Titus-Bode-Reihe, Bestimmung des 10. Planeten

[ralfkannenberg]

Verwendet man die Konstruktionsprinzipien der Titius-Bode-Reihe für die Folge der solaren Planetenorbits, können ohne besondere Schwierigkeit auch Formeln für Reihen der extrasolaren Planetensysteme präsentiert werden. Ich stelle das mal für drei ausgewählte extrasolare Systeme dar und verwende dabei die schon referierten Parameter. Ich setze die moderne Form der Titius-Bode-Reihe zunächst allgemein:
a_i = a1 + a2 * a3^n (mit a_i für den mittleren Orbitalradius des jeweils betrachteten n-ten Planeten).

Als Anfangsbedingung setzte ich wie Titius-Bode für den jeweils ersten Planeten eines extrasolaren Systems n = -∞ [unendlich], für den zweiten Planeten n = 0 und erst ab dem dritten Planeten wird n positiv (3. Planet: n = 1, 4. Planet: n = 2, usw).

Ich möchte es nochmals wiederholen: Eine Titius-Bodes'sche Reihe kann IMMER durch 3 Trabanten eines zentralen Körpers konstruiert werden:

1.) a1 mit Hilfe des 1. Trabant:
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Da a3^(-unendlich) = 0 und somit auch a2 * a3^(-unendlich) = 0, kann man a1 mit Hilfe des ersten Trabanten errechnen.

2.) a2 mit Hilfe des 2. Trabant:
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Da a3^0 = 1 folgt somit auch a2 * a3^0 = a2 * 1 = a2, d.h. man kann nun a2 mit Hilfe des zweiten Trabanten errechnen.

3.) a3 mit Hilfe des 3. Trabant:
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Da a3^1 = a3 und aus vorigem a1 und a2 bereits bekannt sind, kann man nun a3 mit Hilfe des dritten Trabanten errechnen:
a_i = a1 + a2 * a3^1 => a3 = (a_i - a1) / a2

4.) Eichung auf 1
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Man kann z.B. eine Eichung so vornehmen, dass der 3.Trabant im Abstand der Einheit 1 um sein Zentralgestirn wandert.

Bis jetzt ist es nur langweilige Mathematik; nun aber kann man spielen und Zahlen und Planeten oder Monde oder Exoplaneten einsetzen und ihnen die Rollen des 1., 2. und 3.Trabanten zuweisen und schauen, ob die ÜBRIGEN Trabanten ebenfalls in dieses Gesetz hineinpassen. Wenn das in mehreren Systemen der Fall ist, so ist das ein Indiz, dass an der Titius-Bode'schen bzw. an der Bynaus'schen Reihe etwas dran ist, d.h. dass diese Reihen einen physikalischen Hintergrund haben; vielleicht ein bislang unverstandenes Bildungsgesetz in Trabantensystemen.

 

[kosmos]

Hallo,

nach meiner Rückkehr aus dem Urlaub fand ich sehr viele interessante Beiträge hier vor. Die musste ich erst einmal verarbeiten.



Leider ist es in diesem Forum nicht erlaubt, Grafiken einzustellen. Leider, denn nach Meinung eines von mir sehr geschätzten Dozenten sagt ein Bild mehr als 1000 Worte. Die Titius-Bode-Reihe war, wegen Ihrer relativ großen Bekanntheit unter Astronomiefreunden für mich ein Aufhänger zur Diskussion der Verteilung der Planeten in unserem Sonnensystem.



Zur Vorgeschichte: Ich habe vor einigen Jahren Betriebswirtschaftslehre studiert. Dabei habe ich mich im Rahmen meiner Diplomarbeit und später bei meiner Dissertation mit Statistischen Verfahren - insbesondere mit Prüfungsmethoden der steuerlichen Betriebsprüfung mittels der logarithmischen Normalverteilung – befasst. In der steuerlichen Betriebsprüfung ist das Verfahren seit den fünfziger Jahren des letzten Jahrhunderts unter dem Begriff Strukturanalyse bekannt.

Das Verfahren beruht auf der Erkenntnis, dass im Wirtschaftleben viele Grundgesamtheiten bzw. Kollektive z.B. Materiallager, Bestand der Forderungen, Tageskasseneinnahmen, die Verteilung des Einkommens etc. einer logarithmischen Verteilung folgen. Praktikern ist die Log-Normalverteilung auch als 80 – 20 Regel bekannt. Danach machen z.B. 20% der Teile eines Lagers 80% des Wertes eines Lagers aus, und die restlichen 80% der Teile dementsprechend 20% des Wertes eines Lagers aus.



