Zur Provenienz des komplexen Zahlenkörpers

[antaris]

Das Thema interessiert mich aktuell sehr stark. Ich möchte es gerne außerhalb des CNNA-Threads diskutieren, weil es sich um eine grundsätzliche mathematisch-physikalische Fragestellung handelt.

Ganz wichtig: Mir geht es ausdrücklich nicht darum, Mathematik- oder Physikgrundlagen in Frage zu stellen.
Ich möchte verstehen, welche Struktur mindestens benötigt wird, damit der Körper der komplexen Zahlen bzw. eine komplexe Struktur aus einem rein reellwertigen Grundobjekt hervorgehen kann.


Die Ausgangsfrage ist also nicht:

„Kann man sich die imaginäre Achse einfach als zweite, zur reellen Achse orthogonale Achse vorstellen?“

Denn genau hier scheint mir ein wichtiger Punkt zu liegen: Orthogonalität ist nicht der Kern. Orthogonalität gehört zur gewählten geometrischen Darstellung. Die algebraische Kernfrage ist vielmehr, ob aus rein reellen Daten kanonisch ein Operator J entsteht mit

bzw. kurz

und ob diese Daten J gegenüber J unterscheiden können.

Präziser gefragt:

Woher kommt kanonisch ein Operator

mit

?

Und noch genauer:

Wodurch wird J gegenüber -J ausgezeichnet?

Die übliche Darstellung

ist natürlich völlig korrekt. Man kann ℂ auch als zweidimensionalen reellen Vektorraum auffassen. Aber genau dort liegt für mich der interessante Punkt: Die zweidimensionale reelle Ebene allein ist noch nicht die eigentliche Erklärung. Entscheidend ist die zusätzliche Struktur, durch die Multiplikation mit i als Rotation um 90° bzw. als Operator J mit

festgelegt wird.

In der algebraischen Sicht kann man schreiben:

Damit wird ein Element adjungiert, dessen Quadrat -1 ist. Aber auch hier stellt sich, wenn man nach Provenienz fragt, die Frage: Wird damit aus einem reellen Grundobjekt wirklich kanonisch ein bestimmtes i erzeugt, oder erhält man zunächst nur die symmetrische Möglichkeit

bzw. eine Struktur, die unter komplexer Konjugation invariant bleibt?

Jakito hatte dazu im anderen Thread geschrieben:

J muss nicht immer kanonisch ausgezeichnet sein. Aber in den Fällen, wo es tatsächlich ausgezeichnet ist, liegt das meist daran, dass eine solche zweidimensionale Ebene implizit gegeben ist, auf der die komplexen Zahlen operieren.

Und weiter:

Die zweidimensionale reelle Ebene hat einfach eine kanonische Orientierung (und eine kanonische Basis). Bei einer beliebigen zweidimensionalen Ebene (z.B. einem Unterraum des dreidimensionalen Raums) ist hingegen keine Orientierung kanonisch gegeben. (Metrik oder kompatible Struktur sollten im Moment eigentlich irrelevant sein.)

Komplexe Zahlen können auch so auftauchen, dass J und -J sowie alle anderen nicht reellen Zahlen immer paarweise auftreten. Es könnte sein, dass dies bei relativistischer QFT der Fall wäre, wenn man auf die Auszeichnung von Materie gegenüber Anti-Materie verzichten würde. Das verschiebt das Problem zwar einerseits "nur", aber die Frage, warum in der Biologie eine Chiralität dominiert und in der Physik Materie gegenüber Anti-Materie dominiert, ist eine echte physikalische (oder biologische) Frage, die vielleicht irgendwann in fernster Zukunft tatsächlich beantwortet werden wird. (Wohingegen Grübeln über den Unterschied zwischen J und -J oft eine Art Paradox oder Verwirrung ist.)

Genau daran möchte ich anknüpfen.

Meine derzeitige Vermutung ist:

Ein rein reelles, symmetrisches, spiegelinvariantes und reziprokes Substrat kann zwar Strukturen erzeugen, die wie eine Vorform einer komplexen Struktur aussehen. Es kann eventuell eine zweidimensionale reelle Ebene, Spektralpaare, eine reelle Paarstruktur oder sogar ein Paar

liefern. Aber es liefert nicht automatisch eine kanonische Auswahl

Das wäre dann keine Kleinigkeit, sondern genau der Obstruktionspunkt, mit dem ich in CNNA gegen eine Wand gefahren bin.

Man kann das zunächst ganz allgemein formulieren. Es ist dafür meines Erachtens nicht entscheidend, ob man als reelles Testsubstrat ein Gitter, einen Baum oder ein anderes symmetrisches Objekt betrachtet. Ein kubisches Gitter ist geometrisch anschaulicher. Ein b-ärer Baum ist als reines Provenienz- bzw. Adressobjekt noch stärker entkleidet, weil er zunächst keine eingebettete Ebene, keine zyklische Ordnung, keine Flächenorientierung und keine komplexe Phase mitbringt.

Letzteres ist nach wie vor wichtig für CNNA, soll hier aber zunächst nicht im Vordergrund stehen. Für die grundsätzliche Obstruktion scheinen mir ähnliche Fragen aufzutreten: Wenn das Ausgangsobjekt vollständig reell, symmetrisch und spiegelinvariant ist, wodurch könnte dann überhaupt eine ausgezeichnete komplexe Orientierung entstehen?

Gerade deshalb scheint mir die allgemeine Frage wichtiger als das konkrete Beispiel:

Welche internen reellen Daten reichen aus, um eine komplexe Struktur abzuleiten?

Mögliche Kandidaten wären zum Beispiel:

1. ein reeller Träger V,
2. reelle Operatoren oder Randdaten,
3. eine ausgezeichnete zweidimensionale reelle Ebene,
4. ein Operator
   
   mit
   
   ,
5. und zusätzlich eine Orientierung oder Sign-Line-Auswahl, die (J) gegenüber (-J) auszeichnet.

