Die Begrenzung der Lichtgeschwindigkeit

[ralfkannenberg]

denn die Signatur einer mathematischen Metrik hat stets viermal dasselbe Vorzeichen, sonst wäre sie indefinit und nicht positiv definit.

Insbesondere sehen wir nun:

Falsch !!

Hallo zusammen,

da ist mir leider ein Fehler unterlaufen: viermal dasselbe Vorzeichen genügt nicht für eine Metrik, denn dann liegt negative Definitheit vor. Man braucht für eine Metrik aber positive Definitheit, d.h. in der Signatur nur positive Vorzeichen.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

Hallo Ralf,

alles andere als langweilig, zumindest für mich nicht. Das war nochmal sehr hilfreich.

(Hinweis: Ich möchte bei der Gelegenheit noch manchen Mitleser daran erinnern, dass Vektoren im Koordinatenursprung beginnen und an einem angegebenen Punkt enden. Der Nullvektor endet direkt auch im Koordinatenursprung, ist also gar nicht wirklich da = 0)

Also zusammengefasst:
'Nicht positiv definit' heißt also nicht etwa negativ definit, sondern indefinit.
'Nicht negativ definit' heißt also nicht etwa positiv definit, sondern auch indefinit.

Richtig?
Wieso nennt man es nicht gleich einfach nur positiv definit, negativ definit und indefinit? Warum noch diese "nicht"-Kombinationen? Aber gut, gibt schlimmeres.

Gruß,
Dgoe


Edit: Jetzt hatte ich gerade den glorreichen Einfall, 'mal nach Definitheit zu googlen. Das war eine gute Idee.

 

[Bernhard]

d.h. in der Signatur nur positive Vorzeichen.

Hallo zusammen,

das ist mir nun doch etwas zu ungenau (sloppy) formuliert. Ich präzisiere: Gemeint sind hier die Diagonalelemente der Darstellungsmatrix der Bilinearform: https://de.wikipedia.org/wiki/Signatur_(Lineare_Algebra) .

 

[Bernhard]

Hallo Dgoe,

Hinweis: Ich möchte bei der Gelegenheit noch manchen Mitleser daran erinnern, dass Vektoren im Koordinatenursprung beginnen und an einem angegebenen Punkt enden. Der Nullvektor endet direkt auch im Koordinatenursprung, ist also gar nicht wirklich da = 0

das ist nicht zwingend notwendig. Gerade in der analytischen Geometrie werden Vektoren gerne parallel verschoben.

 

[ralfkannenberg]

Hinweis: Ich möchte bei der Gelegenheit noch manchen Mitleser daran erinnern, dass Vektoren im Koordinatenursprung beginnen und an einem angegebenen Punkt enden. Der Nullvektor endet direkt auch im Koordinatenursprung, ist also gar nicht wirklich da = 0

Hallo Dgoe,

ich hätte dem zwar zugestimmt, aber Bernhard hat recht: tatsächlich gilt das nur für Elemente eines Vektorraums. Als Algebraiker bin ich hier etwas "vorbelastet" und betrachte stillschweigend stets nur solche Vektoren, die Elemente eines Vektorraums sind, also Thema in der Linearen Algebra sind.


Allerdings kann man jeden beliebigen Vektor als Differenz zweier Vektoren, die im Koordinatenursprung beginnen, darstellen:

vektor[sub]AB[/sub] = vektor[sub]0B[/sub] - vektor[sub]0A[/sub]

Also zusammengefasst:
'Nicht positiv definit' heißt also nicht etwa negativ definit, sondern indefinit.
'Nicht negativ definit' heißt also nicht etwa positiv definit, sondern auch indefinit.

Richtig?

Nein: da möchte ich nun die Pedanterie einschalten. Also fast richtig oder sinngemäss weitgehend richtig ist es natürlich schon.

Korrekt:
'Nicht positiv definit' heißt also nicht etwa negativ definit, sondern indefinite oder negativ definit.
'Nicht negativ definit' heißt also nicht etwa positiv definit, sondern auch indefinit oder positiv definit.

