2 Ellipsenformeln

[ralfkannenberg]

Und da zwei verschiedene Polynome die gleiche Nullstelle haben können, ergibt sich so einfach also keine Möglichkeit der Umformung.

Hallo Bernhard, hallo Rainer,

das hilft hier jetzt zwar nicht konkret weiter, aber wenn man nachweisen kann, dass Minimalpolynome vorliegen und dann ohne Einschränkung der Allgemeinheit fordert, dass die Koeffizienten ganzzahlig und bis auf Einheiten teilerfremd sind, dann sind Polynome mit gleichen Nullstellen gleich.

Alternativ könnte man die Minimalpolynome auch so normieren, dass der Koeffizient der höchsten x-Potenz zu 1 gesetzt wird - auch dann erhält man die Eindeutigkeit.

Ich müsste nachschlagen, wie die Minimalpolynome definiert sind, d.h. normiert mit ansonsten im Allgemeinen rationalen Koeffizienten oder alle Koeffizienten ganzzahlig und bis auf Einheiten teilerfremd.


Freundliche Grüsse, Ralf


Bemerkung: die ganzen Zahlen bilden ja keinen Körper, sondern "nur" einen kommutativen nullteilerfreien Ring mit Einselement (zu solchen Ringen kann man übrigens bis auf Isomorphie einen minimalen Quotientenkörper konstruieren; das ist ja auch der Grund, warum die rationalen Zahlen mit IQ ("Q" für Quotientenkörper über IZ) abgekürzt werden. Jedenfalls werden in einem Ring solche Elemente, welche ein multiplikativ-inverses Element haben, als "Einheiten" bezeichnet; so hat der Ring der ganzen Zahlen die beiden Einheiten {1, -1}. Wenn also über den ganzen Zahlen von Eindeutigkeit bis auf Einheiten die Rede ist, so kann man umgangssprachlich sagen, dass beispielsweise die Primfaktoren einer ganzen Zahl bis auf das Vorzeichen eindeutig sind. Der Ring der komplex ganzen Zahlen, d.h. der Zahlen der Form m+n*i mit m und n ganzzahlig, hat 4 Einheiten, nämlich {1, i, -1, -i}. Vorsicht noch mit der Wortwahl Einheit: meines Wissens gibt es Ringerweiterungen über IQ, deren Einheiten keineswegs den Absolutbetrag 1 haben; das könnte man einmal mit dem Ring m+n*sqrt(2) mit m und n ganzzahlig ausprobieren.

 

[Bernhard]

b := b/a
damit fällt a raus, a/a = 1. Dann haben wir die Einheitsellipse mit a=1 und b < a.
und ρ ist sowieso beliebig, es steht ja nur für die Gravitation, hat ja mit der Geometrie der Ellipse gar nichts zu tun.

Ich habe für die Umformung der Formeln in einen Polynom a=5, b=3 und ρ=1 verwendet. Daraus folgt dann c=4 und man hat überall ganze Zahlen. Nach der Umformung wird y^4 jeweils mit unterschiedlichen Polynomen in v multipliziert. Diese zwei Polynome in v sind dann nicht proportional zueinander.

 

[Rainer]

y^4

Es gibt ja immer 2 Lösungen je y und 4 Lösungen für y².
Meine Gleichungen bedienen aber immer nur eine Lösung und die zweite ergibt sich aus einem Minuszeichen (Kurve blau)