Werden z.B. Satelliten oder Raketenteile im Weltraum zerstört, so entfallen nach Forschungsergebnissen der Uni Stuttgart etwa 20% der Stücke auf große Teile und der Rest auf viele kleine und kleinste Teile.



Zur Prüfung der logarithmischen Normalverteilung z.B. bei einer Stichprobeninventur wird dabei eine Normzahlreihe folgender Art verwandt:



2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500, 1000, usw.; oder aber 2, 4, 8, 16, etc.



Nun wieder zur Diskussion der Planetenverteilung. Meiner Meinung nach entsprechen die Abstände der Planeten zur Sonne einer solchen Reihe. Der Abstand eines Planeten zur Sonne ergibt sich aus der Masse der Sonne multipliziert mit der Gravitationskonstante, dividiert durch das Quadrat der Umlaufgeschwindigkeit des Planeten um die Sonne.



Trägt man die Umlaufgeschwindigkeiten der Planeten in ein logarithmisches Diagramm ein ergibt sich eine fallende Kurve, da die Umlaufgeschwindigkeiten der Planeten vom Merkur bis hin zum Pluto "logarithmisch" abnimmt. Dementsprechend nimmt der Abstand der Planeten zur Sonne "logarithmisch" zu. Aus den folgenden mittleren Abständen der Planeten zur Sonne (in Mio. Km.) ergibt sich doch zwischen Merkur 57,9 , Venus 108,2, Mars,227,9 Planetoidengürtel 418,0 ,Jupiter 778,6, Saturn 1433,5, Uranus 2872,5 und Pluto 5870,0 annähernd eine Verdopplungsreihe. Die Erde mit 149,6 und der Neptun 4.495,1 liegen nicht ganz in der Reihe. In der Prüfung mittels der Log-Normalverteilung nennt man dies "Mischverteilung"

Sollte jemand an meinen grafischen Aufbereitungen interessiert sein, kann er Sie per E-Mail bei mir anfordern. PS: auch der Durchmesser der Planeten und die Planetenmassen folgen einer Log-Normalverteilung.

 

[Emil]

Hallo kosmos,

Der Abstand eines Planeten zur Sonne ergibt sich aus der Masse der Sonne multipliziert mit der Gravitationskonstante, dividiert durch das Quadrat der Umlaufgeschwindigkeit des Planeten um die Sonne.

Wie soll denn das funktionieren? In welchen Einheiten rechnest du den Abstand aus?

Trägt man die Umlaufgeschwindigkeiten der Planeten in ein logarithmisches Diagramm ein ergibt sich eine fallende Kurve, da die Umlaufgeschwindigkeiten der Planeten vom Merkur bis hin zum Pluto "logarithmisch" abnimmt.

Wenn deine Kurve eine Gerade ist, dann beschreibst du eine Selbstverständlichkeit, denn die Umlaufgeschwindigkeiten gehorchen nämlich einem Potenzgesetz. Wo geht aber in diesem Diagramm die Sonnenmasse ein, wie du sie im oberen Teil berücksichtigen willst?

Lieber kosmos, deine betriebswirtschaftlichen Erfolge in Ehren, aber du vermischst in deiner Argumentation Dinge, die nichts mit einander zu tun haben. Man kann auch Diagramme zeichnen, in denen die Olivenernte in Sizilien gegen die Mondkrater aufgetragen wird. Vielleicht ergibt sich darin auch eine Log-Normalverteilung? - Sorry, so geht das nicht. Für die Titus-Bode-Regel gibt es bislang keine physikalische Basis. Sogar hier auf dieser Seite wird auf den Zufall dieser Begebenheit hingewiesen: http://www.astronews.com/frag/antworten/frage678.html

Schöne Grüße,
Emil

 

[Bynaus]

Ich finde es aber schon interessant, dass da offenbar, mit Ausnahme von Neptun und Erde, eine annähernde Verdoppelungsreihe vorliegt. Ich muss mir die Zahlen nochmals genauer ansehen, aber interessant ist es auf jeden Fall.

Fragt sich dann, welche "Bedeutung" man dieser "Entdeckung" zuordnen soll.

 

[kosmos]

Hallo Emil,


Zitat Emil [Lieber kosmos, deine betriebswirtschaftlichen Erfolge in Ehren, aber du vermischst in deiner Argumentation Dinge, die nichts mit einander zu tun haben. Man kann auch Diagramme zeichnen, in denen die Olivenernte in Sizilien gegen die Mondkrater aufgetragen wird. Vielleicht ergibt sich darin auch eine Log-Normalverteilung?]

In der Tat hat die Olivenernte in Sizilien mit Mondkratern wenig zu tun. Ebenso wie die Population der Störche nichts mit der Geburtenrate in einem Land zu tun hat. Wie Du zutreffend ausführst, gehorchen die Umlaufgeschwindigkeiten der Planeten einem Potenzgesetz. Trägt man die Werte in einem einfach logarithmischen Diagramm ein, ergibt sich darin eine Gerade. Dies ist für mich das Indiz für eine Log-Normalverteilung.



