe für die Zahl 1/2, d.h. diese Reihe konvergiert - und zwar eindeutig, d.h. sie existiert und man nennt den Grenzwert "e".
Was ich sagen will: auch wenn diese drei Reihen wenn man sie so definiert "nur" asymptotisch ihren jeweiligen Grenzwert erreichen, so existieren sie. Niemand hat Zweifel, dass die Zahl 1/3 existiert und wohldefiniert ist, niemand hat Zweifel, dass die Zahl 1 existiert und wohldefiniert ist; bei der Euler'schen Zahl e mag das etwas weniger "straight forward" sein, aber die Methoden sind dieselben, d.h. diese Zahl existiert auch und ist wohldefiniert.
Vielleicht sollte man es so formulieren: alle diese Zahlen existieren und sind wohldefiniert ! - Aber wenn man die betrachteten Definitionen verwendet, dann erreicht man sie "nur" asymptotisch. Das ist vielleicht auch der Grund, warum man Mathematikstudentinnen und Mathematikstudenten in ihrem 1.Semester damit quält, damit sie nicht nur (auswendig) lernen, sondern eben auch verstehen, wie wichtig dieser Konvergenzbegriff in der Mathematik ist.
Es ist ein bisschen widersprüchlich, von endlichen Ziffernreihen zu sprechen, die unendlich lang sind.
Das habe ich (hoffentlich) nie geschrieben; es handelt sich um konvergente Folgen endlicher Ziffernreihen. Bzw. bei Deiner Idee mit den Vorkommastellen eben um eine divergente Folge endlicher Ziffernreihen.
Aber jede dieser endlichen Ziffernreihen ist wohldefiniert !
Die Bezeichnung ist ja abzählbar, und da spielt es keine Rolle, ob vor oder hinter dem Komma.
Hier muss ich mich vielleicht an der eigenen Nase fassen: wenn in diesem Zusammenhang von "abzählbar" die Rede ist, dann ist "abzählbar unendlich" gemeint. Endliche Mengen sind trivialerweise im umgangssprachlichen Sinne abzählbar, denn man kann eine Bijektion einer solchen Menge in die Teilmenge der natürlichen Zahlen {1} oder {1, 2} oder {1, 2, 3} oder {1, 2, 3, 4} oder {1, 2, 3, ..., n} finden, und die grösste Zahl dieser Teilmenge der natürlichen Zahl gibt die Anzahl der Elemente dieser Menge an.
Vorsicht noch: ich habe oben geschrieben, dass diese Reihen konvergieren und wohldefiniert sind. Die alternierende harmonische Reihe beispielsweise konvergiert auch, aber hier ist der Grenzwert von der
Reihenfolge der Reihenglieder abhängig. Wenn man sie also anders anordnet kann ein anderes Ergebnis herauskommen. Dieser Effekt tritt bei Reihen auf, die zwar konvergent, nicht aber absolut-konvergent sind.
Freundliche Grüsse, Ralf
P.S. wenn ich kursive oder fette Schrifttypen verwende heisst das bitte nicht, dass ich DIch irgendwie anschreie, sondern es dient einfach der besseren Verständlichkeit und Betonung oder Zusammenfassung meiner Aussagen.