Die Obstruktionsfrage lautet dann:

Wenn alle Daten invariant unter Spiegelung, Relabeling oder Konjugation sind, kann daraus überhaupt ein einzelnes J folgen? Oder ist dann höchstens das Paar

ableitbar?

Anders formuliert: Reicht eine rein reelle Struktur aus, um eine komplexe Struktur eindeutig festzulegen, oder entsteht zunächst nur eine komplexe Struktur bis auf Vorzeichenwahl? Genau hier scheint mir die eigentliche algebraische Frage zu liegen – nicht bei der geometrischen Darstellung durch zwei orthogonale Achsen.

Ich habe dazu bisher keine endgültige Antwort. Der Thread soll deshalb keine Behauptung verkaufen, sondern die Frage sauber eingrenzen:

• Was muss ein reellwertiges Grundobjekt mindestens enthalten, damit daraus nicht bloß eine zweidimensionale reelle Struktur, sondern tatsächlich eine kanonisch komplexe Struktur hervorgeht?
• Und falls ein symmetrisches reelles Substrat nur {J,-J} liefert: Welche zusätzliche Struktur wäre dann mathematisch nötig, ohne sie einfach von außen als komplexe Phase, Orientierung oder Zeitrichtung einzusetzen?

Zur transparenten Orientierung und als Obstruktionsgrundlage dient mir die Obstruktionsanalyse des b-ären Baums:

antaris82.github.io/Sierpinski Tetraeder_PoC/CNNA/Tests/Obstructions/b-ary_tree/b-ary-tree.md at main · antaris82/antaris82.github.io

Files. Contribute to antaris82/antaris82.github.io development by creating an account on GitHub.

github.com

 

[ralfkannenberg]

Hallo Antaris,

ich schlage vor, diese Frage zunächst ausschliesslich im Körper der reellen Zahlen zu betrachten - das ist auch der algebraische Ansatz, wie man zum Körper der komplexen Zahlen gelangt.

Betrachte folgende Menge IQ[√2]: {p + q*√2 mit p, q in IQ}

Bekanntlich ist √2 nicht in IQ, also keine rationale Zahl (wenn der Beweis gewünscht wird kann ich ihn liefern, ich kann ihn auswendig).


Satz: IQ[√2] = IQ(√2)

Bemerkung:
IQ[√2] bezeichnet die Menge, also ohne Struktur, während IQ(√2) den algebraischen Abschluss dieser Menge bezeichnet. So gilt besipielsweise IQ(√2,√3) = IQ[√2,√3,√6], also die Menge aller {p + q*√2 + r*√3 + s*√6 mit p, q, r, s in IQ}

Wir müssen also zeigen, dass IQ[√2] ein Körper ist.

Da diese Zahlen alle reell sind und die Körperaxiome in IR erfüllt sind, müssen wir nur zeigen, dass das multiplikativ Inverse 1/(p + q*√2) ebenfalls in IQ[√2] liegt; die übrigen Körperaxiome sind trivialerweise erfüllt. Man beachte, dass die Zahl 0 in einem Körper kein multiplikativ Inverses haben kann.

Das macht man wie folgt: man erweitert den Quotienten mit der sogenannten Konjugierten:

1/(p + q*√2) = [1/(p + q*√2)] * ( [p - q*√2] / [p - q*√2] )

Nach der 3.binomischen Formel (oder durch Ausmultiplizieren) erhält man:

1/(p + q*√2) = ( [p - q*√2] / [p² - 2q²] ), also ( p / [p² - 2q²] ) + (- q / [p² - 2q²] )*√2


Definition: die Menge der Konjugierten einer algebraischen Zahl ist die Menge der anderen Nullstellen des Minimalpolynoms, welches diese algebraische Zahl definiert.

Das klingt viel komplizierter als es ist: das Minimalpolynom der √2 ist x² - 2, und dessen Nullstellen sind √2 und -√2.
-√2 ist also die Konjugierte von √2; bei höheren Potenzen kann eine algebraische Zahl also auch mehr Konjugierte haben


Diesen Prozess kann man auch mit der √3, √5 etc. durchführen, aber eben auch mit der √-1, also der komplexen Einheit i. Und deren konjugiert (komplexe) ist -i.


Der Bezug zur komplexen Zahlenebene erfolgt nun über die Euler'sche Formel, also die Exponentialfunktion, die auf komplexe Zahlen erweitert wurde; die Realteile werden durch den Cosinus, die Imaginärteile durch den Sinus ermittelt. Der Beweis der Euler'schen Formel ist übrigens eher frustrierend, denn das wird eigentlich gar nichts bewiesen (und doch so viel mehr !!): man nimmt die Taylor-Entwicklungen der Exponentialfunktion, der Cosinusfunktion und der Sinusfunktion und addiert die beiden letzten; dabei kommt gerade die Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion heraus. Allerdings sind das "Summen" (d.h. sogenannte Reihen) mit unendlich vielen von 0 verschiedenen "Summanden" (d.h. Reihengliedern), und da muss man zeigen, dass man das darf, d.h. dass diese existieren, und das wiederum heisst, dass diese eindeutig und endlich sind; am einfachsten macht man das, indem man beweist, dass alle drei Taylorreihen absolut-konvergent mit Konvergenzradius = oo sind.

Orthogonalität, Metriken etc. kann man nun mit Hilfe der Sinus- und Cosinusfunktion nachweisen.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[antaris]

ich schlage vor, diese Frage zunächst ausschliesslich im Körper der reellen Zahlen zu betrachten - das ist auch der algebraische Ansatz, wie man zum Körper der komplexen Zahlen gelangt.

