Erklärst du mir das mal?
Ich habe noch nie richtig verstanden, wozu man das braucht.
Die
Kategorientheorie (und Funktoren) wurde von Saunders MacLane und Samuel Eilenberg eingeführt in "General Theory of Natural Equivalences" (
Trans. Amer. Math. Soc. 58, 1945), um den Begriff der
natürlichen Transformation zu präzisieren.
schlug ich genau diese Art von Konstruktion vor, weil sie ... sich irgendwie "natürlicher" anfühlt (für einen Mathematiker).
Es geht also darum, den Begriff der
Natürlichkeit irgendwie zu formalisieren. Oder auch das berühmt berüchtigte
kanonisch. Das kann natürlich nicht gelingen, weil es ja vom Kontext abhängt, was einem als natürlich oder kanonisch erscheint. Um das Problem aber wenigstens auf den gegebenen
Kontext abwälzen ("reduzieren") zu können, muss man versuchen zu definieren, was ein
Kontext ist. Da wird dann zunächst mal nur der kleinste gemeinsame Nenner gefordert, was im Wesentlichen die Assoziativität ist (+die Existenz von Identitäten, weil es nicht viel kostet).
Dieser kleinste gemeinsame Nenner ist aber meist doch zu wenig, insbesondere fehlt oft ein Begriff der Unabhängigkeit. Da kommt dann noch ein "monoidales Produkt" hinzu (meist dann, wenn das kartesische Produkt nicht das Gewünschte leistet, und die Unabhängigkeit durch eine Art von Tensorprodukt beschrieben werden muss).
Was hat das jetzt mit der von mir vorgeschlagenen Konstruktion zu tun? Während meines Studiums hatte ich mich mal bemüht, Standardkonstruktionen wie Divergenz, Poissonklammer, Richtungs-/Lie-Ableitung und/oder mittels Nabla-Operator definierbare Operationen in einer "möglichst natürlichen" Art darzustellen,
inklusive aller Beweise. Später entdeckte ich dann, dass es von
Peter W. Michor viele frei zugängliche Bücher über Differentialgeometrie gibt, darunter insbesondere
Ivan Kolár, Jan Slovák, Peter W. Michor:
Natural operations in differential geometry. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, (1993), vi+434 pp.
Es gibt viele mehr oder weniger offensichtliche Operationen, um Mannigfaltigkeiten zu "erzeugen", darunter insbesondere als Quotient, als Teilmenge, und als (kartesisches) Produkt. Die Menge der glatten Abbildungen in die rellen Zahlen lässt sich zumindest im Falle von Quotient und Teilmenge ganz natürlich definieren, eben im Falle des Quotienten als die glatten Funktionen die auf den Äquivalenzklassen konstant sind, und im Falle der Teilmenge als die Restriktion der glatten Funktionen auf die gegebene Teilmenge. Im Falle des Produkts geht es wahrscheinlich schief, oder ist deutlich komplizierter.
Weil die Koordinaten in einem Diffeomorphismus (aus dem Atlas) ja auch glatte Abbildungen in die rellen Zahlen sind, und sich "die meisten" glatten Abbildungen in die rellen Zahlen (der Gradient darf halt nicht Null werden) zu einem Diffeomorphismus ergänzen lassen, erscheint es schon irgendwie OK, direkt diese Menge der glatten Abbildungen in die rellen Zahlen vorzugeben. Wobei an dieser Stelle jetzt ("implizit") bereits der Übergang von global definierten glatten Abbildungen zu lokal auf einer offenen Teilmenge definierten reinkommt.
