2 Ellipsenformeln

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ralfkannenberg

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Und da zwei verschiedene Polynome die gleiche Nullstelle haben können, ergibt sich so einfach also keine Möglichkeit der Umformung.
Hallo Bernhard, hallo Rainer,

das hilft hier jetzt zwar nicht konkret weiter, aber wenn man nachweisen kann, dass Minimalpolynome vorliegen und dann ohne Einschränkung der Allgemeinheit fordert, dass die Koeffizienten ganzzahlig und bis auf Einheiten teilerfremd sind, dann sind Polynome mit gleichen Nullstellen gleich.

Alternativ könnte man die Minimalpolynome auch so normieren, dass der Koeffizient der höchsten x-Potenz zu 1 gesetzt wird - auch dann erhält man die Eindeutigkeit.

Ich müsste nachschlagen, wie die Minimalpolynome definiert sind, d.h. normiert mit ansonsten im Allgemeinen rationalen Koeffizienten oder alle Koeffizienten ganzzahlig und bis auf Einheiten teilerfremd.


Freundliche Grüsse, Ralf


Bemerkung: die ganzen Zahlen bilden ja keinen Körper, sondern "nur" einen kommutativen nullteilerfreien Ring mit Einselement (zu solchen Ringen kann man übrigens bis auf Isomorphie einen minimalen Quotientenkörper konstruieren; das ist ja auch der Grund, warum die rationalen Zahlen mit IQ ("Q" für Quotientenkörper über IZ) abgekürzt werden. Jedenfalls werden in einem Ring solche Elemente, welche ein multiplikativ-inverses Element haben, als "Einheiten" bezeichnet; so hat der Ring der ganzen Zahlen die beiden Einheiten {1, -1}. Wenn also über den ganzen Zahlen von Eindeutigkeit bis auf Einheiten die Rede ist, so kann man umgangssprachlich sagen, dass beispielsweise die Primfaktoren einer ganzen Zahl bis auf das Vorzeichen eindeutig sind. Der Ring der komplex ganzen Zahlen, d.h. der Zahlen der Form m+n*i mit m und n ganzzahlig, hat 4 Einheiten, nämlich {1, i, -1, -i}. Vorsicht noch mit der Wortwahl Einheit: meines Wissens gibt es Ringerweiterungen über IQ, deren Einheiten keineswegs den Absolutbetrag 1 haben; das könnte man einmal mit dem Ring m+n*sqrt(2) mit m und n ganzzahlig ausprobieren.
 
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Bernhard

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b := b/a
damit fällt a raus, a/a = 1. Dann haben wir die Einheitsellipse mit a=1 und b < a.
und ρ ist sowieso beliebig, es steht ja nur für die Gravitation, hat ja mit der Geometrie der Ellipse gar nichts zu tun.
Ich habe für die Umformung der Formeln in einen Polynom a=5, b=3 und ρ=1 verwendet. Daraus folgt dann c=4 und man hat überall ganze Zahlen. Nach der Umformung wird y^4 jeweils mit unterschiedlichen Polynomen in v multipliziert. Diese zwei Polynome in v sind dann nicht proportional zueinander.
 

Bernhard

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Hallo Bernhard, hallo Rainer,

das hilft hier jetzt zwar nicht konkret weiter, aber wenn man nachweisen kann, dass Minimalpolynome vorliegen und dann ohne Einschränkung der Allgemeinheit fordert, dass die Koeffizienten ganzzahlig und bis auf Einheiten teilerfremd sind, dann sind Polynome mit gleichen Nullstellen gleich.

Alternativ könnte man die Minimalpolynome auch so normieren, dass der Koeffizient der höchsten x-Potenz zu 1 gesetzt wird - auch dann erhält man die Eindeutigkeit.
Hallo Ralf, Ich denke es reicht, wenn man per Polynomdivision zeigt, dass beide Polynome eine gemeinsame Nullstelle haben. Kennt man diese Nullstelle, kann man auch beide Formeln ineinander umformen.

Wir können uns die zugehörige Rechenaufgabe aber ersparen, weil Rainer eine Möglichekeit bei der Herleitung der beiden Ellipsenformeln ja bereits bestätigt hat.
 

Rainer

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eine Möglichkeit bei der Herleitung der beiden Ellipsenformeln
Ja natürlich gibt es die Herleitung, woher sollte denn sonst eine Formel kommen.
Der Witz ist dabei aber, dass die eine physikalisch (Virialsatz) hergeleitet ist, und die andere geometrisch (Stoßpunkt).

Den FORMELN ist dieser Ursprung aber vollkommen egal, sie gelten IMMER (im Definitionsbereich).

