wenn eine Primzahl geteilt wird
Hallo Dgoe,
Du warst eben hier schon ganz nahe dran, aber das Stichwort war nicht die "Primzahl", sondern das "teilen".
Für Diedergruppen, also Drehungen und Drehspiegelungen:
Eine Diedergruppe D[sub]b[/sub] ist dann eine Untergruppe einer anderen Diedergruppe D[sub]a[/sub], wenn die Anzahl der Elemente von D[sub]b[/sub]
ein Teiler von der Anzahl der Elemente von D[sub]a[/sub] ist. Oder umgekehrt eben ein ganzzahliges Vielfaches.
Für Drehgruppen:
Eine Drehgruppe C[sub]b[/sub] ist dann eine Untergruppe einer anderen Drehgruppe C[sub]a[/sub], wenn die Anzahl der Elemente von C[sub]b[/sub]
ein Teiler von der Anzahl der Elemente von C[sub]a[/sub] ist. Oder umgekehrt eben ein ganzzahliges Vielfaches. Das "C" steht übrigens für zyklisch, im englischen "
cyclic".
Oder aus Sicht der Drehwinkel:
Eine Drehgruppe C[sub]b[/sub] ist dann eine Untergruppe einer anderen Drehgruppe C[sub]a[/sub], wenn der kleinste echte Drehwinkel von C[sub]b[/sub]
ein ganzzahliges Vielfaches vom kleinsten echten Drehwinkel von C[sub]a[/sub] ist. Oder umgekehrt eben ein Teiler.
Ich will noch der Vollständigkeit ergänzen: wenn eine Untergruppe vorliegt, dann ist die Anzahl ihrer Elemente
stets ein Teiler der grösseren Gruppe. Die Umkehrung davon gilt im allgemeinen aber nicht, d.h. daraus, dass die Anzahl der Elemente ein Teiler ist, folgt nicht zwingend, dass die Gruppe auch eine Untergruppe ist:
die C[sub]2[/sub] x C[sub]2[/sub] x C[sub]2[/sub] hat 8 Elemente, aber die C[sub]4[/sub], die 4 Elemente hat, ist keine Untergruppe. Denn in erster Gruppe gilt für jedes der 8 Elemente: g*g=Identität, während in der zweiten das nur für die Drehung um 180° und die Identität selber gilt, nicht aber für die Drehungen um 90° und um 270°.
Aber für die Diedergruppen D[sub]n[/sub] und die Drehgruppen C[sub]n[/sub] gilt
sogar diese Umkehrung !
Und noch eine weitere Bemerkung: dies alles gilt zunächst einmal nur für endliche Gruppen. Allerdings gilt im Falle der Diedergruppen und der Drehgruppen zusätzlich:
jede Diedergruppe D[sub]n[/sub] ist eine Untergruppe der O(2), die man auch als "D[sub]oo[/sub]" bezeichnen könnte
jede Drehgruppe C[sub]n[/sub] ist eine Untergruppe der SO(2), die man auch als "C[sub]oo[/sub]" bezeichnen könnte
So, das genügt nun aber als Ausflug in die Algebra, ich denke, nun sind "Ich"s Erläuterungen und der Vortrag von Minkowski besser verständlich.
Freundliche Grüsse, Ralf