Da ist jetzt Δ aber nicht dabei....
In der Quantenmechanik verwendet man ständig die Eigenschaften von Cauchy-Folgen, wenn man Lösungen der Schrödingergleichung nach Basissystemen oder in Störungsreihen entwickelt. Ein eigenes Symbol gibt da aber nicht (da unnötig).
Δ kenne ich bisher nur als binäre Funktion
Na ja, wir verwenden es hier ja auch zur Differenzbildung zweier Folgen, also binär.
Ich bin jedenfalls immer noch in dem Stadium, zu fragen, ob meine letzte Lösung die "richtige" Erweiterung von Δ ist.
Zunächst mal ist sie interessant. Zumindest so, wie wir sie gerade diskutieren, haben Mathematiker sie ja auch genutzt (ohne eigenes Formelzeichen).
Mathematisch "richtig" bedeutet "präzise definiert und widerspruchsfrei". Darüberhinaus interessiert den Mathematiker mehr, ob das interessant ist.
Physikalisch oder sonst irgendwie "richtig" würde ich eher mit "für ein konkretes Problem nützlich" übersetzen.
Hast du denn ein derartiges Problem?
Wenn da überwältigende Einigkeit besteht, kann man sich dem Defintionsbereich zuwenden, aber das sehe ich als sekundär an, denn WENN ein Problem diese Formel erfordert, dann IST es egal, WIE ich es schreibe. Das Ergebnis ist IMMER divergent ODER nicht.
Nein.
Ein konkretes Problem kann
eine Klasse von Lösungen haben, wovon einige auf Konvergenz und andere auf Divergenz deines Deltas führen. Dann zwingt dich die Mathematik dazu, eine gewisse Klasse von Lösungen auszuschließen, und es stellt sich die Frage, ob dies auch diejenigen Lösungen sind, die du physikalisch ausschließen möchtest.
Es gibt durchaus Fälle, bei denen die Mathematik für ein konkretes Problem zu wenige oder zu viele Lösungen zulässt, also Mathematik und Physik nicht zu der gleichen Kategorisierung von "sinnvoll" gelangen.
Z.B. lässt die Mathematik Lösungen zu quantenmechanischen Gleichungen zu, die man als physikalisch unsinnig ausschließt. Umgekehrt betrachten Physiker gerne ebene Wellen, die die Mathematik zunächst explizit ausschließt, weil an bestimmten Fällen Divergenzen auftreten, was jedoch physikalisch nicht sinnvoll ist; also muss man – in beiden Fällen – über den Definitionsbereich reden, und zwar für immer
das selbe Problem,
die selbe Formel.