2 Ellipsenformeln

[Bernhard]

Hier mal mein Ergebnis für die erste Formel:

Multipliziert man die drei f mit b^4 erhält man nach kleineren Umformungen auch:
f1 = c^4
f2 = 2b^4c²+2k_1²b²c²
f3 = b^8-2(c²+a²)k_1²b^4+k_1^4b^3
k_1 = 2ap²/(b²v²+p²)

 

[Rainer]

Ich bin mir jetzt noch nicht ganz sicher, ob dies das Rätsel löst, dass man die Wurzeln nicht ineinander umformen kann.

 

[Bernhard]

Ich bin mir jetzt noch nicht ganz sicher, ob dies das Rätsel löst, dass man die Wurzeln nicht ineinander umformen kann.

Es fehlt jetzt noch die komplette Umformung der zweiten Formel. Man erhält da auch drei f, aber die Berechnung der f's ist da um einiges aufwendiger und noch mal verschachtelter. Die Ergebnisse des Anfangs der Rechung kann man in #33 sehen. Meine Motivation das fertig zu rechnen ist für heute eher gering

 

[Bernhard]

Wie hast Du das denn geschafft?

Wie folgt:
a) Gleichung nach sqrt(a²-b²), bzw. sqrt(b²-y²) auflösen
b) Gleichung quadrieren
c) Gleichung nach sqrt(b²-y²), bzw. sqrt(a²-b²) auflösen
d) Gleichung quadrieren
e) Terme mit y^4 zu f1 zusammenfassen
f) Terme mit y² zu f2 zusammenfassen
g) Terme ohne y zu f3 zusammenfassen

Es gibt also immer zwei Möglichkeiten diese Umformung durchzuführen. Die einzlenen Schritte müsste WA eigentlich auch schaffen, eventuell ohne die Schritte e bis g.

 

[Rainer]

Wie folgt:
a) Gleichung nach sqrt(a²-b²), bzw. sqrt(b²-y²) auflösen

Ahja stimmt, es kommen nur 2 Wurzelausdrücke vor, sonst gäbe es ja Kreuzterme. Das hatte ich übersehen.

 

[Bernhard]

Genau.

Während der Rechnung kann man auch immer wieder kontrollieren, ob sich für c=0 alles auf die bekannte Kurzform reduziert. Das war immer wieder sehr hilfreich, um Rechenfehler zu erkennen.

 

[Rainer]

Ja das habe ich beim letzten Mal auch gelernt, ich setze dann einfach ²2 und ²3 etc für die Variablen ein und dann darf sich das Ergebnis nicht verändern.

xb = ²(b²-y²) = x·fo = x·b/a ist auch eine Größe und zwar der Mittelpunktsabstand auf der Hauptachse im Referenzkreis b

Das heißt,
xb·a/b = x
kann man gleich überall ersetzen

 

[Bernhard]

c) Gleichung nach sqrt(b²-y²), bzw. sqrt(a²-b²) auflösen

Die Schritte a und b werden gar icht benötigt, weil wir für die erste Wurzel die Abkürzung c haben.
Schritt c kann man von WA zB mit
solve v^2b^2p^-2+1 = 2a/sqrt((c-ta/b)^2+y^2) for t
machen lassen.

EDIT: Im Ergebnis steht dann ein länglicher Wurzelterm, nach dem man leicht auflöst und anschließend quadriert. Anschließend muss man nochmal nach sqrt(b-y²) auflösen und nochmal quadrieren.

 

[Bernhard]

Ich schreibe für mich die zweite Gleichung mal wie folgt an:
4a²c²z²/n = a²+y²-p²/v²

Ich bin noch dran, weil man viel davon mit WA rechnen kann. In die zitierte Formel hat sich (natürlich) ein Fehler eingeschlichen. Korrekt muss es
4a²c²z²/n = (a²+c²-p²/v²)²
heissen.

 

[Bernhard]

Ich schreibe für mich die zweite Gleichung mal wie folgt an:
4a²c²z²/n = a²+y²-p²/v²
mit
c=sqrt(a²-b²)
z=(ad+bc)/b
n=y²+c²+2acd/b+(ad/b)²
d=sqrt(b²-y²)
Damit kann man die zweite Gleichung ebenso wie die erste Gleichung in einen Polynom der Art
f1(a,b,p,v)y^4+f2(a,b,p,v)y²+f3(a,b,p,v)=0
umformen und kann die f1,f2,f3 für beide Formeln dann vergleichen. Ergeben sich bei beiden Gleichungen die gleichen f's, so sind die Gleichungen auch ineinander überführbar

Ich habe in der Richtung einige Rechnungen auch mit der Unterstützung von WA gemacht und gesehen, dass sich für beide Gleichungen zwei verschiedene Polynome ergeben, was ich so nicht erwartet hatte. Ich hatte dabei aber übersehen, dass es nicht um einen Vergleich zweier Polynome, sondern um deren Nullstellen geht. Und da zwei verschiedene Polynome die gleiche Nullstelle haben können, ergibt sich so einfach also keine Möglichkeit der Umformung.