Hallo Ralf,

ja, das ist genau der klassische algebraische Zugang, und dagegen habe ich auch nichts einzuwenden. Im Gegenteil: Als Konstruktion eines Erweiterungskörpers ist das der saubere Standardweg.


Ich glaube aber, dass meine Frage etwas anders liegt.

Wenn man etwa

betrachtet, dann arbeitet man bereits in einem gegebenen reellen Kontext. Die Zahl

ist dort schon als die positive reelle Lösung von

ausgezeichnet. In der abstrakten Konstruktion

gibt es dagegen zunächst nur die Klasse von X, und es gibt den Automorphismus

Erst wenn man den Quotienten in ℝ einbettet und die Ordnung von ℝ nutzt, wird daraus die positive Wurzel

. Die Auswahl ist dann also nicht allein durch die abstrakte algebraische Relation

gegeben, sondern durch zusätzliche Struktur: die Einbettung in den geordneten reellen Körper. Bei ℂ ist der analoge Punkt noch schärfer.

Algebraisch kann man natürlich schreiben:

Das konstruiert einen Erweiterungskörper, in dem die Klasse von X die Relation

erfüllt. Aber damit ist aus meiner Sicht noch nicht die Provenienzfrage beantwortet. Denn die Wahl

liefert dieselbe algebraische Struktur mit umgekehrter komplexer Orientierung. Anders gesagt: Die beiden Möglichkeiten i und -i sind durch komplexe Konjugation ineinander überführbar.
Das ist mathematisch kein Problem. Als Körper ist ℂ sauber definiert. Auch als algebraische Erweiterung von ℝ ist alles in Ordnung.


Meine Frage ist aber nicht primär:

„Wie konstruiert man ℂ algebraisch?“


Sondern:

„Welche Struktur in einem rein reellwertigen Grundobjekt (Gitter, b-ärer Baum, ...) würde intern erzwingen, dass genau eine der beiden Möglichkeiten J oder -J ausgezeichnet ist?“
Das ist der Unterschied zwischen einer algebraischen Konstruktion und einer strukturellen Provenienzfrage.

Man sieht das auch gut an formalen Systemen wie Lean/mathlib. Dort werden die komplexen Zahlen praktisch als zwei reelle Komponenten konstruiert: Realteil und Imaginärteil. Dann definiert man die Rechenoperationen, insbesondere die Multiplikation, und setzt die imaginäre Einheit als das Element mit Realteil 0 und Imaginärteil 1. Das ist für Formalisierung hervorragend, weil man dadurch sehr direkt rechnen und beweisen kann.

Aber provenienzseitig ist genau das bereits eine Setzung: Man hat eine zweite reelle Koordinate, nennt sie Imaginärteil, legt

fest und definiert die Multiplikation so, dass

gilt. Das erklärt nicht, warum ein gegebenes rein reelles Substrat genau diese zweite Richtung, genau diese Orientierung und genau diese Sign-Wahl hervorbringen sollte.

Es gibt also mehrere Ebenen:

1. Algebraisch:
   ℂ ist ein wohldefinierter Körper.
2. Konstruktiv:
   Man kann ℂ auf verschiedene äquivalente Arten bauen, etwa als
   
   mit spezieller Multiplikation oder als Quotient
   
   .
3. Strukturell/provenienzseitig:
   Man fragt, welche internen reellen Daten eine komplexe Struktur nicht nur erlauben, sondern kanonisch erzeugen.

Und genau bei Punkt 3 liegt mein Problem.

Wenn ein reelles Substrat vollständig symmetrisch, spiegelinvariant und reziprok ist, dann scheint es nur mit Zusatzannahmen höchstens eine Struktur bis auf komplexe Konjugation zu liefern, also sinngemäß

Es liefert dann aber nicht automatisch

Das ist für mich der eigentliche Obstruktionspunkt.

Die Existenz mehrerer äquivalenter Konstruktionen von ℂ ist deshalb kein Einwand gegen ℂ. Sie zeigt nur, dass die übliche Mathematik sehr gut die abstrakte Struktur bzw. Isomorphieklasse beschreibt, aber nicht automatisch die Provenienz einer bestimmten komplexen Orientierung aus einem vorgegebenen reellen Grundobjekt liefert.

Deshalb würde ich meine Frage präziser so formulieren:

Welche zusätzliche reelle Struktur müsste ein Grundobjekt überhaupt enthalten, damit daraus eine komplexe Struktur mit

entsteht? Aus einer rein reellen, vollständig symmetrischen Struktur folgt J bzw. -J meines Erachtens nicht automatisch. In meinem Baummodell tauchen J und -J erst auf, nachdem zwei gegensätzliche Operatoren eingeführt werden. Falls das anders gesehen wird, wäre für mich die entscheidende Frage: Welche rein reellen Voraussetzungen reichen tatsächlich aus, um eine komplexe Struktur zu erzeugen, und welche zusätzliche Struktur wäre nötig, um darüber hinaus noch J gegenüber -J kanonisch auszuzeichnen?

 

[antaris]

Der Bezug zur komplexen Zahlenebene erfolgt nun über die Euler'sche Formel, also die Exponentialfunktion, die auf komplexe Zahlen erweitert wurde; die Realteile werden durch den Cosinus, die Imaginärteile durch den Sinus ermittelt. Der Beweis der Euler'schen Formel ist übrigens eher frustrierend, denn das wird eigentlich gar nichts bewiesen (und doch so viel mehr !!): man nimmt die Taylor-Entwicklungen der Exponentialfunktion, der Cosinusfunktion und der Sinusfunktion und addiert die beiden letzten; dabei kommt gerade die Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion heraus. Allerdings sind das "Summen" (d.h. sogenannte Reihen) mit unendlich vielen von 0 verschiedenen "Summanden" (d.h. Reihengliedern), und da muss man zeigen, dass man das darf, d.h. dass diese existieren, und das wiederum heisst, dass diese eindeutig und endlich sind; am einfachsten macht man das, indem man beweist, dass alle drei Taylorreihen absolut-konvergent mit Konvergenzradius = oo sind.

