Frage zum Zwillingsparadoxon
- Ersteller sanchez
- Erstellt am
Bernhard
Registriertes Mitglied
Hallo Dgoe,
Ich gebe dann die Parametrisierung der Bahn an, damit es nicht zu unübersichtlich wird:
x = x_0 * cos(v * t / x_0)
y = x_0 * sin(v * t / x_0)
z = 0
x_0 ist der Radius der Kreisbahn, also 100.000 km. v ist der Absolutbetrag der Geschwindigkeit, also 0,5c.
a) Du kannst jetzt überprüfen, ob der Startpunkt bei t=0 die Aufgabenstellung erfüllt.
b) Berechne erneut die drei Ableitungen dx/dt, dy/dt und dz/dt, allerdings ohne Zahlenwerte. Bitte x_0 und v also nicht ersetzen.
c) Zeichne den so berechneten Geschwindigkeitsvektor in eine geeignete Skizze und überprüfe, ob dieser Vektor parallel zur Tangente der Kreislinie liegt
d) Berechne den Absolutbetrag der berechneten Geschwindigkeit gemäß v = sqrt( (dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)² )
MfG
die Bewegung findet, wie Du bereist geschrieben hast, auf einem Kreis in der xy-Ebene statt. Der Mittelpunkt des Kreises stimmt mit dem Ursprung des Koordinatensystems überein.
Ich gebe dann die Parametrisierung der Bahn an, damit es nicht zu unübersichtlich wird:
x = x_0 * cos(v * t / x_0)
y = x_0 * sin(v * t / x_0)
z = 0
x_0 ist der Radius der Kreisbahn, also 100.000 km. v ist der Absolutbetrag der Geschwindigkeit, also 0,5c.
a) Du kannst jetzt überprüfen, ob der Startpunkt bei t=0 die Aufgabenstellung erfüllt.
b) Berechne erneut die drei Ableitungen dx/dt, dy/dt und dz/dt, allerdings ohne Zahlenwerte. Bitte x_0 und v also nicht ersetzen.
c) Zeichne den so berechneten Geschwindigkeitsvektor in eine geeignete Skizze und überprüfe, ob dieser Vektor parallel zur Tangente der Kreislinie liegt
d) Berechne den Absolutbetrag der berechneten Geschwindigkeit gemäß v = sqrt( (dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)² )
Die Zahlen passen (3 Punkte).
MfG
Zuletzt bearbeitet:
Dgoe
Gesperrt
Hallo Bernhard,
da wäre ich so ohne weiteres im Traum nicht darauf gekommen.
Meinst Du ungefähr so?
Gruß,
Dgoe
Zuletzt bearbeitet:
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Halo Bernhard,
nur am Rande: sollte das:
nicht y = y_0 * sin(v * t / y_0)
heissen ?
Freundliche Grüsse, Ralf
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo Dgoe,
ich glaube nicht.
Die Frage ist, was Bernhard mit "Parametrisierung" meint. Kommt hinzu, dass Bernhard 2 Schritte in einem macht, was für den Laien irreführend sein kann.
Ich will mal helfen statt die Lösung anzuschreiben.
Frage 1: was ist die Bedeutung von x_0 ?
Frage 2: was ist der Absolutbetrag von v * t / x_0 ?
Frage 3: was ist die Bedeutung vom cos(v * t / x_0) ?
Freundliche Grüsse, Ralf
Bernhard
Registriertes Mitglied
Hallo zusammen,
Im Detail: Der Online-Rechner erkennt den Index 0 bei x_0 nicht als solchen und ist deswegen hier erst mal unbrauchbar.
Es gilt:
x_0 ist also ein Paramater und verhält sich beim Differentieren wie eine Konstante. Wenn man das dem Online-Rechner beibringen kann, sollte er eventuell die richtigen Ergebnisse liefern, aber, wie gesagt, würde ich das Differentieren lieber erlernen. Man spart dabei Zeit und die Rechenregeln sind ja auch nicht sooo schwer, Stichwort hier: "Kettenregel".