Die Titius-Bode-Regel ist ein Rechenverfahren, mit dem sich die Entfernungen der Planten zur Sonne annähernd ausrechnen lassen. Sie funktioniert nur, weil eben der Abstand der Planeten zur Sonne einem Potenzgesetz folgt.



Die Kreisbahngeschwindigkeit eines Planeten errechnet sich nach Keller, Astrowissen Seite 58 aus der Wurzel (Gravitationskonstante x Masse / Entfernung). Dementsprechend errechnet sich die Entfernung eines Planeten zur Sonne aus (Gravitationskonstante X Masse / Umlaufgeschwindigkeit Hoch 2). Ich habe dies nachgerechnet. Dabei habe ich die Sonnenmasse in kg und die Umlaufgeschwindigkeit in Meter pro Sekunde genommen. Daraus ergibt sich die Entfernung in Meter.

 

[Emil]

Hi kosmos,

das ist ja schon richtig, was du schreibst, doch an zwei Punkten stecken Inkonsistenzen in deiner Ausführung:

1. Die Log-Normalverteilung ist kein universelles Heilmittel für Datenreihen! Was auf Störche zutreffen mag, ist noch kein Beweis, daß sich die Planetenabstände nach der gleichen Formel richten. Du hast es zwar nie direkt gesagt, aber deine Erläuterungen zu Gesetzmäßgikeiten in der Wirtschaft hinterlassen bei mir den Eindruck, als wolltest du sie am liebsten auf Planetenabstände übertragen? - Das konnte ich so nicht stehen lassen.

2. An dieser Stelle ist ebenfalls etwas schief:

Die Titius-Bode-Regel ist ein Rechenverfahren, mit dem sich die Entfernungen der Planten zur Sonne annähernd ausrechnen lassen. Sie funktioniert nur, weil eben der Abstand der Planeten zur Sonne einem Potenzgesetz folgt.

Du setzt ein Potenzgesetz voraus und findest durch Ausrechnen heraus, daß es sich um ein Potenzgesetz handelt? - Vielleicht störe ich mich an dem Wort "weil" im zweiten Satz? Das Potenzgesetz ist nämlich keine Begründung für die Titus-Bode-Regel. Wenn es dir gelingt, diese Regel aus dem Keplerschen Gesetz herzuleiten, dann hast du gewonnen!

Schöne Grüße,
Emil

PS: Mich würde jetzt interessieren, wie viele Leute rumrechnen... *grins*

 

[a.cassmi]

Titius Bode Reihe

Titius Bode Reihe

Hallo

Die Titius Bode Reihe ist eine empirische Regel!
1766 von Johann Daniel Titius entdeckt, von Johann Elert Bode 1772 veröffentlicht.
d=0,4+0.3*k

Merkur: 0 - 0,4 - 0,39
Venus: 1 - 0,7 - 0,72
Erde: 2 - 1,0 - 1,00
...........

 

[ralfkannenberg]

Hi kosmos,

das ist ja schon richtig, was du schreibst, doch an zwei Punkten stecken Inkonsistenzen in deiner Ausführung:

1. Die Log-Normalverteilung ist kein universelles Heilmittel für Datenreihen! Was auf Störche zutreffen mag, ist noch kein Beweis, daß sich die Planetenabstände nach der gleichen Formel richten. Du hast es zwar nie direkt gesagt, aber deine Erläuterungen zu Gesetzmäßgikeiten in der Wirtschaft hinterlassen bei mir den Eindruck, als wolltest du sie am liebsten auf Planetenabstände übertragen? - Das konnte ich so nicht stehen lassen.

Warum nicht ? Ich finde es ausserordentlich erstaunlich, dass sich aus mathematisch-statistischer Sicht Planeten um eine Sonne möglicherweise ähnlich verhalten wie Störche auf einer Wiese.

Im Übrigen darf man nicht vergessen, dass in der Naturwissenschaft meistens erst die Beobachtungen getätigt, als zweites dann anhand dieser Beobachtungen die Theorien erstellt werden und erst als drittes diese Theorien auf ein mathematisch-physikalisches Fundament gestellt werden.
Für mich ist also Kosmos' Beitrag im 2.Schritt anzusiedeln

 

[Emil]

Ich finde es ausserordentlich erstaunlich, dass sich aus mathematisch-statistischer Sicht Planeten um eine Sonne möglicherweise ähnlich verhalten wie Störche auf einer Wiese.