Orthogonalität, Metriken etc. kann man nun mit Hilfe der Sinus- und Cosinusfunktion nachweisen.

Ja, die Euler-Formel erklärt den Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion, Sinus und Cosinus natürlich sehr schön.

Mein Punkt ist nur: Sie setzt die komplexe Struktur bereits voraus.

In

kommt i schon vor. Äquivalent kann man reell schreiben

mit

Aber auch hier ist J bereits gegeben.


Die Euler-Formel beschreibt also hervorragend, was passiert, sobald i bzw. J vorhanden ist. Sie beantwortet aus meiner Sicht jedoch nicht die vorgelagerte Frage, woher diese Struktur aus rein reellen Daten kommt und warum gegebenenfalls J statt -J gewählt wird. Genau diese Provenienzfrage interessiert mich.

 

[ralfkannenberg]

die Einbettung in den geordneten reellen Körper.

Hallo Antaris,

hier verwendest Du ein kleines, unscheinbares Wort, aber es ist wichtig:

IR kann man anordnen, IC kann man aber nicht anordnen.

IR ist also bis auf Isomorphie der grösste Körper, den man anordnen kann, IC ist bis auf Isomorphie der grösste Körper und IH (Quaternionen) ist bis auf Isomorphie der grösste Schiefkörper.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[ralfkannenberg]

Genau diese Provenienzfrage interessiert mich.

Hallo Antaris,

sehr gut Punkt. Ich muss nun aber gehen, ich schaue mir das - in Ruhe - später an.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[antaris]

sehr gut Punkt. Ich muss nun aber gehen, ich schaue mir das - in Ruhe - später an.

Hallo Ralf,

sehr gerne! Ich habe jede Menge Stoff zum besprechen und das weit über die in #1 zitierte Obstruktionsanalyse hinaus. Da sind Dinge aufgetaucht, die ich noch nie gehört bzw. wovon ich noch nie gelesen habe. Aber eins nach dem anderen -> erstmal nur bis zur Obstruktion, denn vielleicht ist ja bis dahin auch schon was schiefgelaufen...ich habe mich aber ganz gut vorbereitet. Einen Abschluss habe ich aber noch nicht, nur ganz viele ???.


P.S.: Nur zur Info aber ganz wichtig:
Die Texte sind mit Hilfe von ChatGPT erstellt. Ich will hier nicht vorgaukeln, dass ich das alles kann oder gar auswendig weiß. Ohne AI würde ich das hier gar nicht so formuliert bekommen. Ich bin hier lernender und kein erklärender aber ich habe Python Tests mit ChatGPT durchgeführt, die mich einfach dazu nötigen nachzufragen.

 

[antaris]

Hallo Antaris,

hier verwendest Du ein kleines, unscheinbares Wort, aber es ist wichtig:

IR kann man anordnen, IC kann man aber nicht anordnen.

IR ist also bis auf Isomorphie der grösste Körper, den man anordnen kann, IC ist bis auf Isomorphie der grösste Körper und IH (Quaternionen) ist bis auf Isomorphie der grösste Schiefkörper.


Freundliche Grüsse, Ralf

Hallo Ralf,

das verschärft die Provenienzfrage zusätzlich.

 

[TomS]

Ich sehe das Problem nicht.

Zunächst, was ist das Ziel? Man möchte für sämtliche Polynome n-ten Grades mit beliebigen reellen Koeffizienten n (nicht notwendigerweise verschiedene) Wurzeln finden. Dazu definiert man ein Objekt mit der Eigenschaft i² = -1. Nun sollen die so konstruierten Zahlen z = x + i⋅y mit reellen Zahlen x, y eine Körper bilden.

Aus den Rechenregeln folgt, dass

(-i)² = ( (-1) ⋅ i)² = (-1)² ⋅ i² = i² = -1

D.h. man erhält mit i immer auch -i, das lässt sich in dem Köper nicht vermeiden.

Man kann nun den Körper ℂ zur bekannten Konstruktion mittels i betrachten, sowie den mittels -i konstruierten Körper ℂ*.

Nun muss man untersuchen, ob zwischen ℂ und ℂ* ein Isomorphismus existiert, d.h. dass jede gültige Aussage in ℂ in eine solche in ℂ* übersetzbar ist u.u. Ja, das ist der Fall, ich kann mich aber nicht an den formalen Beweis erinnern.

Man überlegt sich z.B., dass man in

exp(-ia) = cos(a) + (-i) sin(a)

auch j = -i schreiben kann, sowie in einem weiteren Schritt j durch i ersetzen darf; das ist nur Konvention.

D.h. eine Unterscheidung zwischen ℂ und ℂ* ist letztlich sinnlos.


Spannender ist das hier:

https://math.ucr.edu/~res/progeom/oldversions/pgnotesappd.pdf

 

[Jakito]

Ich sehe das Problem nicht.

Was ist der Unterschied zwischen einer abstrakten Gruppe und eine konkreten Gruppe? Die konkrete Gruppe operiert auf einer konkreten Struktur, wohingegen die abstrakte Gruppe nur auf sich selbst operiert.

Wenn diese konkrete Struktur IR^2 ist, dann ist i eindeutig ausgezeichnet, dadurch das i (1,0) auf (0,1) abbilden muss. Wenn diese konkrete Struktur nur eine allgemeine zweidimensionale relle euklidische Ebene (mit ausgezeichnetem Ursprung, aber ohne ausgezeichnete Orientierung) ist, dann gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten für i, und keine der beiden Möglichkeiten ist besser als die andere.