Wieso nennt man es nicht gleich einfach nur positiv definit, negativ definit und indefinit? Warum noch diese "nicht"-Kombinationen? Aber gut, gibt schlimmeres.

Eigentlich kenne ich aus der Anwendung nur die Unterscheidung in positiv-definit und eben nicht positiv-definit. Wenn eine Bilinearform positiv-definit ist, so hat man sogar ein schönes Skalarprodukt und sonst eben nicht.

Ich habe gerade einen promovierten Mathematiker gefragt, ob er wisse, warum man noch zusätzlich zwischen indefinit und negativ-definit unterscheidet, und der meinte spontan auch "keine Ahnung".


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[ralfkannenberg]

Ich präzisiere: Gemeint sind hier die Diagonalelemente der Darstellungsmatrix der Bilinearform: https://de.wikipedia.org/wiki/Signatur_(Lineare_Algebra) .

Hallo Bernhard,

davon war ich bei meiner Darstellung stillschweigend ausgegangen.

Auch wenn mir das nicht in Absicht passiert ist, so sollte ich solche stillschweigenden Voraussetzungen nicht tätigen. In Kurzform: besten Dank für Deine Richtigstellung.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

Yep, Danke für Eure Korrektur.

Wäre vielleicht einfacher durchzuwinken gewesen, wenn ich geschrieben hätte: "..., dass Vektoren für gewöhnlich im Koordinatenursprung beginnen..."

Wie die letzten Links auch verdeutlichen, das Ganze hat einen noch viel umfangreicheren Tiefgang, als auf den ersten Blick zu erkennen gewesen - zumindest aus meiner Perspektive.
Der Hinweis auf die Praxis, von wegen Skalarprodukt oder eben nicht, vereinfacht das wieder ein wenig, thx.


Übrigens sind auch die Ziele des Threads nicht eindeutig definiert. Stillschweigend vielleicht: das Thema und Zusammenhänge auch interessierten Laien mit unterschiedlichen Vor- und Grundkenntnissen näher zu bringen...


P.S.Ralf: müsste die 2te blau markierte Stelle nicht "oder positiv definit" heißen? (Copy&paste!?)

Gruß,
Dgoe

 

[ralfkannenberg]

Yep, Danke für Eure Korrektur.

Wäre vielleicht einfacher durchzuwinken gewesen, wenn ich geschrieben hätte: "..., dass Vektoren für gewöhnlich im Koordinatenursprung beginnen..."

Hallo Dgoe,

nein, Vektoren dürfen beginnen, wo sie wollen.

Es ist nur so, dass Vektoren in der Linearen Algebra typischerweise im Nullpunkt beginnen, weil sie dann einen Vektorraum bilden.

Aber vektor[sub]AB[/sub] ist ein ebenso legaler Vektor wie vektor[sub]AA[/sub], also ein "verschobener" Nullvektor.


Sobald man damit anfängt rasselt man aber aus Struktursicht von einem Problem in das nächste.

Noch eine Ergänzung: Ich habe weiter oben von Kongruenzabbildungen geschrieben und "Drehungen" und "Drehspiegelungen" genannt. An sich gibt es da noch einen dritten Typen, nämlich die von Bernhard angesprochenen "Translationen". Während Drehungen und Drehspiegelungen lineare Abbildungen sind, also im Form von Matrizen geschrieben werden können, sind echte Translationen, also von der Identität verschiedene Translationen, nicht linear, da lineare Abbildungen den Nullvektor stets auf sich selber abbilden, echte Translationen ihn indes "wegschieben". - Zudem können echte Translationen geometrische Objekte nicht auf sich selber abbilden.


Was bedeutet das nun ? Nun, es ist ein weitverbreiteter Irrtum, zu glauben, dass man sich in der Linearen Algebra mit Geometrie beschäftigt. Eben das tut man nicht, wie oben dargelegtes zeigt, denn in der Geometrie sind Translationen ganz wichtige Kongruenzabbildungen und in der Geometrie kann ein Vektor einen beliebigen Anfangspunkt haben.

In der Linearen Algebra beschäftigt man sich wie in der allgemeinen Algebra mit Strukturen und hat - anders als in der Algebra, wo man allenfalls mal zur besseren Veranschaulichung auf ein Stoppschild oder das Ziffernblatt einer Kirchturmuhr zurückgreifen kann, in Form der Vektoren eben ein schönes Anschauungsfeld zur Verfügung. Und kann zahlreiche Probleme der Geometrie mit Methoden der Linearen Algebra dann auch ganz konkret nicht nur "konstruieren", sondern auch zusätzlich "berechnen".

In der Mathematik braucht es eben beides: die geometrische Konstruktion und die algebraische Berechnung. Das ist kein "Konkurrenzkampf", sondern eine sinnvolle und äusserst fruchtbare Ergänzung.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[ralfkannenberg]

@Ralf: müsste die 2te blau markierte Stelle nicht "oder positiv definit" heißen? (Copy&paste!?)

Hallo Dgoe,

besten Dank, ich habe es korrigiert.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

Hallo Dgoe,

nein, Vektoren dürfen beginnen, wo sie wollen.

Es ist nur so, dass Vektoren in der Linearen Algebra typischerweise im Nullpunkt beginnen, weil sie dann einen Vektorraum bilden.

Ok, dann hätte ich geschrieben: "..., dass Vektoren hier für gewöhnlich im Koordinatenursprung beginnen..." Jedenfalls hätte ich es nicht gewagt, den Begriff 'lineare Algebra' überhaupt in den Mund zu nehmen. ;-)

Ich meine, der Grund für diesen Hinweis war ja gerade, dass Vektoren "beginnen dürfen, wo sie wollen" und ein Mitleser sich vielleicht wundert, wo sie denn beginnen. Insbesondere wenn man von 2 Vektoren liest, dazu 2 Punkte angegeben sind, diese geistig mit einem Vektor verbindet und sich wundert, wieso von insgesamt 2 Vektoren die Rede ist. Alles schon passiert einmal, nämlich mir persönlich.

Soviel dazu.

Gruß,
Dgoe

 

[ralfkannenberg]

Ok, dann hätte ich geschrieben: "..., dass Vektoren hier für gewöhnlich im Koordinatenursprung beginnen..." Jedenfalls hätte ich es nicht gewagt, den Begriff 'lineare Algebra' überhaupt in den Mund zu nehmen. ;-)

Hallo Dgoe,

ich hätte hier nur eine Warnung angebracht, ohne zu erwähnen, was "üblich" ist und was nicht. Das was "üblich" ist ergibt sich dann zwanglos aus dem Zusammenhang.

Letztlich könnte man ja auch Äquivalenzklassen einführen, dahingehend, dass alle Vektoren, die dieselbe Richtung und dieselbe Länge haben, in dieselbe Äquivalenzklasse fallen, und dass man in strukturbezogenen Überlegungen dann nur den Vertreter jeder Äquivalenzklasse betrachtet, dessen Anfangspunkt im Nullpunkt liegt. Der Unterschied zu den anderen Mitgliedern der eigenen Äquivalenzklasse ergibt sich ja gerade daraus, dass es da noch eine zusätzliche Translation gibt; dann ist auch der geometrischen Bedeutung der Translationen genüge getan.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

Hallo Ralf,

ja und nur noch einmal kurz zur Abgrenzung:
Die Trafos, also Transformationen, die "Ich" ansprach, sind ....?
Sind Verschiebungen des Koordinatenursprungs, Koordinatensystems, Inertialsystems oder... ?

Gruß,
Dgoe

Edit, P.S.:
Dann hätte ich eigentlich nur das Wort "hier" ergänzen können (ohne 'für gewöhnlich'), um bei meiner Formulierung zu bleiben. Es ist aber auf jeden Fall wichtig, dass Ihr weitere Missverständnisse vorbeugend bei sowas eingreift, habe nur nach einem Kompromiss gesucht. Nicht so einfach etwas halbwegs wasserdicht zu formulieren, ich hätte mich ja auch entschließen können, einfach gar nichts zu sagen...

 

[julian apostata]

@Julian: Dazu habe ich einige Links gesammelt:
https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbel_(Mathematik)
https://de.wikipedia.org/wiki/Asymptote
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kurvendiskussion

Hallo Dgoe

Ich weiß was eine Hyperbel und deren zugehörige Asymptote ist. Und zur Not kann ich auch eine Kurve diskutieren. Kannst du mir nun in den 3 Links eine Stelle zeigen, die eine Antwort auf meine Frage enthält.

Jetzt ändern wir c. Und warum sollte sich nun an der Hyperbel irgendwas ändern?

Also ich sehe nur eine Möglichkeit, den Hyperbelast gegen die x-Achse konvergieren lassen.

c²t²-x²=a

Sie nämlich um 45° im Uhrzeigersinn drehen und a gegen Null gehen lassen. Oder kennt jemand noch andere Möglichkeiten?

 

[ralfkannenberg]

So komm ich mal zum nächsten Problem, in der Hoffnung dass das vielleicht einfacher zu lösen ist.

Hallo Julian,

warum eröffnest Du neue Baustellen, solange die alten noch gar nicht abgeschlossen sind ?

Da ist doch erst mal nur ein Raumzeitdiagramm, das eine Hyperbel enthält. Jetzt ändern wir c. Und warum sollte sich nun an der Hyperbel irgendwas ändern?

Gegenfrage: wenn Du ein Quadrat hast und Du änderst den Massstab in der Breite, warum sollte sich dann an dem Quadrat etwas ändern ?

Natürlich ändert sich etwas und Du brauchst keine unübersichtlichen Hyperbeln, um diese Frage beantworten zu können !


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

Ich weiß was eine Hyperbel und deren zugehörige Asymptote ist. Und zur Not kann ich auch eine Kurve diskutieren.

Hallo Julian,

das wollte ich damit auch nicht in Frage stellen. Ich sehe aber ein, dass es so rüberkommen konnte.

Kannst du mir nun in den 3 Links eine Stelle zeigen, die eine Antwort auf meine Frage enthält.

Das war tatsächlich meine ursprüngliche Absicht, womit ich aber überfordert war und schlussendlich nur die Links, eher fürs Protokoll, als für Dich, aber auch für Dich zum Stöbern oder einfach zum Schnellzugriff sozusagen, eingestellt hatte.

Sie nämlich um 45° im Uhrzeigersinn drehen und a gegen Null gehen lassen. ...?

Was meint Minkowski mit 'anschmiegen'?

Ich stelle mir einen Kegel auf dem Kopf stehen vor, die Spitze auf der x-Achse (zum Beispiel). Die Hyperbel ist ein Schnitt durch den Kegel, der aber nicht durch die Spitze selber geht, dafür aber beispielsweise sehr nahe.
Vergrößert sich der Winkel des Kegels, erreicht die Hyperbel immer mehr die Form einer Geraden, ohne eine zu werden.
Damit schmiegt sich auch ein Ast immer mehr der X-Achse an, ohne sie je zu berühren oder eine echte Parallele zur x-Achse zu werden.

[jetzt mal ohne alle möglichen Sonderfälle, wie auch ein Punkt ein Tausendeck sein kann und dergleichen. ]

Gruß,
Dgoe

P.S.: Mit der x-Achse zusammenfallend, war wohl ein falsches Bild, das ich mal hatte.

 

[julian apostata]

Gegenfrage: wenn Du ein Quadrat hast und Du änderst den Massstab in der Breite

Danke, das war der entscheidende Wink mit dem Zaunpfahl. Wer nicht von selber drauf kommt, was Ralf meint...