 

[Rainer]

zwei verschiedene Polynome ergeben

Das ist ja ausgeflippt

Mit zwei verschiedenen Gleichungen müsste man ja eine Variable eliminieren können .... kann aber nicht sein.
a und ρ zählen eh nicht. b wird benötigt, um die Ellipse zu charakterisieren, und dann stehen y und v im Verhältnis, da kann man nicht eins von b und y weglassen. Eliminiert man v, dann kommt immer links und rechts das Gleiche raus, also 1 = 1.

 

[Bernhard]

Das ist ja ausgeflippt

Ja . Simples Quadrieren reicht nicht aus, um die Umformung zu finden.

 

[Rainer]

Die von mir gefundene Formel ist die Umformungsregel ....

 

[Rainer]

Die beiden anderen Kurven (orange und lila) sind wohl mit v auf der x-Achse und y auf der y-Achse, soweit ich mich erinnere.

Ich sehe gerade, dass das Unsinn war.
Orange und lila sind die Umformung der beiden Gleichungen nach x aufgelöst, also ist hier x (Elongation auf der Hauptachse a) auf der X-Achse und v weiterhin auf der Y-Achse.
x = -1 ist also die Apoapsis und x = 1 ist die Periapsis mit der höchsten Geschwindigkeit. Für beide Punkte gilt y=0 der anderen Kurven.

 

[Bernhard]

Die von mir gefundene Formel ist die Umformungsregel ....

Könntest du diese Formel bitte nochmal ohne private Notationen wie z.B. ²() und mit den allgemeinen Parametern a,b,v,p hinschreiben, damit es auch andere nachrechnen können? Für das rho kann man wegen mir auch gerne p verwenden.

 

[Rainer]

ρ und a lassen wir ganz weg.
0 < b ≤ +1
|y| ≤ b

v = sqrt(2/sqrt((sqrt(1-b²)-sqrt(b²-y²)/b)²+y²)-1)/b
v = 1/sqrt(1+(1-b²)-sqrt((sqrt(b²-y²)/b+sqrt(1-b²))²/((sqrt(b²-y²)/b)²+y²+(1-b²)+sqrt(1-b²)2(sqrt(b²-y²))/b))2(sqrt(1-b²)))

 

[Bernhard]

v = ²√(2a/²√((²√(a²-b²)-²√(b²-y²)a/b)²+y²)-1)ρ/b
v = ρ/²√(a²+(a²-b²)-²√(a²(²√(b²-y²)a/b+²√(a²-b²))²/((²√(b²-y²)a/b)²+y²+(a²-b²)+²√(a²-b²)2(²√(b²-y²))a/b))2(²√(a²-b²)))

Für mich: Die erste Formel kann man auch als:
1 + (vb/p)²= 2a/²√((c-ad/b)+y²)
schreiben. Die zweite Formel auch:
(p/v)² = a²+c²-2c²√((a/b)²(ad+bc)²/((ad/b)²+y²+c²+2acd/b))
jeweils mit c = √(a²-b²) und d = √(b²-y²)

 

[Bernhard]

ρ und a lassen wir ganz weg.

Du meinst ρ = 1 und a = 1

0 < b ≤ +1
|y| ≤ b

ok

 

[Rainer]

Du meinst ρ = 1 und a = 1

b := b/a
damit fällt a raus, a/a = 1. Dann haben wir die Einheitsellipse mit a=1 und b < a.
und ρ ist sowieso beliebig, es steht ja nur für die Gravitation, hat ja mit der Geometrie der Ellipse gar nichts zu tun.
ρ = ²(rs·p/2)c = L/m spezifischer Drehimpuls
p = b²/a Halbparameter

 

[Rainer]

Die erste Formel lautet üblich
v = ²(2a/r-1)vN
vN = ²(rs/2a)c kann man wieder weglassen, es steht wieder nur für die Schwerkraft.

Achtung, r ist hier nicht auf den Mittelpunkt M=(0;0) der Ellipse, sondern auf das Gravizentrum im Fokus Z=(e;0) bezogen, daher gilt nicht
r ≠ ²(x²+y²) sondern
r = ²((e-x)²+y²) = ²((²(a²-b²)-x)²+y²)

Die zweite Formel kann man kürzer wie folgt schreiben
v = ²(2/²(x²(1-fo²)/a²+1-²(1-fo²)2)-1)vN
fo = b/a Formfaktor

oder noch kürzer
v = ρ/B
B Stoßpunkt, Formel siehe oben

Und aus der Gleichheit ergibt sich nun die einfachere Formel
B = b/²(2a/r-1)