Rainer
Registriertes Mitglied
Ich beschäftige mich häufig mit der Geometrie der Ellipse. Dies ist in erster Linie ein geometrisches Problem und ich habe dabei ein arithmetisches Problem gefunden, auch wenn es auf Physik beruht.
Selbstverständlich handelt es sich dabei um keinen Hokuspokus "gegen" den Mainstream, sondern um eine mathematische Gleichheit, die ich nicht beweisen kann.
Und zwar habe ich zwei verschiedene Formeln gefunden, um die Geschwindigkeit in einer elliptischen Bahn zu berechnen. Das Ergebnis ist auch exakt gleich, soweit ich das beurteilen kann. Die erste Formel beruht auf der üblichen Formel nach Vis-Viva, die zweite ist sehr raffiniert/komplizierter.
v = ²√(2a/²√((²√(a²-b²)-²√(b²-y²)a/b)²+y²)-1)ρ/b
v = ρ/²√(a²+(a²-b²)-²√(a²(²√(b²-y²)a/b+²√(a²-b²))²/((²√(b²-y²)a/b)²+y²+(a²-b²)+²√(a²-b²)2(²√(b²-y²))a/b))2(²√(a²-b²)))
Es spielt zwar für die Mathematik keine Rolle, aber die Parameter sind wie üblich in der Ellipse
a große Halbachse
b kleine Halbachse
y Elongation in Richtung der kleinen Halbachse
ρ ist der Drehimpuls, kann aber herausgekürzt werden, und steht nur der Vollständigkeit halber dabei.
Mit nur 3 Variablen, von denen zB a = 1 gesetzt werden kann, sollte die Identität der beiden Gleichungen doch einfach zu zeigen sein. Um es mit der Hand zu rechnen ist mir die Formel aber zu lang und die Wurzeln werden beim Quadrieren sicher nicht verschwinden. Für WA und ein anderes Formelprogramm sind die Formeln ebenfalls zu lang.
Kann jemand helfen? Sind die Formeln gleich? Das wäre schon ein Ding, wenn zwei arithmetisch verschiedene Formeln dasselbe Ergebnis liefern. Bei der Umformulierung sieht man eine Diskrepanz außerhalb des Wertebereichs (x → -1) das könnte aber ein Artefakt sein.
Hier habe ich beide Formeln (rot und grün) in geeigneter Form beispielhaft (b=0,3; a=1; ρ=1) geplottet, sie decken sich genau, ich habe deshalb einen winzigen Offset 0,1 eingegfügt. -b ≤ y ≤ b ist auf der x-Achse, das ist zwar unglücklich, aber es geht hier ja nur um den Vergleich der beiden Formeln, und v ist die y-Achse. Die blaue Vervollständigung habe ich nur für eine Formel geplottet. Die beiden anderen Kurven (orange und lila) sind wohl mit v auf der x-Achse und y auf der y-Achse, soweit ich mich erinnere.
Selbstverständlich handelt es sich dabei um keinen Hokuspokus "gegen" den Mainstream, sondern um eine mathematische Gleichheit, die ich nicht beweisen kann.
Und zwar habe ich zwei verschiedene Formeln gefunden, um die Geschwindigkeit in einer elliptischen Bahn zu berechnen. Das Ergebnis ist auch exakt gleich, soweit ich das beurteilen kann. Die erste Formel beruht auf der üblichen Formel nach Vis-Viva, die zweite ist sehr raffiniert/komplizierter.
v = ²√(2a/²√((²√(a²-b²)-²√(b²-y²)a/b)²+y²)-1)ρ/b
v = ρ/²√(a²+(a²-b²)-²√(a²(²√(b²-y²)a/b+²√(a²-b²))²/((²√(b²-y²)a/b)²+y²+(a²-b²)+²√(a²-b²)2(²√(b²-y²))a/b))2(²√(a²-b²)))
Es spielt zwar für die Mathematik keine Rolle, aber die Parameter sind wie üblich in der Ellipse
a große Halbachse
b kleine Halbachse
y Elongation in Richtung der kleinen Halbachse
ρ ist der Drehimpuls, kann aber herausgekürzt werden, und steht nur der Vollständigkeit halber dabei.
Mit nur 3 Variablen, von denen zB a = 1 gesetzt werden kann, sollte die Identität der beiden Gleichungen doch einfach zu zeigen sein. Um es mit der Hand zu rechnen ist mir die Formel aber zu lang und die Wurzeln werden beim Quadrieren sicher nicht verschwinden. Für WA und ein anderes Formelprogramm sind die Formeln ebenfalls zu lang.
Kann jemand helfen? Sind die Formeln gleich? Das wäre schon ein Ding, wenn zwei arithmetisch verschiedene Formeln dasselbe Ergebnis liefern. Bei der Umformulierung sieht man eine Diskrepanz außerhalb des Wertebereichs (x → -1) das könnte aber ein Artefakt sein.
Hier habe ich beide Formeln (rot und grün) in geeigneter Form beispielhaft (b=0,3; a=1; ρ=1) geplottet, sie decken sich genau, ich habe deshalb einen winzigen Offset 0,1 eingegfügt. -b ≤ y ≤ b ist auf der x-Achse, das ist zwar unglücklich, aber es geht hier ja nur um den Vergleich der beiden Formeln, und v ist die y-Achse. Die blaue Vervollständigung habe ich nur für eine Formel geplottet. Die beiden anderen Kurven (orange und lila) sind wohl mit v auf der x-Achse und y auf der y-Achse, soweit ich mich erinnere.
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