MfG
Genau und zwar ganz und gar nicht. Vorweg: Ein CAS (Computer Algebra System) für Ableitungen zu verwenden halte ich generell für überhaupt keine Idee, weil die Ableitung doch ein recht simpler Operator ist, den man besser selbst überprüfen sollte. Beim Integrieren würde ich schon eher ein Auge zudrücken, weil die z.T. richtig gut sind. Gerade bei WolframAlpha kann man in der kostenpflichtigen Version schon etwas lernen, weil dort der Rechenweg mitangegeben wird und nicht nur das Ergebnis.
Im Detail: Der Online-Rechner erkennt den Index 0 bei x_0 nicht als solchen und ist deswegen hier erst mal unbrauchbar.
Es gilt:
x_0 ist also ein Paramater und verhält sich beim Differentieren wie eine Konstante. Wenn man das dem Online-Rechner beibringen kann, sollte er eventuell die richtigen Ergebnisse liefern, aber, wie gesagt, würde ich das Differentieren lieber erlernen. Man spart dabei Zeit und die Rechenregeln sind ja auch nicht sooo schwer, Stichwort hier: "Kettenregel".
Ich habe hier eine eindimensionale Parametrisierung vorgeschlagen, d.h. die Ergebnismenge (Punkte auf einem Kreis) bekommt man als Abbildung aus einem eindimensionalen Intervall. Anschaulich erklärt: Man läßt den Parameter t von 0 anwachsen und beobachtet, welche Wertemenge die Funktionen x und y simultan liefern. Man kann das auch in einem zweidimensionalen Koordinatensystem visualisieren. Dazu nimmt man ausreichend viele Werte für t zwischen 0 und 4,18 (genau ein Umlauf), berechnet dann daraus x und y und zeichnet beide Werte als einen Punkt in das Koordinatensystem, denn jeder Punkt in einem zweidimensionalen Koordinatensystem hat ja genau einen x und einen y-Wert. Für jeden Wert von t erhält man dann einen Punkt auf dem Kreis mit Radius x_0 und dem Mittelpunkt bei (0,0).
Wir können das später gerne noch im Detail ansehen.
Nein, denn die Bahn wäre dann ja eventuell kein Kreis mehr. So kompliziert sollten wir es für den Anfang nicht machen.
MfG
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo Bernhard,
ja natürlich, ich habe diese Anfangsbedingung übersehen, d.h. beim Kreis gilt natürlich x_0 = y_0 = r_0
Freundliche Grüsse, Ralf
Dgoe
Gesperrt
Hallo Bernhard,
man kann dem Onlinerechner sicherlich gut beibringen was man will, alleine schon durch die Optionsmöglichkeiten, vorausgesetzt man weiß was man will.
Ich persönlich finde die Regeln auch recht übersichtlich, 1-2 mal gesichtet, habe sie aber weder geübt und noch weniger auswendig intus.
Ich will mich hier auch darauf beschränken den Input für diese CAS richtig zu machen, also entweder anzupassen oder was auch immer zu tun, damit das fluppt, funzt.
Da heraus sehe und lerne ich auch jede Menge, und ja, sollte jede Menge üben, aber das kann ich immer noch, ist hier nur nicht der Fokus, untergeordnet.
Man könnte aus so einer Fragestellung auch ein 1-2-3-jähriges Tutorial formen, kann ich mir denken. Und andererseits befinde ich mich hier durchaus unter Druck, auch wenn es kaum so scheint, alleine aus der Tatsache heraus, dass Dialoge in Threads relativ zeitnah stattfinden - und man nicht flugs sonstwas nachhholen kann, im Zeitrahmen bleibend. Was wäre, ich antworte in 2 Monaten (etliches nachholend)? Siehst'e!? Geht gar nicht.