Ja, "erstaunlich" wäre das schon, hehe. Daß es Gesetzmäßigkeiten in den Wirtschaftszyklen gibt, bestreite ich nicht. Man kann sie auch sicherlich mit fundierter Mathematik beschreiben. Es entbehrt aber jeglicher Grundlage, sie auf eine zurecht gerätselte Formel im Weltall anzuwenden. - Vielleicht kommt noch jemand auf die Idee, die Filiamentstruktur in Supernova-Überresten mit Börsenkursen zu vergleichen...?

 

[kosmos]

Keplerregel

Hallo Emil,



Dein Zitat: Du setzt ein Potenzgesetz voraus und findest durch Ausrechnen heraus, daß es sich um ein Potenzgesetz handelt? - Vielleicht störe ich mich an dem Wort "weil" im zweiten Satz? Das Potenzgesetz ist nämlich keine Begründung für die Titus-Bode-Regel. Wenn es dir gelingt, diese Regel aus dem Keplerschen Gesetz herzuleiten, dann hast du gewonnen!



Hier mein Versuch:



Nach Kepler verhalten sich die Umlaufzeiten (U) der Planeten wie die Kuben ihrer mittleren Entfernungen (a) von der der Sonne oder mathematisch ausgedrückt

U Hoch 2 / a Hoch 3 = konstant bzw. U merkur : U venus : U erde : …. = a merkur : a venus : a erde …..

Daraus lässt sich für alle Planeten unseres Sonnensystems z.B. anhand der Daten unserer guten alten Erde und der Umlaufzeiten der anderen Planeten, ihre Entfernung zur Sonne berechnen.

Dies funktioniert übrigens dies auch bei Extrasolarplaneten mit den Daten unserer Planeten, wenn die Masse ihrer Sonne, der Masse unserer Sonne entspricht.



Bei der o. a. Keplerformel liegt meines Erachtens eine multiplikative Verknüpfung der Werte vor und die Werte lassen sich wie gehabt in einem logarithmischen Diagramm als Gerade darstellen.



Zitat Emil: Vor ein paar Jahren habe ich in einem Artikel geschrieben, daß unser Sonnensystem in seiner Entstehungszeit vielleicht mehrere Jupiters gehabt haben könnte. Dieser Gedanke begründet sich darin, daß man so viele massereiche Planeten sehr eng an ihrem Heimatstern ("Hot Jupiters") findet.



Solltet Du Dich meiner Auffassung, das die Annahme einer logarithmischen Verteilung der Planetenabstände, Planetenmassen etc. nicht ganz abwegig ist, anschließen können, würde ich gerne mit Dir über Dein o. a. Zitat diskutieren.



Viele Grüße

kosmos

 

[Emil]

Hi kosmos,

ich fange mal unten mit deinem Zitat an:

Solltet Du Dich meiner Auffassung, das die Annahme einer logarithmischen Verteilung der Planetenabstände, Planetenmassen etc. nicht ganz abwegig ist, anschließen können, würde ich gerne mit Dir über Dein o. a. Zitat diskutieren.

Du machst doch hoffentlich die Diskussion nicht von meiner Zustimmung abhängig? Wenn ich nämlich deine Ansicht zur Titius-Bode-Regel kritisiere, so ist das kein persönlicher Angriff. Wir können trotz unterschiedlicher Meinungen ja immer noch gerne über viele andere Themen diskutieren?

Nichtsdestotrotz: Haben wir womöglich an einander vorbei geredet? - Logarithmische Abstände in unserem Sonnensystem: ja. Aber es ist immer noch kein astronomischer Grundsatz! Irgendjemand (Bynaus?) hat oben schon versucht, die Formel auf extrasolare Systeme anzuwenden, und es hat nicht geklappt.

Deine "Herleitung" habe ich, übrigens, nicht verstanden. Ich erwarte vielmehr, daß mir jemand die beiden Formeln
U^2 / a^3 = GM / 4(pi)^2 .......und........ a = 0.4 + 2^n *0.075
in Kongruenz bringt. Oder sie aus Newtons Gravitationsgesetz oder etwas vergleichbarem herleitet.

Schöne Grüße,
Emil

 

[kosmos]

Hallo Emil,



ich habe Deine Kritik nicht als persönlichen Angriff aufgefasst. Ohne Kritik kein Fortschritt. Ich habe Deine Kritik eher als Herausforderung angesehen.



Die logarithmischen Abstände zwischen den Planeten sind für mich nur der Ausgangspunkt für weitere Überlegungen bezüglich der Existenz weiterer Planeten in unserem Sonnensystem.



Da bereits von ralfkannenberg das Thema 12 Planeten ? eröffnet wurde, schlage ich vor, das wir dort darüber diskutieren.



Gruß

kosmos