2 Ellipsenformeln

[Bernhard]

WA kann die zweite Formel für a=b auch auswerten: https://www.wolframalpha.com/input?i=evaluate+v+=+p/sqrt(a²+(a²-b²)-sqrt(a²(sqrt(b²-y²)a/b+sqrt(a²-b²))²/((sqrt(b²-y²)a/b)²+y²+(a²-b²)+sqrt(a²-b²)2(sqrt(b²-y²))a/b))2(sqrt(a²-b²)))+where+a=b

Damit sind beide Formeln für a=b gleich, falls b>0 wegen sqrt(b²)

 

[Rainer]

doch von y unabhängig.

ja, weil davor der Faktor ²(a²-b²)=0 steht
das hatte ich oben noch angefügt.

Und das zeigt, dass hier y eine andere Rolle als in der anderen Formel spielt (wenn a² ≠ b²) meine ich.

 

[Bernhard]

Und das zeigt, dass hier y eine andere Rolle als in der anderen Formel spielt (wenn a² ≠ b²) meine ich.

Bei den Werten a=1,b=0,3 und y=0 kommt bei beiden Formeln auf vier Nachkommastellen das gleiche raus.

 

[Rainer]

y = 0 bedeutet Perihel oder Aphel. Ja es kommt immer das Gleiche raus, ich kann mal meinen Plotter auf größte Detailstufe (Vergrößerung) stellen...das gibt sicherlich 10 Kommastellen, natürlich dann ohne den Offset.

hier bitte, es geht noch bissl größer, aber nur noch in der x-Achse. Die Beschriftung der y-Achse ist vorne abgeschnitten.

 

[ralfkannenberg]

Bei den Werten a=1,b=0,3 und y=0 kommt bei beiden Formeln auf vier Nachkommastellen das gleiche raus.

Hallo Bernhard,

ich denke, niemand bezweifelt, dass die beiden Formeln äquivalent sind, die grosse Kunst besteht "nur" darin, das auch zu beweisen.

Von Hand ist das höchst mühsam - letztmals habe ich so etwas gemacht, als ich die Dissertation meiner damaligen Freundin (mittlerweile Ehefrau) überprüft habe, wobei dieser Ausdruck bei Weitem kürzer war als Rainer's 2.Formel.

Ja, oftmals ist es hilfreich, mit Hilfsvariablen das Ganze zu vereinfachen, und wenn man sich - im Gegensatz zu mir - besser mit Kegelschnitten oder auch mit den Bahnparametern von Umlaufbahnen auskennt, wobei man hier ja die Neigungen und Knoten nicht benötigt, dann findet man vermutlich auch geometrisch sinnvolle Hilfsvariable, die das ganze vereinfachen.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Bernhard]

ich denke, niemand bezweifelt, dass die beiden Formeln äquivalent sind, die grosse Kunst besteht "nur" darin, das auch zu beweisen.

Ich würde im Prinzip die Umformung in ein Polynom versuchen, bin da aber momentan auch nicht ausreichend für die zweite Formel motiviert (ätzend). Wenn die zwei Formeln numerisch die gleichen Werte ergeben, werden sie schon identisch sein.

 

[Rainer]

dann findet man vermutlich auch geometrisch sinnvolle Hilfsvariable, die das ganze vereinfachen.

Na ... so ist die Formel ja schließlich entstanden.
DANN gibt es gar keine Übereinstimmung mehr, weil viele andere Parameter auftauchen.

Die übliche Geschwindigkeitsgleichung der Ellipsenbahn im Punkt X (aus Vis-Viva entwickelt) lautet in meiner Formulierung:
v = ²(2a/rZ-1)vN = ²(2a/rZ-1)ρ/b

Somit ergibt sich unter Eliminierung aller möglichen Parameter, wodurch nur noch die Parameter a, b, y und ρ übrig bleiben, wobei auch noch zB a durch Skalierung auf 1 gesetzt werden könnte:
v = ²(2a/²((²(a²-b²)-²(b²-y²)a/b)²+y²)-1)ρ/b

Meine neue Herangehensweise beruht nun auf dem Stoßparameter B, für den die Gleichung gilt
v = ρ/rB
wobei rB der Abstand des Stoßpunktes B und somit der Tangente im Punkt X zum Gravizentrum ist. Die Schwierigkeit bestand darin, wie man diesen Abstand aus der Position X errechnen kann. Es ergab sich nun, dass die Tangente im Punkt X, die ja die Bewegungsrichtung in diesem Punkt beinhaltet, zugleich die Mittelsenkrechte der Verbindung des Gravizentrums Z zu einem Punkt L auf dem Leitkreis ist, der wiederum der Schnittpunkt aus der Gerade vom Mittelpunkt M durch den Punkt X ist. Das Besondere ist aber, dass dieser Schnittpunkt der Mittelsenkrechten B = rL/2 genau auf dem Kreis mit Radius a um den Mittelpunkt M liegt. Daraus lässt sich dieser Stoßparameter B nun leicht berechnen, ohne Vektorrechnung einsetzen zu müssen, am Ende ergibt sich:
rB =²(a²+e²-²(a²(x+e)²/(x²+y²+e²+2e*x))2e) = ²(a²+(a²-b²)-²(a²(²(b²-y²)a/b+²(a²-b²))²/((²(b²-y²)a/b)²+y²+(a²-b²)+²(a²-b²)2(²(b²-y²))a/b))2(²(a²-b²)))

 

[ralfkannenberg]

Ich würde im Prinzip die Umformung in ein Polynom versuchen, bin da aber momentan auch nicht ausreichend für die zweite Formel motiviert (ätzend).

Hallo Bernhard,

wie gesagt, das geht mir leider genauso.

Wenn die zwei Formeln numerisch die gleichen Werte ergeben, werden sie schon identisch sein.

Das ist aber kein Beweis


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[ralfkannenberg]

Na ... so ist die Formel ja schließlich entstanden.
DANN gibt es gar keine Übereinstimmung mehr, weil viele andere Variablen auftauchen.

Hallo Rainer,

doch natürlich, man muss halt beide Formeln auch im allgemeinen Fall der Ellipsen idealerweise so weit vereinfachen, dass man ihre Äquivalenz beweisen kann.

Als Mathematiker ist man dann übrigens noch nicht fertig, da man dann ja auch noch gerne den Nachweis erbringen möchte, dass diese Äquivalenz (sofern definiert) für alle Kegelschnitte gültig ist, wobei man hierbei aber die grosse und die kleine Halbachse durch andere Parameter ersetzen muss.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Rainer]

Als Mathematiker ist man dann übrigens noch nicht fertig, da man dann ja auch noch gerne den Nachweis erbringen möchte, dass diese Äquivalenz (sofern definiert) für alle Kegelschnitte gültig ist, wobei man hierbei aber die grosse und die kleine Halbachse durch andere Parameter ersetzen muss.

Das wird wohl nicht klappen, weil es um die Geschwindigkeit in der Ellipse geht, und es keine geometrische Gleichheit ist.
Ich habe oben noch erheblich ergänzt....wenns hilft?

 

[Rainer]

doch natürlich, man muss halt beide Formeln auch im allgemeinen Fall der Ellipsen idealerweise so weit vereinfachen, dass man ihre Äquivalenz beweisen kann.

Du verkennst mein Thread Thema.

Es geht nicht um einen Beweis der Äquivalenz, diese ist physikalisch begründet, (und mit dem Plot belegt), sondern um die Tatsache, dass zwei Formeln mit unterschiedlichen Wurzeln derselben 2 Parameter (b und y, a=1, |y| < b < a) zum selben Ergebnis führen.

Heute hat es geklappt, die Formeln in WA und in dcode.fr/equation-solver zu vergleichen und beide konnten es nicht auflösen oder vereinfachen.

 

[Rainer]

sqrt(2/sqrt((sqrt(1-.3²)-x)²+(1-x²).3²)-1)/.3;

1/sqrt(1+(1-.3²)-sqrt((x+sqrt(1-.3²))²/(x²+(1-x²).3²+(1-.3²)+2*sqrt(1-.3²)*x))2*sqrt(1-.3²));

Dies sind die beiden Funktionen, nur nach |x|<a statt nach |y|<b aufgelöst, sie sind ebenfalls gleich und nicht ineinander überführbar, aber handlicher. (mit b = .3)

Man sieht die gleiche Geschwindigkeit v bei x=1 und y=0 sowie bei y=b und x=0 etc.

 

[Bernhard]

Ich schreibe für mich die zweite Gleichung mal wie folgt an:
4a²c²z²/n = a²+y²-p²/v²
mit
c=sqrt(a²-b²)
z=(ad+bc)/b
n=y²+c²+2acd/b+(ad/b)²
d=sqrt(b²-y²)
Damit kann man die zweite Gleichung ebenso wie die erste Gleichung in einen Polynom der Art
f1(a,b,p,v)y^4+f2(a,b,p,v)y²+f3(a,b,p,v)=0
umformen und kann die f1,f2,f3 für beide Formeln dann vergleichen. Ergeben sich bei beiden Gleichungen die gleichen f's, so sind die Gleichungen auch ineinander überführbar, wobei ich es aktuell nicht überblicke, ob sich bei der zweiten Gleichung nicht noch höhere Potenzen von y ergeben. Es bleibt so noch einige Arbeit für die Berechnung der f's.

 

[Rainer]

Hier sind die beiden Gleichungen (b=.3) umgeformt: (WA genauso wie equation-solver)
Ich habe ρ und einmal b rausgekürzt und einmal quadriert und x und y sind dasselbe, sorry

 

[ralfkannenberg]

Es geht nicht um einen Beweis der Äquivalenz, diese ist physikalisch begründet, (und mit dem Plot belegt), sondern um die Tatsache, dass zwei Formeln mit unterschiedlichen Wurzeln derselben 2 Parameter (b und y, a=1, |y| < b < a) zum selben Ergebnis führen.

Hallo Rainer,

das können sie aber nur, wenn sie nicht nur physikalisch begründet, sondern auch mathematisch äquivalent sind.

Ich persönlich habe keinen Zweifel daran, dass dem so ist, aber eben: wie Bernhard es derzeit versucht ist der Beweis noch ausstehend, kommt hinzu, dass der Beweis bei dem Umfang der 2.Formel leider auch sehr fehleranfällig ist, wenn man ihn von Hand führt.

Quadratwurzeln im Nenner kann man übrigens wegkriegen, indem man mit der konjugierten Quadratwurzel erweitert:

Betrachten wir den Körper IQ(²2), dann gilt: 1/(a+²2) = (a-²2)/(a²-2), wobei der Nenner a²-2 in IQ ist. Wenn man den Körper IQ nicht mit ²2, sondern mit i=²(-1) adjungiert, erhält man übrigens die konjugiert-komplexe Zahl.

Wer die klassische Schreibweise bevorzugt: 1/(a+√2) = (a-√2) / (a²-2) = a/(a²-2) - √2/(a²-2) ∈ IQ(√2)

Damit erbringt man ja gerade den Nachweis, dass von der 0 abgesehen jedes Element der IQ(√2) auch ein multiplikativ-inverses Element hat, so dass die IQ(√2) also ein Körper ist. - Der Nachweis der übrigen Körpereigenschaften ist trivial, wenn man benutzt, dass IR ein Körper ist und die benötigten Assoziativgesetze, Kommutativgesetze und Distributivgesetze somit in IR gültig sind und insbesondere auch auf jeder Teilmenge von IR. Vorsicht noch mit dem Teilmengenbegriff: natürlich muss man seperat nachweisen, dass die IQ(√2) abgeschlossen ist bezüglich Addition und Multiplikation und dass auch alle verlangten Neutral- und inversen Elemente ebenfalls in IQ(√2) liegen.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Rainer]

Ich persönlich habe keinen Zweifel daran, dass dem so ist

Muss so sein, oder ich habe die Wurzeln aufgebohrt Ich wollte ja nur das Elliptische Integral angreifen

Quadratwurzeln im Nenner kann man übrigens wegkriegen,

Ich wollte sowieso schon die Kehrwerte vergleichen, das ist einfacher.
Eigentlich dachte ich, dass Ausmultiplizieren am ehesten zum Ziel führt. (Ergebnis = 1) Aber der Ausdruck wurde für WA zu lang.

 

[Bernhard]

Damit kann man die zweite Gleichung ebenso wie die erste Gleichung in einen Polynom der Art
f1(a,b,p,v)y^4+f2(a,b,p,v)y²+f3(a,b,p,v)=0

Hier mal mein Ergebnis für die erste Formel:
f1 = c^4/b^4
f2 = 4a²c²/b²-2k_2c²/b²
f3 = k_2²-4a²c²
k_2 = c²+a²-k_1²
k_1 = 2ap²/(b²v²+p²)
Aus c=0 folgt k_2=0, daraus dann k_1=a und daraus dann v=p/b

 

[Rainer]

Dein c ist übrigens die Exzentrizität e bzw ε=e/a da ja a=1.

Wie hast Du das denn geschafft? Keine einzige Wurzel übrig.

 

[Bernhard]

Dein c ist übrigens die Exzentrizität e bzw ε=e/a da ja a=1.

ok

Wie hast Du das denn geschafft? Keine einzige Wurzel übrig.

Ich hatte halt schon mal eine ähnlich gelagerte Aufgabenstellung . Ralf kennt solche Rechnungen sicher auch ganz gut.

Bei obiger Umformung kann man die f's noch mit b^4 multiplizieren. Dann braucht man das k_2 nicht mehr. Die Umformung der zweiten Gleichung habe ich so weit verfolgt, bis man sehen kann, dass dort auch die drei f's ausreichen. Man kann durch weitere Multiplikationen auch alle Brüche in den f's entfernen und hat dann am Ende nur noch Polynomvergleiche. Die Rechnung ist lang, aber elementar. Da der gleiche physikalische HIntergrund besteht, kann man sich die restlichen Umformungen wegen mir eigentlich sparen. Das ist dann eher eine Fleißaufgabe ...

 

[Rainer]

Komisch, dass WA nicht dazu in der Lage ist.

Der kleine Unterschied liegt wohl darin, v als Parameter mit einzubeziehen.

Das ist wohl ähnlich, wie der Lagrangepunkt nicht zu berechnen ist, während die Umkehrfunktion ganz einfach ist. Gleiches gilt übrigens für den Berührungspunkt zweier Ellipsen. Gibt man diesen vor, kann man leicht beliebige Ellipsen konstruieren, anders herum kann man den Punkt nicht berechnen.