Und wenn gar keine konkrete Struktur vorhanden ist, auf der die komplexen Zahlen operieren, dann sind wir in der von Dir und ralfkannenberg beschriebenen Situation, dass es keinen relevanten Unterschied zwischen i und -i gibt.

Spannender ist das hier:

Na ja, dafür muss man "complex numbers" aber schon sehr speziell auslegen. Natürlich gehört das Konjugieren als konkrete Operation auch zu den komplexen Zahlen, und auf dem dadurch definierten Unterkörper der rellen Zahlen ist natürlich die bekannte Ordnung definiert. Und ein Automorphismus der komplexen Zahlen sollte diese Ordnung natürlich erhalten.

 

[antaris]

Ich sehe das Problem nicht.

Zunächst, was ist das Ziel? Man möchte für sämtliche Polynome n-ten Grades mit beliebigen reellen Koeffizienten n (nicht notwendigerweise verschiedene) Wurzeln finden. Dazu definiert man ein Objekt mit der Eigenschaft i² = -1. Nun sollen die so konstruierten Zahlen z = x + i⋅y mit reellen Zahlen x, y eine Körper bilden.

Ja, mathematisch ist das völlig korrekt. Das möchte ich auch gar nicht bestreiten.

Aber genau beim fett markierten Teil liegt in meiner Fragestellung der entscheidende Punkt. Wenn man ein Objekt mit der Eigenschaft

i² = -1

definiert, dann ist das für die algebraische Konstruktion von ℂ natürlich legitim. Aber in meiner Provenienzfrage ist i damit bereits eingeführt. Die Frage, woher diese Struktur aus einem rein reellwertigen Grundobjekt kommt, ist dadurch noch nicht beantwortet.

Jakito trifft aus meiner Sicht genau den Punkt:

Wenn diese konkrete Struktur nur eine allgemeine zweidimensionale relle euklidische Ebene (mit ausgezeichnetem Ursprung, aber ohne ausgezeichnete Orientierung) ist, dann gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten für i, und keine der beiden Möglichkeiten ist besser als die andere.

Genau dort liegt mein Problem. Wobei selbst eine euklidische Ebene für meine eigentliche Frage schon sehr viel Input ist.

Denn dann müsste man wieder fragen: Welche Ebene ist gegeben? Ist es eine kontinuierliche Ebene ℝ²? Ist es ein diskretes Gitter? Falls ja, welches Gitter? Welche Nachbarschaftsstruktur? Welche Metrik? Welche Orientierung? Welche Koordinaten? All das sind zusätzliche Strukturen, die für viele mathematische und physikalische Modelle völlig legitim sind, aber für meine Frage bereits zu viel voraussetzen könnten.

Mir geht es also nicht darum, ob man ℂ algebraisch korrekt konstruieren kann. Das kann man natürlich.

Mir geht es darum, ob eine komplexe Struktur aus einem ärmeren, rein reellen Substrat hervorgeht, ohne dass man i, eine orientierte Ebene, eine Metrik, ein Gitter oder eine komplexe Phase bereits vorher hineinsteckt.

Der Hintergrund ist bei mir tatsächlich physikalisch motiviert. In CNNA wollte ich langfristig verstehen, ob man irgendwie in Richtung komplexer QM/QFT kommen kann, ohne diese Struktur einfach axiomatisch zu setzen. In den bisherigen Tests bekam ich aber zunächst nur reellwertige Matrizen und reelle Antwortoperatoren. Ich hatte das anfangs mehr oder weniger ignoriert und trotzdem weitergebaut. Aber irgendwann wird das methodisch fragwürdig: Wenn nur reelle Daten entstehen, darf ich nicht einfach eine komplexe Struktur darüberlegen und so tun, als sei sie abgeleitet.

Deshalb interessiert mich die Obstruktion.

Wenn eine reelle, symmetrische, spiegelinvariante Struktur höchstens zwei gleichwertige Möglichkeiten liefert,

J und -J,

dann ist das kein Widerspruch zur üblichen Konstruktion der komplexen Zahlen. Es zeigt nur, dass die abstrakte algebraische Konstruktion und die strukturelle Herkunft einer konkreten komplexen Orientierung zwei verschiedene Fragen sind.

In einer rein mathematisch-abstrakten Lesart ist die Wahl von i gegenüber -i oft Konvention. In einer physikalischen Lesart kann die Frage aber schärfer werden: Welche Strukturen sind wirklich Teil des Modells, welche sind nur Repräsentationshilfen, und welche müssten aus einem tieferen Substrat erst hervorgehen?

Gitter, Koordinaten und Metriken sind in der Physik extrem nützlich und oft unverzichtbar. Aber gerade deshalb möchte ich sie in dieser Frage nicht zu früh als Startinput verwenden. Denn sonst weiß ich am Ende nicht mehr, ob eine komplexe Struktur wirklich entstanden ist oder ob sie über Orientierung, Ebene, Gitterwahl oder Metrik schon indirekt eingebaut war.

Darum suche ich nach einem möglichst armen reellen Ausgangsobjekt, an dem die Obstruktion sichtbar wird. Wenn schon dort keine kanonische Auszeichnung von J gegenüber -J möglich ist, dann liegt das Problem nicht in einer schlechten Darstellung der komplexen Ebene, sondern tiefer: in der Symmetrie des reellen Ausgangssubstrats selbst.

 

[TomS]

Was ist der Unterschied zwischen einer abstrakten Gruppe und eine konkreten Gruppe? Die konkrete Gruppe operiert auf einer konkreten Struktur, wohingegen die abstrakte Gruppe nur auf sich selbst operiert.

