Sky Darmos schrieb:
Kannst du uns vielleicht grob den Beweis skizzieren? Ich habe auch kürzlich davon in "Der Gödelsche Beweis" gelesen. Wurde aber nur erwähnt und nicht erklärt.
Ich hoffe, das ist der letzte Beitrag zu diesem Thema, aber ich lasse Fragen nicht gerne unbeantwortet.
Statt den Beweis zu skiziieren möchte ich vorgängig die Fragestellung skizzieren, denn ich interessiere mich überhaupt nicht für geometrische Fragestellungen und so beweist man das auch nicht.
Ich will etwas vereinfachen: Geht man von den natürlichen Zahlen aus (z.B. per Peano-Axiomen), so stellt man fest, dass sie keine
Gruppe bilden, weil man kein Neutralelement und keine inversen Elemente hat. Weniger hochgestochen formuliert, weil man nicht subtrahieren kann. Zwar ist 3-2=1 eine natürliche Zahl, aber 3-3 oder gar 3-4 verlassen die natürlichen Zahlen. Indem man die {0} sowie die negativen Zahlen hinzufügt und die Menge der ganzen Zahlen bildet, erhält man also eine schöne Gruppe. Diese jedoch ist kein
Körper, da man kein Neutralelement für die Multiplikation und auch keine entsprechenden inversen Elemente hat. Weniger hochgestochen formuliert, weil man nicht dividieren kann. Durch Null kann man sowieso nicht dividieren; das hat aber nichts mit unendlich zu tun, sondern weil eine Gleichung (A-A) mal X = 1 nicht lösbar ist: (A-A) mal X ist wegen des Distributivgesetzes A mal X - A mal X; "-(A mal X)" aber ist additives inverses Element von A mal X und somit ergibt ihre Addition das Neutralelement 0 und eben nicht 1.
Das mag nun pedantisch sein, aber wie gesagt, mit unendlich hat das nichts zu tun.
Ok. Man kann nun die ganzen Zahlen durch Einführen der Bruchrechenregeln zum Körper der rationalen Zahlen erweitern und dann wunderbar dividieren (durch jede von 0 verschiedene rationale Zahl); diese Erweiterung ist bis auf Isomorphie eindeutig.
Man kann aber zeigen, dass z.B. Quadratwurzel aus 2 keine rationale Zahl ist. Man wünscht sich also einen weiteren "Mechanismus", um den Köper der rationalen Zahlen sinnvoll zu erweitern. Dies geschieht mit Hilfe der Polynome mit rationalen Koeffizienten. Von solchen Polynomen betrachtet man die Nullstellen. Die Menge aller Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten nennt man "algebraische Zahlen". Die Wurzel aus 2 als Nullstelle von x^2 - 2 = 0; auch die imaginäre Einheit i als Nullstelle von x^2 + 1 = 0 sind solche algebraische Zahlen. Man kann zeigen, dass sich mit Zirkel und Lineal solche algebraischen Zahlen konstruieren lassen.
Der Beweis reduziert sich also darauf, nachzuweisen, dass pi keine algebraische Zahl ist. Und genau das war es, was mich interessiert hat.
Bis jetzt habe ich den Beweis nicht skizziert, sondern nur die Fragestellung erläutert.
Bevor man zeigt, dass pi nicht-algebraisch ist, zeigt man, dass die Euler'sche Zahl e nicht algebraisch ist. Man muss also zeigen, dass es kein Polynom mit rationalen Koeffizienten gibt, das e als Nullstelle hätte. Man macht das indirekt - ich kann an dieser Stelle wirklich nur extrem grob skizzieren, was die Idee ist; die technischen Details sind sehr umfangreich !
Man nimmt also an, dass e Nullstelle eines solchen Polynoms p(x) sei und betrachtet den Ausdruck e^x mal p(x) mal (x-1) mal (x-2) mal ... mal (x-n), oder so ähnlich, wobei n der Grad des Polynoms ist, also der höchste vorkommende Exponent von x, der einen von 0 verschiedenen Koeffizienten hat. Über diese Funktion bildet man noch ein schönes Integral von 0 bis 1, das man dann mit partieller Integration schön umformen kann u.s.w. u.s.w.; man kann dann Grössenabschätzungen durchführen, die dann auf einer Seite für alle n gelten, aber auf der anderen Seite nicht und daraus leitet man dann einen Widerspruch her. Bei dieser partiellen Integration werden eben die Eigenschaft von e verwendet, die dann zum Widerspruch führen.
Weitaus technischer wird es nun mit pi selber: Es gilt ja e^(pi mal i) = -1, mit i der imaginären Einheit. Man kann nun entweder mit elementarsymmetrischen Funktionen oder mit Hilfe der Galoistheorie (Algebra) zeigen, dass man den Beweis für e auch für den Exponenten "pi mal i" anwenden kann; und da i ja algebraisch ist, muss dann also pi nicht algebraisch sein.
Genügt das ?