(@Ralf: der "unvollendete Thread" ist für mich noch offen, apropos)
Einem Thread fehlt das ganze insgesamt aufeinander Aufbauendende, ist nur eine Momentaufnahme, auch wenn er gut strukturiert sein kann. Eben Dialog, Diskussion, nicht viel mehr darüber hinaus.
So, und morgen sehe ich mir an, wie ich den Input verbessern kann und ob das gleiche Ergebnis erscheint, wenn ich manuel nach dem Regelwerk gehe.
Edit
(Der Rechenweg wird dort übrigens auch gratis angezeigt, per klick auf einen Button, ohne paywall. x_0 wurde bemängelt, daraus hatte ich kurzerhand x gemacht, um später wieder zurück-anzupassen, was aber wohl fatal war. Das geht aber totsicher irgendwie mit Konstantem oder wie auch immer, ist doch ein supersimpeles Anliegen. Muss man nur bedienen können.)
Gruß,
Dgoe
man kann dem Onlinerechner sicherlich gut beibringen was man will, alleine schon durch die Optionsmöglichkeiten, vorausgesetzt man weiß was man will.
Ich persönlich finde die Regeln auch recht übersichtlich, 1-2 mal gesichtet, habe sie aber weder geübt und noch weniger auswendig intus.
Ich will mich hier auch darauf beschränken den Input für diese CAS richtig zu machen, also entweder anzupassen oder was auch immer zu tun, damit das fluppt, funzt.
Da heraus sehe und lerne ich auch jede Menge, und ja, sollte jede Menge üben, aber das kann ich immer noch, ist hier nur nicht der Fokus, untergeordnet.
Man könnte aus so einer Fragestellung auch ein 1-2-3-jähriges Tutorial formen, kann ich mir denken. Und andererseits befinde ich mich hier durchaus unter Druck, auch wenn es kaum so scheint, alleine aus der Tatsache heraus, dass Dialoge in Threads relativ zeitnah stattfinden - und man nicht flugs sonstwas nachhholen kann, im Zeitrahmen bleibend. Was wäre, ich antworte in 2 Monaten (etliches nachholend)? Siehst'e!? Geht gar nicht.
(@Ralf: der "unvollendete Thread" ist für mich noch offen, apropos)
Einem Thread fehlt das ganze insgesamt aufeinander Aufbauendende, ist nur eine Momentaufnahme, auch wenn er gut strukturiert sein kann. Eben Dialog, Diskussion, nicht viel mehr darüber hinaus.
So, und morgen sehe ich mir an, wie ich den Input verbessern kann und ob das gleiche Ergebnis erscheint, wenn ich manuel nach dem Regelwerk gehe.
Edit
(Der Rechenweg wird dort übrigens auch gratis angezeigt, per klick auf einen Button, ohne paywall. x_0 wurde bemängelt, daraus hatte ich kurzerhand x gemacht, um später wieder zurück-anzupassen, was aber wohl fatal war. Das geht aber totsicher irgendwie mit Konstantem oder wie auch immer, ist doch ein supersimpeles Anliegen. Muss man nur bedienen können.)
Gruß,
Dgoe
Zuletzt bearbeitet:
Bernhard
Registriertes Mitglied
Hallo Dgoe,
damit es nicht zu langweilig wird: Ersetze x_0 durch a und t durch x, dann "frisst" es das Online-Tool und spuckt auch das richtige Ergebnis aus.
MfG
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo Dgoe,
wie Du sehr richtrig schreibst: vorausgesetzt man weiss, was man will.
Im Testing, in dem ja auch gerne automatisierte Tools verwendet werden, gilt folgende Regel:
"A fool with a tool ist still ..."
(A) cool
(B) a genius
(C) a fool
Freundliche Grüsse, Ralf
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Also bitte, sowas kann man von Hand ausrechnen.
