ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Für die stille Mitleserin oder den stillen Mitleser:"Darstellung" heißt auf Englisch "representation".
Die Darstellungstheorie ist ein Teilgebiet der Algebra. Wenn man also im Supermarkt die Rechung dahingehend überprüft, dass man die Anzahl der ungeraden letzten Ziffern jedes eingekauften Artikels zählt und dann mit der letzten Ziffer der Einkaufssumme vergleicht - sprich, wenn erstere ungerade ist muss letztere ebenfalls ungerade sein und wenn erstere gerade ist muss letztere ebenfalls gerade sein, so wendet man letztlich diese Darstellungstheorie an, indem man die Gruppe der Preise modulo 10 auf die F2 abbildet, also die Gruppe {gerade, ungerade} bzw. {0, 1}.
Ein Beispiel möge das verdeutlichen:
Artikel 1 kostet 2.35 Euro ---> letzte Ziffer 5, d.h. ungerade, d.h. erster Artikel mit ungerader Endziffer
Artikel 2 kostet 1.72 Euro ---> letzte Ziffer 2
Artikel 3 kostet 2.21 Euro ---> letzte Ziffer 1, d.h. ungerade, d.h. zweiter Artikel mit ungerader Endziffer
Artikel 4 kostet 0.88 Euro ---> letzte Ziffer 8
Artikel 5 kostet 1.49 Euro ---> letzte Ziffer 9, d.h. ungerade, d.h. dritter Artikel mit ungerader Endziffer
Wir haben also 3 Artikel mit ungerader Endziffer im Preis, das heisst, dass die letzte Ziffer des gesamten Einkaufspreises ebenfalls ungerade sein muss. Ist sie das nicht liegt ein Rechenfehler vor.
Überprüfung:
2.35
1.72
2.21
0.88
1.49
-----
8.65 Summe
Die Endziffer der Summe ist 5, also wie vorhergesagt ungerade.
Nun könnte man statt auf Endziffer {gerade, ungerade} auch darauf prüfen, dass die Endziffer durch 5 teilbar ist, bei Division durch 5 einen Rest 1 oder bei Division durch 5 einen Rest 2 u.s.w. belässt. Das muss ebenfalls aufgehen, wobei man die durch 5 teilbaren Endziffern nicht mitzuzählen braucht, weil diese einen Beitrag 0 liefern.
Artikel 1 kostet 2.35 Euro ---> letzte Ziffer 5, d.h. durch 5 teilbar
Artikel 2 kostet 1.72 Euro ---> letzte Ziffer 2, d.h. bei Division durch 5 verbleibt ein Rest 2
Artikel 3 kostet 2.21 Euro ---> letzte Ziffer 1, d.h. bei Division durch 5 verbleibt ein Rest 1
Artikel 4 kostet 0.88 Euro ---> letzte Ziffer 8, d.h. bei Division durch 5 verbleibt ein Rest 3
Artikel 5 kostet 1.49 Euro ---> letzte Ziffer 9, d.h. bei Division durch 5 verbleibt ein Rest 4
Die Summe der Reste beträgt 2+1+3+4 = 10, d.h. die Summe der Reste ist durch 5 teilbar. Somit muss auch die Summe des Gesamtpreises durch 5 teilbar sein.
Schauen wir uns die Summe an: hier ist die Endziffer 5, also ebenfalls durch 5 teilbar. - Hier bildet man also die Gruppe der Preise modulo 10 auf die F5 ab, also die Gruppe {durch 5 dividierbar, bei Division durch 5 den Rest 1 belassend, bei Division durch 5 den Rest 2 belassend, bei Division durch 5 den Rest 3 belassend, bei Division durch 5 den Rest 4 belassend} bzw. {0, 1, 2, 3, 4}.
Vorsicht bei der Teilbarkeit durch andere Ziffern; das funktioniert selbstverständlich auch, aber dann darf man sich nicht auf die Endziffer beschränken, sondern muss den jeweiligen gesamten Preis betrachten, weil diese Endziffern nicht durch 10 teilbar sind, d.h. Preis modulo 10 im Allgemeinen von 0 verschieden ist und somit ebenfalls einen von 0 verschiedenen Beitrag zum Rest liefert.
Aber bei meinem Beispiel ging es ja dazu, eine einfache Möglichkeit zu finden, mit Hilfe der algebraischen Darstellungstheorie die Gesamtsumme zu überprüfen.
Die Idee hinter der Darstellungstheorie ist letztlich die, dass man z.B. bei den Einkaufspreisen - mit 100 multipliziert sind das die natürlichen Zahlen bzw. wenn man auch Stornos zulässt die ganzen Zahlen - ebenfalls beschreiben kann, wenn man das Verhalten betreffend der Teilbarkeit durch die natürlichen Zahlen kennt, und diese durch die Teilbarkeit entstehenden Reste sind im Allgemeinen einfacher zu handhaben als die gesamte Gruppe der ganzen Zahlen, nicht zuletzt auch deswegen, weil diese "Restgruppen" - genauer. Restklassengruppen - viel weniger Elemente haben.
Freundliche Grüsse, Ralf
Zuletzt bearbeitet: