Frage bezüglich Singularität in SL

[Orbit]

Irgendwo zwischen Erdoberfläche und Erdmittelpunkt erreichen wir die höchste Fallgeschwindigkeit

Im Erdmittelpunkt ist nur die Fallbeschleunigung Null; aber die Geschwindigkeit nimmt bis dort zu, wenn auch immer geringer. Folglich ist die Geschwindigkeit im Erdmittelpunkt am grössten.

Also geht die Uhr an der Erdoberfläche schneller als im Erdmittelpunkt.
So verrückt es klingt: Auf der Erdoberfläche befindet man sich tiefer im Gravitationspotential als im Erdmittelpunkt.

Merkst Du nicht, dass das ein Widerspruch ist?
Das Gravitationspotenzial ist im Erdmittelpunkt am grössten, nämlich das 1,5fache dessen wie an der Erdoberfläche.
Die Formel für das Gravitationspotenzial im Innern eines Körpers ist
GM(3 -(r/R)^2)/2R
wobei R der Radius des Körpers ist und r der Abstand vom Mittelpunkt.
Orbit

 

[SRMeister]

das es keine gravitationsFREIEN orten gibt ist klar!
Die Frage ist ob man - wenn man weis, wie tief wir im Gravitationsfeld sitzen - zurückrechnen KÖNNTE und mathematisch so einen Ort definieren könnte (Ort 1). Ich denke man weis einigermaßen genau wie tief wir drinsitzen. Dann kann man doch die Frage stellen - wieviel schneller vergeht eine hypothetische Uhr die NICHT im Gravitationsfeld von irgendetwas sitzt.
Und dann gibt es noch den REELLEN Ort, der geringsten Gravitationswirkung. Also ein Ort in unserem Universum (oder mehrere Orte) der am weitesten von allen Galaxienclustern entfernt ist und wo die wenigste Anziehungskraft auf ein Teilchen wirkt (Ort 2). Siehe Big Void.
An Ort 2 wird der Wert von Ort 1 nicht erreicht - das ist klar - Gravitation wirkt immer.
Ort 1 ist eher von theoretischem Interesse da nicht in diesem Universum existent.

So ich geh nu schlafen das reicht für heute
Liebe Grüße,
SR

PS: Das Buch ist gespeichert und der Laserdrucker wird morgen scharfgemacht

 

[FrankSpecht]

Im Erdmittelpunkt ist nur die Fallbeschleunigung Null; aber die Geschwindigkeit nimmt bis dort zu, wenn auch immer geringer. Folglich ist die Geschwindigkeit im Erdmittelpunkt am grössten.

Jau, die Beschleunigung meinte ich, danke!

Merkst Du nicht, dass das ein Widerspruch ist?
Das Gravitationspotenzial ist im Erdmittelpunkt am grössten, nämlich das 1,5fache dessen wie an der Erdoberfläche.
Die Formel für das Gravitationspotenzial im Innern eines Körpers ist
GM(3 -(r/R)^2)/2R
wobei R der Radius des Körpers ist und r der Abstand vom Mittelpunkt.
Orbit

Hmm, ich denke drüber nach...

Aber erstmal

So ich geh nu schlafen das reicht für heute

Gute Idee!

 

[Schmidts Katze]

Irgendwo zwischen Erdoberfläche und Erdmittelpunkt erreichen wir die höchste Fallgeschwindigkeit (irgendwie hatten wir das Thema schonmal).

Hallo Frank,

die höchste Geschwindigkeit erreichen wir genau im Erdmittelpunkt, die höchste Beschleunigung an der Erdoberfläche.
(Ich vernachlässige jetzt den Luftwiderstand.)

Im Erdmittelpunkt herrscht Schwerelosigkeit (man wird ja von allen Seiten gleichermaßen angezogen). Also geht die Uhr an der Erdoberfläche schneller als im Erdmittelpunkt.

Nein, langsamer.

So verrückt es klingt: Auf der Erdoberfläche befindet man sich tiefer im Gravitationspotential als im Erdmittelpunkt.

Nein, du brauchst Energie, um eine Masse vom Mittelpunkt zur Oberfläche zu bringen.

Grüße
SK

>Immerhin, bei allen Argumenten zweiter.<
*Die frühe Katze fängt die Maus.*

 

[Orbit]

Zitat:
Im Erdmittelpunkt herrscht Schwerelosigkeit (man wird ja von allen Seiten gleichermaßen angezogen). Also geht die Uhr an der Erdoberfläche schneller als im Erdmittelpunkt.
Nein, langsamer.

Nein, schneller.
Orbit

 

[FrankSpecht]

Nun doch noch mal.

Nein, langsamer.

Vorhin hattest du gemeint

Dein Zwilling bleibt mit seiner Uhr auf der Erdoberfläche. Du müsstest deinen Zwilling rotverschoben sehen,weil er die ganze Zeit eine Beschleunigung von 1g erfährt; daraus folgt, deine Uhr geht schneller.

PS: Ah, an Orbits Post von gerade eben sehe ich, wie einig wir uns sind

 

[Aragorn]

Nein, schneller.
Orbit

Nein, langsamer

Kugelschale
-> im Inneren ist die Gravitationsfeldstärke Phi = 0

homogene Vollkugel
-> im Inneren ist der Beitrag zur Feldstärke der hinter einem liegenden Kugelschale = 0
-> nur die vor einem liegende Vollkugel trägt zur Gravitationsfeldstärke Phi bei
-> die am inneren Punkt r zur GF beitragende Masse Mi ist demnach Mi = Mges*(r/R)^3
-> die Feldstärke Phi einer homogenen Vollkugel ist demnach:

im Außenraum Phi = -G*Mges/r^2
im Innenraum Phi = -G*Mi/r = -G*Mges*r/R^3

Das Potential E ergibt sich durch Integration der Feldstärken Phi:

im Außenraum E = -G*Mges/r
im Innenraum E = -G*Mges*(3-r^2/R^2)/(2*R)

Da G, R und Mges Konstanten sind gilt für die Feldstärke im Innenraum: Phi~r
und für das Potential im Innenraum: E~-3+(r/R)^2

Ergo ist:

* die Beschleunigung a im Innenraum proportional zu r: a~r
* die Potentialdifferenz (Uhrengang) im Inneren zum Potential an der Oberfläche: delta_E = -G*Mges/R + G*Mges*(3-r^2/R^2)/(2*R) = G*Mges*(3-r^2/R^2-2*R/r)/(2*R)
* das gravitationsbedingte Verhältnis des Uhrengangs einer Oberflächenuhr und einer im Inneren befindlichen Uhr ergibt sich aus der vorherigen Potentialdifferenz delta_E und der gravitativen Zeitdilation für schwache Felder mit ta/tb = 1-delta_E/c^2
-> das Potential ist daher betragsmäßig im Erdmittelpunkt am größten, wertemäßig aber am kleinsten (aufgrund des Minuszeichens). Daher läuft die erdinnere Uhr langsamer als die an der Oberfläche.

PS: Hier ist auf S.12 der Verlauf von Feldstärke und Potential inner- und außerhalb einer homogenen Vollkugel gezeigt:
http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/krm-2008-2009/folien/folien2008-11-25.pdf

Gruß Helmut

 

[Orbit]

Daher läuft die erdinnere Uhr langsamer als die an der Oberfläche.

Sag ich ja. Lies nochmals, auf welche Aussagen ich reagiert habe.

 

[Aragorn]

Lol du hast recht. Du hast ja das gleiche gesagt. Die dutzendfachen Neins schneller und langsamer waren zu viel für meinen armen durchlöcherten Verstand.

Gruß Helmut

 

[FrankSpecht]

Hallo, Leute,

Lol du hast recht. Du hast ja das gleiche gesagt. Die dutzendfachen Neins schneller und langsamer waren zu viel für meinen armen durchlöcherten Verstand.

Ich bitte um Entschuldigung, dass ich für Verwirrung gesorgt habe.

--- Rest gelöscht, da immernoch Gedankenfehler ---

 

[FrankSpecht]

Bin schon selbst ganz durcheinander, wie Aragorn.

Also, ich hatte im Beitrag #17 zwei Aussagen getätigt:
Aussage 1: Also geht die Uhr an der Erdoberfläche schneller als im Erdmittelpunkt.
Aussage 2: Auf der Erdoberfläche befindet man sich tiefer im Gravitationspotential als im Erdmittelpunkt.

Wenn ich jetzt Orbits und Aragorns Post richtig verstehe, dann stimmt Aussage 1, aber die Begründung in Aussage 2 war falsch.

Könnt ihr mich bitte in die Spur zurückhieven?

 

[Orbit]

(kann sowas am Wein liegen?)

Frank
Am Wein an sich nicht, an der konsumierten Menge allerdings kann es schon liegen. Aber in diesem speziellen Fall liegt es ganz einfach daran, dass Du einen falschen Bezug herstellst:

Und im Vergleich zur Uhr auf der Erdoberfläche liegt die Uhr im schwerefreien Erdmittelpunkt "höher".

Daraus folgt: Die Uhr im Erdmittelpunkt geht schneller als die Uhr auf der Erdoberfläche!

Der Gang der Uhr hängt nicht mit der Schwerelosigkeit zusammen. Dann würden nämlich alle Uhren in Satelliten gleich schnell gehen, egal in welcher Entfernung vom Erdmittelpunkt sie ihre Bahnen ziehen. Dem ist aber nicht so.

Die Zeitdilatation ergibt sich einerseits aus der Relativgeschwindigkeit zwischen Beobachter und Satellit (SRT)
Gamma = 1/sqrt(1-(v/c)^2)
und andererseits aus dem Gravitationspotenzial (ART)
Gamma = 1 - GM/rc^2.
In Erdnähe ist die Verlangsamung der Zeit nach SRT grösser als deren Beschleunigung nach ART. Dann gibt es eine Entfernung, in der sich die beiden Effekte aufheben und ab da überwiegt der Dilatationseffekt der ART.

Ich sehe gerade, dass Du Deinen Post nachträglich korrigiert hast; aber ich denke, diese Erklärung hier brauchst Du immer noch.

Orbit

 

[SRMeister]

Hallo Frankspecht,
ich glaube ich habe deinen Denkfehler gefunden.
Du sagtest, man kann durch das Äquivalenzprinzip, die Gravitationsfeldstärke auch berechnen, durch die ständige Beschleunigung eines ruhenden Beobachters auf der Erdoferfläche und damit Rückschlüsse auf die Zeitdilatation ziehen. Das würde alledings bedeuten, dass ein ruhendes Objekt im Zentrum keine Zeitdilatation erfährt, da es nicht beschleunigt.
Der Unterschied ist, wie Aragon schon sagte, dass die RaumzeitKRÜMMUNG im Mittelpunkt verschwindet, obwohl das GravitationsPOTENTIAL stärker ist als auf der Oberfläche.
Die gravitative Zeitdilatation ist nicht proportional zur Krümmung der Raumzeit. Auch wenn es außerhalb des Radius der Erde so scheint.
Die gravitative Zeitdilatation ist nur abhängig von der Höhe des Gravitationspotentials.

Edit: Huhu Orbit, habe gerad gesehen dass sich unsere Beiträge zeitlich und inhaltlich etwas überschnitten haben

 

[Schmidts Katze]

@Aragorn

Ich habe das jetzt so verstanden:
Die Gravitationskräfte sind Vektoren, die sich im Erdmittelpunkt aufheben, so daß dort Schwerelosigkeit herrscht.
Wenn ich aber die Zeitdilatation berechnen will, muss ich sie als Skalare betrachten, und ihre Beträge addieren.
Ist das so richtig?

SK

 

[SRMeister]

Das stimmt nicht, SRMeister.
Er wird die Singularität sogar ziemlich schnell (quasi exponentiell schnell) erreichen, denn dort befindet sich die gesamte Masse, die das SL erzeugt

So dazu möchte ich gerne nochmal etwas sagen.
Deine Aussage bezieht sich auf die Beschleunigung, die ein einfallender Beobachter erfährt.
Du hast recht, er wird immer stärker beschleunigt, je näher er der Singularität kommt.

Doch währenddessen, steigt auch die Zeitdilatation extrem stark an, bis sie schließlich unendlich wird. Was letztendlich genau das zum Ergebnis hat, was ich seit Post 1 sage: Er fällt zwar immer schneller und schneller ins Loch, aber noch viel schneller altert das Universum, relativ zu ihm. Das Ergebnis ist: noch bevor er die Singularität erreicht, ist das S.L. zerstrahlt.

 

[FrankSpecht]

Danke schön, Leute!
Mein Fehler war wohl tatsächlich dieser Natur

das Potential ist daher betragsmäßig im Erdmittelpunkt am größten

Das hatte ich nicht bedacht!

 

[FrankSpecht]

Ja, du hast Recht!

Ich hatte in deinem Satz

Seine Uhr bleibt natürlich erst in unendlicher langer Zeit für uns wirklich stehen

das "für uns" überlesen.

 

[SRMeister]

Soweit so gut.

@Aragon:
Mich würde mal interessieren, ob die Robertson Walker Metrik eine konkrete Aussage darüber zulässt, wie stark das allgemein vorhandene Gravitationspotential ist. Mit "Allgemein vorhanden" meine ich: Alle Massen im Universum üben auf uns eine Anziehungskraft aus. Wenn man davon ausgeht, dass die Massen homogen verteilt sind, wovon man näherungsweise bei Betrachtung des gesamten Universums ausgehen kann, sollte die RWM doch einen Zahlenwert liefern können. Dann müsste man hierzu nurnoch die Gravitationspotentiale der "lokalen" Gravitationsquellen addieren und schon hätte man doch einen UNGEFÄHREN Wert für das absolute Gravitationspotential an einem Ort.

Und man könnte ungefähr angeben, wie langsam unsere Uhren wirklich gehen. (relativ zu einem leeren Universum )
Oder?

Nachtrag: Ich finde diese Frage ist gleichberechtigt und gleichwertig wie die Frage nach dem Alter des Universums, wo man auch einen konkreten absoluten Zahlenwert angeben kann, obwohl "Zeit relativ ist".

 

[Aragorn]

@Aragorn

Ich habe das jetzt so verstanden:
Die Gravitationskräfte sind Vektoren, die sich im Erdmittelpunkt aufheben, so daß dort Schwerelosigkeit herrscht.
Wenn ich aber die Zeitdilatation berechnen will, muss ich sie als Skalare betrachten, und ihre Beträge addieren.
Ist das so richtig?

SK

Schaut euch bitte die Seite 12 in dem PDF an: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/krm-2008-2009/folien/folien2008-11-25.pdf

Die Gravitationskräfte sind proportional zur Gravitationsfeldstärke (linkes Diagramm), die Unterschiede im Uhrengang dagegen vom Gravitationspotential abhängig (rechtes Diagramm). In Richtung negatives Potential gehen die Uhren langsamer. Das Gravitationspotential ist proportional zur potentiellen Energie. Die vereinfachte Betrachtung mit dem Newton-Potential ist nur für schwache Felder ausreichend genau. Dann kann man so tun als ob die Uhren sich nach der potentiellen Energie richten würden. Eine Uhr in der Höhe h über dem Erdboden (h<<R) läuft um ta/tb = 1-delta_Epot/c^2 = 1+gh/c^2 schneller als die Uhr auf der Erdoberfläche.

Gruß Helmut

 

[Aragorn]

Bin schon selbst ganz durcheinander, wie Aragorn.

Also, ich hatte im Beitrag #17 zwei Aussagen getätigt:
Aussage 1: Also geht die Uhr an der Erdoberfläche schneller als im Erdmittelpunkt.
Aussage 2: Auf der Erdoberfläche befindet man sich tiefer im Gravitationspotential als im Erdmittelpunkt.

Wenn ich jetzt Orbits und Aragorns Post richtig verstehe, dann stimmt Aussage 1, aber die Begründung in Aussage 2 war falsch.

Könnt ihr mich bitte in die Spur zurückhieven?

Ja, Aussage 2 ist falsch.
Wir haben 2 Potentiale:

E_pot1(Massenmittelpunkt) = -12
E_pot2 (an der Oberfläche) = -8

Dann ist E_pot1 betragsmäßig größer als E_pot2.
Aber wen interessiert schon der Betrag?
Gerechnet wird mit den Werten und dann ist E_pot1 kleiner !!! als E_pot2.
Wenn du sagst "er befindet sich tiefer im Potentialtopf", dann bedeutet das, er ist dort wo das Potential kleiner ist (-12 ist kleiner wie -8)!!!
Und in Richtung des kleineren Potentials (tiefer im Potentialtopf) gehen die Uhren langsamer. Basta!

Gruß Helmut