Steht übrigens alles im "unvollendeten Thread" drinne
Freundliche Grüsse, Ralf
Bernhard
Registriertes Mitglied
Das meinte ich ja auch, aber Dgoe hat aktuell wohl nicht die nötige Zeit oder die nötigen Nerven dafür.
Was soll das sein? "Unvollendet sind hier doch eh alle Threads"Steht übrigens alles im "unvollendeten Thread" drinne
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo Bernhard,Was soll das sein? "Unvollendet sind hier doch eh alle Threads"
ich habe mal einen Thead eröffnet, in dem ich diese Fragestellungen einerseits theoretisch und andererseits in der Anwendung der "Kaskade" Beschleunigung - Geschwindigkeit und Strecke erarbeitet habe, und zwar für die Fälle
- der Nullfunktion
- einer konstanten Funktion
- einer linearen Funktion
Dabei ging es darum, mit einfachen geometrischen Mitteln die Fläche unter der Geschwindigkeitsfunktion zu bestimmen, das geht mit einfachen Rechtecken und Dreiecken, die man als Hälfte eines geeigneten Rechteckes ermitteln kann; nur in einem Fall musste ich ein bisschen herumrechnen, weil ich (noch) keinen schönen geometrischen Weg gefunden habe.
Bei dieser Vorgehensweise stösst man dann ganz automatisch auf Formeln wie v=s/t oder v=a*t, wobei erstere eigentlich v[sub]0[/sub]=s/t und zweitere eigentlich v=a[sub]0[/sub]*t heisst, und kann diese dann auch richtig einordnen; man gelangt auch zu den Formeln s=v*t oder s=1/2*a*t², wobei erstere wieder s=v[sub]0[/sub]*t und zweitere s=1/2*a[sub]0[/sub]*t² lauten sollte u.s.w.
Man kann dann die erhaltenen Formeln schön für jeden der drei Fälle, also:
- der Nullfunktion
- einer konstanten Funktion
- einer linearen Funktion
betrachten und dann - zunächst nur für diese einfachen, geometrisch hergeleiteten Formeln - als ganz einfache Anwendung für die Begriffe der "1.Ableitung", der "2.Ableitung" und des "Integrals" einführen.
Freundliche Grüsse, Ralf
Zuletzt bearbeitet:
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Endlich ! Der Lärm ist ja nicht mehr auszuhalten.
Vielleicht war das ja der Grund, warum ich gestern abend in einem Museum eingeschlossen wurde.
Zuletzt bearbeitet:
Dgoe
Gesperrt
Man wollte Dich wohl archivieren: "Und so sieht ein Mathematiker aus!". *scherz*
Gruß,
Dgoe
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Es war ein Kunstmuseum und ich denke nicht, dass meine Wenigkeit von künstlerischem Gehalt ist.
Dgoe
Gesperrt
Der Kunstbegriff ist doch schon lange erheblich erweitert worden, alles ist möglich TOYOOTAAA...
Gruß,
Ein
Jecker
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Na ja, es war vielmehr so, dass ein Künstler ein Werk mit dem Sternhimmel drauf geschaffen hat und ich nun versucht habe, diese mit der Realität zu vergleichen. Dadurch dass der Künstler einige Sterne/Sternbilder durchaus realitätsnah dargestellt hatte, hat das eben länger gedauert als das Museum offen war.
Dgoe
Gesperrt
A so,
Die meisten, die ich kenne, machen bei sowas wahllos willkürlich irgendwelche hübsche Pünktchen, evtl. gewürzt mit einer Vorlage, die man frei abwandelt, je nach Gusto.
Da kannste' dann lange rätseln...
Hehe, zuuu lange...
Finde ich aber toll, so gute Betrachter wünscht man sich eigentlich, ich würde - wenn - dann auch nicht enttäuschen wollen. Aber die Intention steht im Allgemeinen im Mittelpunkt, nicht unbedingt Detailtreue.
Gruß,
Dgoe