Wenn diese konkrete Struktur IR^2 ist, dann ist i eindeutig ausgezeichnet, dadurch das i (1,0) auf (0,1) abbilden muss. Wenn diese konkrete Struktur nur eine allgemeine zweidimensionale relle euklidische Ebene (mit ausgezeichnetem Ursprung, aber ohne ausgezeichnete Orientierung) ist, dann gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten für i, und keine der beiden Möglichkeiten ist besser als die andere.

Das hatte ich mir auch überlegt anhand Rotationen die i und -i generieren: 90° gegen bzw. -90° im Uhrzeigersinn. Aber das
das ist eben keine Eigenschaft der komplexen Zahlen i und -i, sondern eine der komplexen Zahlen i und -i angewandt auf bzw. interpretiert bzgl. einer zusätzlichen Struktur. Die komplexen Zahlen als Körper treffen keine Unterscheidung zwischen beiden, nur konkrete und zusätzliche Darstellungen tun das.

Wenn sich ein Mathematiker von der Erde und ein Klingonen von Qo'noS einmal treffen, dann können sie sich ewig streiten, wie die Abbildung von i und -i auf ᔭ und ᔪ definiert werden muss. Sie werden aber vermutlich feststellen, dass es wurscht ist.

Und wenn gar keine konkrete Struktur vorhanden ist, auf der die komplexen Zahlen operieren, dann sind wir in der von Dir und ralfkannenberg beschriebenen Situation, dass es keinen relevanten Unterschied zwischen i und -i gibt.

Doch, natürlich gibt es eine konkrete Struktur, auf der sie operieren, nämlich die komplexen Zahlen selbst.

Na ja, dafür muss man "complex numbers" aber schon sehr speziell auslegen. Natürlich gehört das Konjugieren als konkrete Operation auch zu den komplexen Zahlen, und auf dem dadurch definierten Unterkörper der rellen Zahlen ist natürlich die bekannte Ordnung definiert. Und ein Automorphismus der komplexen Zahlen sollte diese Ordnung natürlich erhalten.

Ein Automorphismus ist zunächst mal ein Automorphismus. Zusätzliche Eigenschaften können sein die Invarianz der reellen Zahlen unter diesem Automorphismus bzw. dass jede reelle Zahl ein Fixpunkt ist, Glattheit oder was auch immer. Das sind aber zusätzliche Forderungen. Vgl. auch das Banach-Tarski-Paradoxon.

 

[TomS]

Aber genau beim fett markierten Teil liegt in meiner Fragestellung der entscheidende Punkt. Wenn man ein Objekt mit der Eigenschaft

i² = -1

definiert, dann ist das für die algebraische Konstruktion von ℂ natürlich legitim. Aber in meiner Provenienzfrage ist i damit bereits eingeführt. Die Frage, woher diese Struktur aus einem rein reellwertigen Grundobjekt kommt, ist dadurch noch nicht beantwortet.

Sie stammt aus aus einem "reellwertigen Grundobjekt" dahingehen, dass i² = -1 gilt. Mehr ist dazu nicht zu sagen.

Wobei selbst eine euklidische Ebene für meine eigentliche Frage schon sehr viel Input ist.

Viel zu viel, da die reeller oder komplexe Ebene konkrete Darstellungen sind, die ihrerseits zusätzliche Strukturen und Eigenschaften mitbringen, die man algebraisch jedoch nicht benötigt.

Denn dann müsste man wieder fragen: Welche Ebene ist gegeben? Ist es eine kontinuierliche Ebene ℝ²? Ist es ein diskretes Gitter? Falls ja, welches Gitter? …

Nichts dergleichen, wie du selbst sagst.

Natürlich kann man von Topologie, Geometrie etc. sprechen, aber das sind weitere Zutaten.

Mir geht es also nicht darum, ob man ℂ algebraisch korrekt konstruieren kann. Das kann man natürlich.

Mir geht es darum, ob eine komplexe Struktur aus einem ärmeren, rein reellen Substrat hervorgeht, ohne dass man i, eine orientierte Ebene, eine Metrik, ein Gitter oder eine komplexe Phase bereits vorher hineinsteckt.

Man muss die reellen Zahlen und i² = -1 hineinstecken.

Was meinst du übrigens mit "komplexe Struktur"?

 

[TomS]

Ich denke, ein guter Ausgangspunkt ist Hamilton ~1830 und die algebraische Definition mittels Paaren reeller Zahlen (x,y) und der zugehörigen Verknüpfungen + und •, ohne Verwendung der imaginären Einheit i. Dann kann man natürlich (0,1) als i bezeichnen, was letztlich Konvention ist.

Würde man etwas anderes erhalten, wenn man stattdessen (0,-1) als i bezeichnen würde? Nein, es wäre nur eine andere Konvention.

Muss man sich das als zweidimensionale Ebene vorstellen? Nein. Diese Vorstellung geht nicht direkt auf Gauß ebenfalls ~1830 zurück, sie ist älter, ist aber für die reine Arithmetik der komplexen Zahlen, Polynome, Fundamentalsatz nicht notwendig, wenn auch hilfreich für elegante Beweise. Man benötigt Begriffe wie Stetigkeit, aber die gewinnt man rein aus der Arithmetik der reellen Zahlen; die Idee stammt von Argand (~1800), wurde von Cauchy weiterverfolgt und von Weierstrass ca. 70 Jahre später abgeschlossen – ohne geometrische Konzepte.

 

[ralfkannenberg]

Aber genau beim fett markierten Teil liegt in meiner Fragestellung der entscheidende Punkt. Wenn man ein Objekt mit der Eigenschaft

i² = -1

definiert, dann ist das für die algebraische Konstruktion von ℂ natürlich legitim. Aber in meiner Provenienzfrage ist i damit bereits eingeführt. Die Frage, woher diese Struktur aus einem rein reellwertigen Grundobjekt kommt, ist dadurch noch nicht beantwortet.

Sie stammt aus aus einem "reellwertigen Grundobjekt" dahingehen, dass i² = -1 gilt. Mehr ist dazu nicht zu sagen.