Diese Verbindung von Physik und Geometrie finde ich besonders spannenend. Mittels Physik kann man geometrisch unlösbare Probleme ggf lösen. Bei diesem Beispiel sieht man die deutlich enfachere pyhsikalische Lösung gegenüber der relativ umständlichen geometrischen.

Vielleicht bietet die Vektrorrechnung eine Handhabe, also die getrennte Behandlung der Koordinaten der Flugbahn? Diesen Ansatz hatte ich ja bisher vermieden.
 
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Bernhard

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Ja natürlich gibt es die Herleitung, woher sollte denn sonst eine Formel kommen.
Der Witz ist dabei aber, dass die eine physikalisch (Virialsatz) hergeleitet ist, und die andere geometrisch (Stoßpunkt).
Interessant
Den FORMELN ist dieser Ursprung aber vollkommen egal, sie gelten IMMER (im Definitionsbereich).
Wenn man anhand dieser beiden Formeln die Ellipsenformeln ineinander überführen kann, ist es vom Standpunkt der Mathematik her ok.
Mittels Physik kann man geometrisch unlösbare Probleme ggf lösen.
Ich wäre da etwas vorsichtiger von einem Spezialfall ausgehend, so allgemeine Vermutungen zu formulieren. Aber wer weiß :)
 

Rainer

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von einem Spezialfall ausgehend
Ein Fall genügt ja.....

Da gibt es aber zB die Divergenzen, die physikalisch nachweisbar verschwinden müssen. Kennt man eine physikalische Gesetzmäßigkeit, dann ist das mathematisch unlösbare Problem gelöst.

Physikalische Erhaltungssätze kennt die Mathematik nicht.

Es kommt hier hinzu, dass die Formeln nur im Definitionsbereich gleich sein müssen, es können also außerhalb durchaus Differenzen auftreten (zB durch Vorzeichen)

ineinander überführen kann, ist es vom Standpunkt der Mathematik her ok.
Ja natürlich ist das ok, aber es bedarf physikalischer Kenntnisse, die Mathematik alleine wäre dabei machtlos, und das sollte doch nicht so sein....bei zwei Formeln mit nur einer Variablen.
Das "Problem" hat Ralf ja schon formuliert:
das können sie aber nur, wenn sie nicht nur physikalisch begründet, sondern auch mathematisch äquivalent sind.
 
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Rainer

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So streng würde ich das nicht formulieren, wegen Noether-Theorem
Ja schon, das Problem ist, dass weder Energie noch Zeit geometrisch fassbar sind.
Der Drehimpuls entspricht allerdings dem Winkel.

Keplers Beobachtungen haben zum Drehimpuls geführt, geometrisch lässt sich sicherlich auch nicht die Äquivalenz eines Kreises mir r=a beweisen, sie beruht ja nur auf der Periode.
 
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Bernhard

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... aber es bedarf physikalischer Kenntnisse, die Mathematik alleine wäre dabei machtlos, und das sollte doch nicht so sein....bei zwei Formeln mit nur einer Variablen.
Irgend ein kleines Details fehlt noch. Es gibt zwei Herleitungen, die zur gleichen Formel führen. Im Umkehrschluss muss es also eine Beziehung zwischen den verschiedenen Formeln der beiden Herleitungen geben. Das kann zB eine "gut verpackte" geometrische Identität sein, wie zB der Satz des Pythagoras.
 

Rainer

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Das ist schon richtig, es ist der Drehimpuls und die Energie, die jedoch nicht unmittelbar zusammenhängen. Vor allem sind es physikalische Zusammenhänge und nicht geometrische.

E/c²m = σ·γ = ²((1-rs/2r)/(1-β²)) = ²((1-rs/2p)/(1-βp²)) konstant
L/c²m = r²ω = ²(1-rs/2p)p konstant

Es gibt noch den Zusammenhang für βp
βp = ²(2a/p-1)·²(1-rs/2a)
also (M=rs/2)
E/c²m = ²((1-rs/2p)/(1-(2a/p-1)(1-rs/2a))) = ²((M-p)/(p(M/a-2)-2(M-a)))
 
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Bernhard

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Hallo Ralf, Ich denke es reicht, wenn man per Polynomdivision zeigt, dass beide Polynome eine gemeinsame Nullstelle haben.
Da muss ich mich noch korrigieren. Die gesuchte Nullstelle kennt man. Es sind ja genau die beiden Ausgangsformeln von #1. Die Polynomdivison würde dann nur zeigen, dass man die beiden Polynome richtig berechnet hat.
 

Rainer

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Es ist ja quasi Zufall, dass die Physik eine Ellipse beschreibt.

Ich bin mir jetzt gerade unsicher geworden, ob meine Rechnung mit Lorentzfaktor γ und Shapirofaktor σ überhaupt zutreffend ist oder ob wir hier nicht mit Newtons Potential Φ und kinetischer Energie v²/2 rechnen müssten. Eine derartige Diskrepanz würde zwar in der Grafik nicht auffallen, könnte aber mathematisch zu Ungleichheit führen. Es kann durchaus sein, dass beide Formeln insoweit unterschiedlich sind. Darauf habe ich bisher nicht geachtet.

Die vis-viva Gleichung basiert jedenfalls auf Newton, dies ist die erste meiner beiden Gleichungen.

Die zweite ist allerdings nur Geometrie, also unabhängig von Einstein oder Newton, bzw basiert ebenfalls auf Newton. Nach Einstein ist der Drehimpuls ja nicht lorentzinvariant, und im Potential ergibt sich daraus die Periheldrehung.

Der relativistische Ansatz ist nicht so einfach zu rechnen und wohl auch für die Ellipse nicht maßgeblich.
wiki:
Relativistische Versionen des Virialsatzes wurden schon von Chandrasekhar angewandt auf Weiße Zwerge. Er untersuchte auch Versionen in der allgemeinen Relativitätstheorie im Rahmen der Post-Newton-Näherung.[24][25]

 
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Bernhard

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Ich bin mir jetzt gerade unsicher geworden, ob meine Rechnung mit Lorentzfaktor γ und Shapirofaktor σ überhaupt zutreffend ist oder ob wir hier nicht mit Newtons Potential Φ und kinetischer Energie v²/2 rechnen müssten.
Wenn das nur in einer der beiden Herleitungen verwendet wird, wäre die Übereinstimmung der beiden Formel schon interessant.
 

Rainer

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Wenn das nur in einer der beiden Herleitungen verwendet wird, wäre die Übereinstimmung der beiden Formel schon interessant.
Nein, die zweite Formel beruht auf der Konstanz des Drehimpulses in klassischer Form, also ohne Berücksichtigung einer Wirkung des Potentials darauf. Das hatte ich ja noch dazugeschrieben.

Nur die Konstanz der Energie oben #71 war insoweit relativistisch, also im Kontext nicht anwendbar.
E/c²m = σ·γ relativistisch
E = T+V klassisch
E/c²m = β²/2-rs/2r = (rs/2a)/2-rs/2a = -M/2a
β = ²(2M/r-M/a) das ist auch die vis-viva-Formel
zB
βp = ²(2M/p-M/a) = ²(2M·a/b²-M·p/b²) = ²(M/b²)·²(2a-p) = ²(M/b²)·²(a+ε²a) = ²(M/p)·²(1+ε²) = ²(1+ε²)βN/fo
ßN = ²(2M/a-M/a) = ²(M/a)
 
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Bernhard

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Hallo zusammen,

ich habe vorhin doch tatsächlich noch den "missing link" zwischen den beiden Formeln in #1 gefunden.

Wenn man alles sauber aufschreibt und die bereits vorgeschlagenen Abkürzungen c und d verwendet, kann man es finden. Es ist etwas versteckt, aber nicht wirklich kompliziert. Es sind die bekannten binomischen Formeln, anhand derer sich beide Formeln zuerst relativ stark vereinfachen lassen.

In der ersten Formel gibt es unter der zweiten Wurzel den Ausdruck (c-ad/b)²+y² = (ad/b)²+y²+c²-2acd/b
In der zweiten Formel gibt es unter der zweiten Wurzel den Ausdruck (ad/b)²+y²+c²+2acd/b

Nun gilt: (ad/b)²+y²+c² = a²+(cd/b)² !!! und daraus folgt dann:

(c-ad/b)²+y² = (a-(cd/b))² bzw.
(ad/b)²+y²+c²+2acd/b = (a+(cd/b))²

Damit hat man jeweils in der zweiten Wurzel lauter Quadrate und kann damit sofort eben diese zweiten Wurzeln entfernen ...
 

Bernhard

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Mit den Abkürzungen c := ²√(a²-b²) und d := ²√(b²-y²) läßt sich Gleichung 1 damit auch als
(vb/ρ)² = (ab+cd)/(ab-cd)
und Gleichung zwei als
(ρ/v)² = b³(ab-cd)/(ab+cd)
schreiben.
 

Rainer

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b³ ist wohl ein Tippfehler, dann ist das also gelöst. Super. (y)
Trotzdem verblüffend, dass diese Gleichheiten alle gelten, ohne dass es aufgelöst sichtbar wird.
 
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