Quotient

[TomS]

@ralfkannenberg –

Ich habe eine Fragen, die sich bei der Verallgemeinerung unmittelbar aufdrängt:

Was genau ist der Raum aller linearen Abbildung Z : ℓ¹ → ℓ¹, so dass das Ergebnis sicher wieder absolut konvergent ist? Die elementweise Multiplikation mit einer Folge Z, deren Elemente nicht unbeschränkt wachsen sondern einem Grenzwert zustreben, ist trivialerweise hinreichend; aber i.A. auch notwendig?

 

[TomS]

Das ist natürlich nicht das Problem, sondern die konkrete Anwendung. Die Summenformel Σ kann ich auf beliebig lange Zahlenreihen anwenden, das sollte eben auch für das erweiterte Δ gelten. Die Obergrenze wird üblich darüber geschrieben, ich habe es hier nur aus Bequemlichkeit als Superfix geschrieben.

Genau das ist der Punkt: Wenn du unendliche Folgen zulässt, dann funktioniert das nicht nur für Σ sondern sofort auch für Δ.

Mein Index n bezeichnet übrigens nicht die Obergrenze sondern den Summationsindex, und der darf immer über alle natürlichen Zahlen laufen. Bzgl. der Schlussfolgerungen ist das aber egal; betrachte unendliche Folge, entweder endliche um unendlich viele Nullen ergänzt, oder unendliche und absolut konvergente, dann ist alles gut, und du erhältst das, was du dir wünschst.

 

[Rainer]

Wenn du unendliche Folgen zulässt

Ich lasse alles zu, auch Folgen mit nur zwei Gliedern. Die Frage taucht aber bei 6 Gliedern oder bei 3 Gliedern auf. Das habe ich aber jetzt ja auch gelöst.

Was genau ist der Raum aller linearen Abbildung

Die Funktion kann man zwar als Abbildung verstehen, aber das heißt ja nicht, dass diese sich genauso verhalten muss wie die Ausgangsreihe und weder die eine noch die andere muss konvergent sein.

Δ(x³) = -1+8-27+64-....
Δ³(x³) = -1+8-27 = -20

 

[TomS]

Was macht das i^n in

Ist das einfach ein Vorzeichen?

Ich lasse alles zu, auch Folgen mit nur zwei Gliedern. Die Frage taucht aber bei 6 Gliedern oder bei 3 Gliedern auf. Das habe ich aber jetzt ja auch gelöst.

Ich habe da nie ein Problem gesehen.

 

[TomS]

… aber das heißt ja nicht, dass diese sich genauso verhalten muss wie die Ausgangsreihe und weder die eine noch die andere muss konvergent sein.

Wenn die Reihe über der unendlichen Folge nicht (absolut) konvergiert, dann existiert die Reihe nicht; die Formel für die Reihe ist dann völlig sinnlos. Die Folge existiert natürlich trotzdem.

Endlichen Beispiele liefern trivialerweise konvergente Reihen. Δ(x³) = -1+8-27+64-.... existiert nicht.

 

[Rainer]

Deine beiden endlichen Beispiele liefern trivialerweise konvergente Reihen.

Naja, was soll ich mir da jetzt den Kopf verrenken. Allerdings meine ich, dass das alternierende Vorzeigen eine Divergenz bewirkt.
Die Formel der Funktion liefert, was man reinfüllt, konvergent oder nicht ist der Formel ganz egal.

Ich habe da nie ein Problem gesehen.

Kein Wunder, wenn Δ herkömmlich nur zwei Operanden hat. Da bekommst Du aber mit der unendlichen Reihe ein Problem. Und genau dieses habe ich gelöst, einschließlich kürzerer Reihen mit mehr als 2 Gliedern.

Ist das einfach ein Vorzeichen?

Ja genau, darauf läuft es nämlich hinaus, das ist das Ergebnis der Schachtelrechnung und die Lösung der Frage auch für beliebig lange Reihen.

 

[TomS]

Die Formel der Funktion liefert, was man reinfüllt, konvergent oder nicht ist der Formel ganz egal.