Hallo zusammen,

ich persönlich würde hier anders vorgehen, und @antaris - Du scheinst mir das Pferd ein bisschen von hinten her aufzuzäumen.

Du hast eine Menge und suchst nun nach einer echten Obermenge, welche auch noch eine gewisse Struktur haben soll, im vorliegenden Fall die Körperstruktur, aber ohne die Bedingung, dass dieser angeordnet ist (das würde auch gar nicht gehen, wie man zeigen kann).

Wenn Du nun ein Element der Differenzmenge suchst, dann darf dieses Element nicht in der Ursprungsmenge liegen, denn dadurch, dass die Ursprungsmenge ja bzgl. Addition und Multiplikation abgeschlossen ist und zudem die Körperstruktur aufweist, würdest Du sonst nur die Ursprungsmenge erneut erhalten.

Wenn Du also von IR zu IC erweitern möchtest, brauchst Du ein Element, welches in IC\IR liegt, nennen wir es γ. Und dann müssen wir eben das Ganze so konstruieren, dass gilt: IR[γ] = IR(γ). Man kann nun zeigen, dass das immer der Fall ist.

Als nächstes möchte man γ vielleicht auf 1 normieren; das erreicht man, indem man γ durch seinen Absolutbetrag |γ| dividiert, wobei man zeigen kann, dass der Absolutbetrag einer komplexen Zahl die Quadratwurzel aus der komplexen Zahl multipliziert mit seiner komplex-konjugierten ist.

Diese Zahl γ/|γ| liegt nun irgendwo auf dem Einheitskreis, ist aber verschieden von den rein-reellen Zahlen {1, -1}. An sich genügt das, dass {1,γ/|γ|} sind linear unabhängig - bilden also eine Basis, und haben beide den Betrag 1.

Vielleicht genügt einem das aber immer noch nicht, dann muss man eben eine Orthonormal-Basis bilden; die dabei herauskommenden Basisvektoren können nur i oder -i sein.


Kochbuch:
1. suche ein Element in IC\IR, nennen wir es γ
2. normiere γ auf 1, also γ/|γ|
3. bilde daraus eine Orthonormal-Basis => 2 Lösungen, nämlich {1,i} und {1,-i}

Man hätte statt von der 1 auch von -1 ausgehen können, aber zuvor war vereinbart worden, als reelle Einheit diejenige zu nutzen, bei der die Zahl gleich ihrem Absolutbetrag ist.

Aber der Ausgangspunkt für diese Art Konstruktion von IC ist keineswegs eine reelle Zahl, sondern eine beliebige nicht-reelle Zahl wie γ. Erst bei der Bestimmung der Eigenschaften stellt man dann fest, dass i² = -1 und ebenfalls (-i)² = -1 und hat damit den gewünschten Bezug einer nicht-reellen komplexen Zahl zu einer reellen Zahl.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[antaris]

Man muss die reellen Zahlen und i² = -1 hineinstecken.

Was meinst du übrigens mit "komplexe Struktur"?

Genau das ist für meine Fragestellung der entscheidende Punkt.

Wenn man die reellen Zahlen nimmt und zusätzlich ein Objekt mit

i² = -1

hineinsteckt, dann ist die algebraische Konstruktion natürlich völlig korrekt. Aber für meine Provenienzfrage ist die gesuchte Struktur dann bereits gesetzt. Genau deshalb frage ich, ob und wie so etwas aus ärmeren reellen Daten hervorgehen könnte.

Mit „komplexer Struktur“ meine ich hier daher zunächst nicht den abstrakten Körper ℂ, sondern eine konkrete reell-lineare Struktur auf einem reellen Träger bzw. Antwortdatenraum. Minimal also einen Operator

mit

Und wenn es um eine physikalisch konkrete Struktur geht, kommt noch die Frage hinzu, wodurch

J gegenüber -J ausgezeichnet wird.

Ich kann grob skizzieren, woher diese Frage bei mir kommt.

Im CNNA-Kontext hatte ich als möglichst armes Testobjekt den unendlichen b-ären Baum betrachtet. Wichtig: Der Baum ist hier gerade kein physikalisches Gitter und keine fertige Geometrie, sondern zunächst nur ein Provenienz- bzw. Evolutionsregister. Er enthält Adressen, Wurzel, Kindrelation, Präfixordnung, Skalenstruktur und symmetrische Einheitskanten, aber keine Ebene, keine Winkel, keine komplexe Phase, keine Orientierung und keine Zeit.

Ein endlicher Approximant ist dann ein schnittrelativer Ausschnitt dieses unendlichen Baums, etwa

Auf diesem Ausschnitt betrachtet man zunächst reellwertige Funktionen

und rein reelle Operatoren, etwa einen Laplace-Operator und daraus Schur-/DtN-Antwortdaten.

Der wichtige Punkt ist der Subsystemschnitt.

Sobald man einen endlichen Approximanten als Subsystem betrachtet, entstehen relativ zu diesem Schnitt zwei verschiedene Komplementseiten:

1. der UV-tail an den feinsten Knoten, also an den Blättern des Approximanten,
2. der Environment- bzw. Umgebungstail am Wurzel-/Parent-Port des Approximanten.

Anschaulich wirken diese beiden Seiten entgegengesetzt auf den Ausschnitt:

Die feinsten UV-Zellen gehen also in die Breite, während der eine rootseitige Umgebungskanal auf diese Breite als äußere Schnittstelle wirkt.

Daraus bekommt man zwei verschiedene reelle Antwortachsen. Sehr grob geschrieben:

und

Diese beiden Antwortachsen können eine reelle zweidimensionale Ebene aufspannen:

Das wäre der Punkt, an dem aus rein reellen Daten überhaupt eine prä-komplexe Ebene sichtbar werden könnte.

Wenn diese beiden Achsen geeignet normiert bzw. metrisierbar sind, kann man formal einen Operator J auf dieser Ebene hinschreiben, zum Beispiel

Dann gilt auf dieser Ebene

J² = -1

Aber die spiegelverkehrte Wahl ist genauso möglich:

(-J)² = -I

Und genau hier liegt die Obstruktion.

Der symmetrische, reellwertige, reziproke Worldtree kann zwar eine solche reelle zweidimensionale Antwortstruktur bzw. Vorform einer komplexen Ebene liefern. Aber solange alle Daten symmetrisch, reell, reziprok und spiegeläquivalent bleiben, wird dadurch kein Drehsinn ausgezeichnet.

Man erhält also höchstens

{J,-J}

aber keine kanonische Auswahl
J statt -J

Genau das meine ich mit Obstruktion.

Die komplexe Struktur im algebraischen Sinn entsteht natürlich sofort, wenn man i² = -1 definiert. Meine Frage ist aber, ob ein reelles Substrat so etwas selbst erzeugen kann. In dem symmetrischen ToC-/Baum-Test sieht man: Eine prä-komplexe reelle Ebene kann aus UV-/Environment-Schnittdaten auftauchen. Aber die Orientierung dieser Ebene, also J gegenüber -J, folgt im symmetrischen Fall nicht.

Wenn man also sagt: „Man muss i² = -1 hineinstecken“, dann ist das für die Algebra völlig in Ordnung. Für meine Provenienzfrage ist es aber genau die No-go-Aussage: Dann ist die komplexe Struktur gesetzt, nicht abgeleitet.


Die Frage ist hier ja eher ob diese Konstruktion überhaupt schon eine prä-komplexe Ebene ist?

 

[antaris]

Kochbuch:
1. suche ein Element in IC\IR, nennen wir es γ
2. normiere γ auf 1, also γ/|γ|
3. bilde daraus eine Orthonormal-Basis => 2 Lösungen, nämlich {1,i} und {1,-i}

Hallo Ralf,

alles richtig aber in meinen Ansatz habe ich nur reelle Operatoren zur Verfügung und ich will wissen was fehlt, damit daraus "mehr" wird.

 

[TomS]

Genau deshalb frage ich, ob und wie so etwas aus ärmeren reellen Daten hervorgehen könnte.

Nur mittels

i² = -1

Da dieses i keine reelle Zahl sein kann, bedarf es einer neuen Zutat.

Und wenn es um eine physikalisch konkrete Struktur geht, kommt noch die Frage hinzu, wodurch J gegenüber -J ausgezeichnet wird.

Durch unsere Konvention.

Stell' dir vor, du entscheidest über eine wichtige Frage Ja | Nein mittels einer Münze, d.h. es bedarf einer Festlegung Kopf | Zahl oder Zahl | Kopf. Ist irgendeine davon ausgezeichnet? Zunächst wohl nicht.

Anders sieht es evtl. aus, wenn King Charles das mit einer Ein-Pfund-Münze durchführt.

Man erhält also höchstens

{J,-J}

aber keine kanonische Auswahl J statt -J

Genau das meine ich mit Obstruktion.

Warum ist das ein Problem?

Wenn man also sagt: „Man muss i² = -1 hineinstecken“, dann ist das für die Algebra völlig in Ordnung. Für meine Provenienzfrage ist es aber genau die No-go-Aussage: Dann ist die komplexe Struktur gesetzt, nicht abgeleitet.

Ja.

Es gibt in der Mathematik Definitionen, Axiome und Beweise. Definitionen führen oft etwas konzeptionell Neues ein, das man nicht ableiten kann.

Ganz analog gewinnst du die rationalen Zahlen durch Gleichungen

m • n = 1

für ganze Zahlen m,n und deren Lösung mittels der Definition

n = (1 / m)

 

[ralfkannenberg]

alles richtig aber in meinen Ansatz habe ich nur reelle Operatoren zur Verfügung und ich will wissen was fehlt, damit daraus "mehr" wird.

Hallo Antaris,

warum eigentlich reelle Operatoren ? Die gleichen Fragen ergeben sich bereits, wenn Du statt IR(i) den (nullteilerfreien, kommutativen) Ring (mit Einselement) IZ(i) betrachtest, also einen sogenannten Integritätsbereich. Das sind dann die ganz-komplexen Zahlen. Oder wenn Du unbedingt einen Körper möchtest kannst Du auch den Körper der rational-komplexen Zahlen IQ(i) betrachten, dessen Elemente liegen auch dicht, sind aber wenigstens abzählbar.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[antaris]

Warum ist das ein Problem?

Es ist kein Problem für die übliche Mathematik. Dort darf natürlich definiert werden.

Für meine Fragestellung ist es aber genau der Punkt: Wenn man in der Beschreibung eines möglicherweise deterministischen Universums fundamentale Strukturen setzen muss, statt sie aus der vorhandenen Struktur abzuleiten, dann empfinde ich das als unbefriedigend.

warum eigentlich reelle Operatoren ?

Die reellen Operatoren werden in meinen Ansatz nicht als „Vorliebe für ℝ“ gewählt, sondern ergeben sich aus Schur-/DtN-Reduktionen auf einem Subsystemschnitt. Dort erscheinen sie als reelle Mess- bzw. Handoffdaten, ohne dass vorher Koordinaten, Metrik, Gitter oder komplexe Phase eingeführt werden. Es geht hier also nicht um abstrakte Definitionen, sondern ob solche "komplexen Strukturen" aus reinen reellen Daten ableitbar sind.

Darum interessiert mich gerade die Frage:
Was fehlt diesen reellen Antwortoperatoren strukturell, damit daraus mehr als eine reelle zweiachsige Vorstruktur wird?