Schieberegler für c und
(cy)^2-x^2=1
eingeben

...und die Frage ist beantwortet, ohne dass man noch ein Wort drüber verlieren müsste.

 

[ralfkannenberg]

Danke, das war der entscheidende Wink mit dem Zaunpfahl.

Hallo Julian,

na ja, es war ein Tipp, weil ich recht genau beurteilen kann, was Du weisst.

Schieberegler für c und
(cy)^2-x^2=1
eingeben

...und die Frage ist beantwortet, ohne dass man noch ein Wort drüber verlieren müsste.

Es geht auch ohne Schieberegler, indem man einfache Dinge betrachtet:

wenn man ein Quadrat hat und verändert den Massstab mindestens einer Koordinatenachse, so erhält man im Allgemeinen ein Rechteck.

Und wenn man bei einer Koordinatentransformation zusätzlich noch mindestens eine Koordinatenachsen dreht, so wird aus dem Quadrat im Allgemeinen ein Parallelogramm, denn Parallelen bleiben unter linearen Abbildungen erhalten.

Das kann man sich alles ganz einfach ohne Hyperbeln und ohne Schieberegler überlegen. Und ja: man soll das auch tun.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

ja und nur noch einmal kurz zur Abgrenzung:
Die Trafos, also Transformationen, die "Ich" ansprach, sind ....?
Sind Verschiebungen des Koordinatenursprungs, Koordinatensystems, Inertialsystems oder... ?

Ähm, Verschiebung und oder Drehungen, nach belieben auch nur einer Achse - was auch immer das bringt...

Na ja, ich geh mal lieber wieder bei Ikea mit den Bällen spielen oder im Sandkasten hier um die Ecke...

 

[ralfkannenberg]

Ähm, Verschiebung und oder Drehungen, nach belieben auch nur einer Achse - was auch immer das bringt...

Hallo Dgoe,

die meisten Laien denken, dass man eine Menge am besten dadurch beschreibt, indem man ihre Elemente beschreibt.


Auch ich habe damals viel Zeit benötigt, bis mir klar wurde, dass man in der Mathematik Mengen oftmals ganz anders beschreibt, nämlich indem man die Menge bzw. die Struktur der Abbildungen studiert, die diese Menge auf sich selber abbildet.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

Nochmal zum Titelthema und auch vorerst letztmalig meinerseits ganz naiv, stilisiert, rudimentär und hoffentlich weniger als fünfzig Prozent falsch:

Minkowski beschreibt ein Modell, wo wenn die Zukunft eines Punktes (t sei die y-Achse, alle räumlichen die x-Achse) oberhalb des Puktes liegt, entsprechend die Vergangenheit darunter, entsprechend einer Geraden parallel zur x-Achse als Trennung, das Problem entsteht, dass zu einem anderen Punkt (beispielsweise weiter oben rechts) es Probleme gibt gemeinsame Schnittmengen einzugrenzen, was zu absurden Resultaten führt.
Deswegen nimmt man einen Winkel kleiner 180 Grad nach oben und umgekehrt, oder eine Hyperbel, Kegel, eigentlich egal, haupsache keine Gerade, etwas mit Knick oder Wölbung, damit man irgendwo Schnittmengen erhält, womit auch die Absurditäten abgeschafft werden.

Dies ist aufgrund des Modells gleichbedeutend damit, dass es eine maximale Geschwindigkeit gibt, eben c, und nicht unendlich hohe Geschwindigkeiten (c=oo=die Gerade). Dass das zufällig die Lichtgeschwindigkeit ist, ist eigentlich wurscht, hängt mit zusätzlichen Überlegungen und Erkenntnissen zusammen, hätte man auch Rapunzelgeschwindigkeit erst mal nennen können.

Jetzt könnte man noch entsprechende absurde Beispiele anführen usw.

Halbwegs korrekt oder total falscher Dampfer?

Gruß,
Dgoe