Das kommt darauf an, was du unter "der Formel" verstehst:

1. Ein Bildungsgesetz bzw. eine Funktion Δ(x³) in die du bestimmte Folgen (x) einfüllen kannst. Ok.
2. Ein Zahlenwert für eine konkrete Folge, hier also Δ(x³) = -1+8-27+64-.... für die Folge der natürlichen Zahlen N. Nicht ok, das existiert nicht. D.h. die Funktion Δ(x³) existiert, allerdings gehört die Folge der natürlichen Zahlen N nicht zum Definitionsbereich von Δ(x³).

Analog:

1. f(x) = 1/x ist ok
2. f(0) = 1/0 ist nicht definiert

 

[Rainer]

allerdings gehört die Folge der natürlichen Zahlen N nicht zu ihrem Definitionsbereich.

Ja und? 1/0 ist auch nicht definiert und dennoch ist 1/x eine ganz normale Funktion. Sie ist halt nicht immer definiert. Willst Du das Dividieren verbieten, nur weil es eine Lücke gibt? ... ah, das Beispiel hast Du auch gepostet ;-))

Willst Du die Summe Σ verbieten, nur weil Σ(iªa) divergiert?

Im Gegenteil, das Divergieren zeigt Dir, dass die Formel, die Du ausbaldovert hast, keine physikalische Lösung ist.

Dann greift man zur zweiten Lösung Σ(iª/a) und freut sich, das Problem gelöst zu haben.

 

[TomS]

Genau.

Und exakt so muss man auch für diese Δ's überlegen, was ihr Definitionsbereich ist. Es gibt in der Mathematik keine Definition einer Funktion oder Abbildung, bei der kein Definitionsbereich angegeben wird.

Ich sehe dafür zwei offensichtliche Möglichkeiten:
a) unendliche Folgen, die ab einem bestimmten Index ausschließen aus Nullen bestehen (also äquivalent zu endlichen Folgen)
b) für absolut konvergente Reihen die Folgen aus dem o.g. Banach-Raum.

Damit kannst du doch schon enorm viel anfangen.

Für nicht absolut konvergente jedoch nicht absolut-konvergente Reihen funktioniert auch einiges, aber man muss sehr vorsichtig sein.

 

[Rainer]

Funktion oder Abbildung, bei der kein Definitionsbereich angegeben wird

Zuerst musst Du die Funktion definieren, nichts anderes habe ich bisher getan.
Ausgangspunkt waren zwei Operanden, was ich erweitern wollte, da kommst Du mit unendlichen Reihen angetanzt.
Wir sind hier in der Physik. Da gibt es keine unendlichen Reihen.
Φ = -G·Σ(m.i/r.i)
ist niemals unendlich. Die Elementarteilchen sind nicht nur abzählbar, sondern auch endlich.

OB Δx divergiert, hängt ja von x ab und NICHT von Δ.
Δ(1/a) = -1+0,5-1/3+1/4.... = -ln(1 - i)

 

[TomS]

Zuerst musst Du die Funktion definieren, nichts anderes habe ich bisher getan.
Ausgangspunkt waren zwei Operanden, was ich erweitern wollte, da kommst Du mit unendlichen Reihen angetanzt.

Du hattest nicht geschrieben, dass du das ausschließlich möchtest.

Wir sind hier in der Physik. Da gibt es keine unendlichen Reihen.

Doch, ständig.

Taylorreihen, Fourierreihen, Multipolentwicklung, Störungsreihen, Reihendarstellungen in Hilberträumen …

OB Δx divergiert, hängt ja von x ab und NICHT von Δ.

Es hängt offensichtlich von beidem ab, der Funktion und dem Wert.

 

[Rainer]

1. Ein Bildungsgesetz bzw. eine Funktion Δ(x³) in die du bestimmte Folgen (x) einfüllen kannst. Ok.
2. Ein Zahlenwert für eine konkrete Folge,

Ich spreche hier nur von Fall 1 und Du von Fall 2.

Differenz oder Quotient aus einer Reihe abzuleiten, wäre ein Novum

Naja, das könnte man schon machen

Über Fall 2 kannst Du erst sprechen, wenn Fall 1 beantwortet ist.

 

[TomS]

Ich spreche hier nur von Fall 1 und Du von Fall 2.

Also du hattest den Fall 2 genannt

Δ(x³) = -1+8-27+64-....

Anyway …

Wenn's dich interessiert, aufgrund des Bildungsgesetzes mittels Differenz benachbarter Folgenglieder ist das hier noch interessant:

Cauchy-Folge – Wikipedia

de.m.wikipedia.org

 

[Rainer]

Also du hattest den Fall 2 genannt

Ja klar, das ist der zweite Schritt bzw ein anschauliches Beispiel.
Genauso wie
Σ(lªa) = -1+2-3+4+5....
Ob das als unendliche Folge sinnvoll ist oder nicht, liegt auf der Hand, da muss ich doch nichts definieren, weder bei Σ noch bei der eingesetzten Funktion. Die Kombination ist mit dem unendlichen Grenzwert divergent aus fertig.

 

[TomS]

Ob das als unendliche Folge sinnvoll ist oder nicht, liegt auf der Hand, da muss ich doch nichts definieren, weder bei Σ noch bei der eingesetzten Funktion.

Definieren bedeutet, von vornherein allgemein zu klären, für welche Folgen etwas sinnvoll ist, nicht, es je Einzelfall mühsam herauszufinden. Das machen Mathematiker gerne, weil dann genau die Diskussion, die wir gerade führen, nicht notwendig ist.

Eigentlich war meine Intention eine ganz andere: du hattest diese recht interessante Konstruktion begonnen, und ich wollte anmerken, was die Mathematik dazu bereits herausgefunden hat – eine ganze Menge.

 

[Rainer]

Taylorreihen, Fourierreihen, Störungsreihen, Reihendarstellungen in Hilberträumen …

Da ist jetzt Δ aber nicht dabei....

Eigentlich war meine Intention eine ganz andere: du hattest diese recht interessante Konstruktion begonnen, und ich wollte anmerken, was die Mathematik dazu bereits herausgefunden hat – eine ganze Menge.

Δ kenne ich bisher nur als binäre Funktion

Definieren bedeutet, von vornherein allgemein zu klären, für welche Folgen etwas sinnvoll ist

Dann definiere doch mal allgemein, ob die Funktion ℋ sinnvoll ist, wenn man sie auf Folgen anwendet, und wenn das gelungen ist, kann diese Definition ja auch für jede andere Funktion gelten, denn ℋ ist vorerst beliebig.

Ich bin jedenfalls immer noch in dem Stadium, zu fragen, ob meine letzte Lösung die "richtige" Erweiterung von Δ ist. Wenn da überwältigende Einigkeit besteht, kann man sich dem Defintionsbereich zuwenden, aber das sehe ich als sekundär an, denn WENN ein Problem diese Formel erfordert, dann IST es egal, WIE ich es schreibe. Das Ergebnis ist IMMER divergent ODER nicht. Das liegt nicht an der Definition von Δ.

 

[TomS]

Da ist jetzt Δ aber nicht dabei....

In der Quantenmechanik verwendet man ständig die Eigenschaften von Cauchy-Folgen, wenn man Lösungen der Schrödingergleichung nach Basissystemen oder in Störungsreihen entwickelt. Ein eigenes Symbol gibt da aber nicht (da unnötig).

Δ kenne ich bisher nur als binäre Funktion

Na ja, wir verwenden es hier ja auch zur Differenzbildung zweier Folgen, also binär.

Ich bin jedenfalls immer noch in dem Stadium, zu fragen, ob meine letzte Lösung die "richtige" Erweiterung von Δ ist.

Zunächst mal ist sie interessant. Zumindest so, wie wir sie gerade diskutieren, haben Mathematiker sie ja auch genutzt (ohne eigenes Formelzeichen).

Mathematisch "richtig" bedeutet "präzise definiert und widerspruchsfrei". Darüberhinaus interessiert den Mathematiker mehr, ob das interessant ist.

Physikalisch oder sonst irgendwie "richtig" würde ich eher mit "für ein konkretes Problem nützlich" übersetzen.

Hast du denn ein derartiges Problem?

Wenn da überwältigende Einigkeit besteht, kann man sich dem Defintionsbereich zuwenden, aber das sehe ich als sekundär an, denn WENN ein Problem diese Formel erfordert, dann IST es egal, WIE ich es schreibe. Das Ergebnis ist IMMER divergent ODER nicht.

Nein.

Ein konkretes Problem kann eine Klasse von Lösungen haben, wovon einige auf Konvergenz und andere auf Divergenz deines Deltas führen. Dann zwingt dich die Mathematik dazu, eine gewisse Klasse von Lösungen auszuschließen, und es stellt sich die Frage, ob dies auch diejenigen Lösungen sind, die du physikalisch ausschließen möchtest.

Es gibt durchaus Fälle, bei denen die Mathematik für ein konkretes Problem zu wenige oder zu viele Lösungen zulässt, also Mathematik und Physik nicht zu der gleichen Kategorisierung von "sinnvoll" gelangen.

Z.B. lässt die Mathematik Lösungen zu quantenmechanischen Gleichungen zu, die man als physikalisch unsinnig ausschließt. Umgekehrt betrachten Physiker gerne ebene Wellen, die die Mathematik zunächst explizit ausschließt, weil an bestimmten Fällen Divergenzen auftreten, was jedoch physikalisch nicht sinnvoll ist; also muss man – in beiden Fällen – über den Definitionsbereich reden, und zwar für immer das selbe Problem, die selbe Formel.

 

[Rainer]

Mathematisch "richtig" bedeutet "präzise definiert und widerspruchsfrei".

ich spreche von intuitiv bzw sinnentsprechend im Vergleich mit Σ
Es geht ja um das Formelzeichen.
Interessante Funktionen kann man immer erfinden. Das tue ich auch gerne. Aber dann muss man lange über das Formelzeichen nachdenken.

 

[TomS]

ich spreche von intuitiv bzw sinnentsprechend im Vergleich mit Σ
Es geht ja um das Formelzeichen.

Also letzteres ist mir persönlich egal.

Wenn du dich sehr eng a die Funktion des Σ halten willst, dann sehe ich eigentlich keine Notwendigkeit für Δ.

• Σ definiert eine Funktion für eine Folge, nämlich die Reihe
• Δ müsste also, wenn du dich an Σ orientierst, ebenfalls auf einer Folge operieren, nicht auf zweien. Letzteres haben wir aber getan, du implizit, ich explizit, wir haben die Differenz zweier Folgen berechnet, und ggf. darüber wieder die Summe.

Nun kannst du zwar dafür ein eigenes Formelzeichen einführen, allerdings stellt sich die Frage, wozu? Die Mathematiker schreiben eben A und B für zwei Folgen, A-B für deren Differenz, und Σ für die Summe über die Differenzen.

Ein eigenes Formelzeichen gibt’s eigentlich nur dann, wenn das fragliche Objekt sehr häufig verwendet wird. Schon dass wir uns fragen, ob und wie man Δ genau definieren soll, zeigt jedoch, dass exakt das Gegenteil der Fall ist.

Dann hättest du gerne etwas intuitives, weißt jedoch nicht genau, wofür. Dann wird's wohl nichts mit intuitiv.

Mein Vorschlag wäre, du schaust dir an, was es so an Folgen und Reihen gibt, dann bleibst du bestimmt irgendwo hängen und es macht "Klick" im Sinne von "an sowas hatte ich gedacht".

Aufgrund der Differenzbildung fallen mir folgende Beispiele ein, das erste sogar ähnlich zu deiner Idee und mit entsprechendem Formelzeichen, das schon genannt, hier der Vollständigkeit halber:

Finite difference - Wikipedia

en.m.wikipedia.org

Telescoping series - Wikipedia

en.wikipedia.org

Alternating series - Wikipedia

en.m.wikipedia.org

Cauchy sequence - Wikipedia

en.m.wikipedia.org

 

[Rainer]

Δ müsste also, wenn du dich an Σ orientierst, ebenfalls auf einer Folge operieren, nicht auf zweien. Letzteres haben wir aber getan, du implizit, ich explizit, wir haben die Differenz zweier Folgen berechnet, und ggf. darüber wieder die Summe.

Nein, das war nur das Zwischen-Ergebnis, weil ich die EINE Folge in zwei Folgen aufgesplittet habe, die mit den positiven und die mit den negativen Summanden. Richtig ist die zusammengefasste Summe Δa=Σ(iªa). a ist immer nur eine Reihe.