Mit Unendlich muss man sowieso aufpassen. Kennt Ihr z.B das Hilberthotel? Benannt nach dem großen Mathematiker David Hilbert.
Hallo pane,
herzlichen Glückwunsch zu dieser kurzen und prägnanten Darstellung !
Als letztes kommen nun unendlich viele Hilbertbusse an.
Vorsicht: hier muss man mit "unendlich" etwas aufpassen, denn auch das Kontinuum enthält letztlich "nur" unendlich viele Elemente.
Auch das ist kein Problem. Im Hilberthotel wird wie eben alle Zimmer mit ungerader Nummer leergeräumt und darin kommen nun
Das versteht man nur, wenn man die Lösung kennt.
Also: man hat zwei Nummern, eine Gastnummer und eine Busnummer.
der erste Gast aus dem ersten Bus
Hier ist also die Summer dieser beiden Nummern = 2.
, dann der zweite Gast aus dem ersten Bus, dann der erste Gast aus dem zweiten Bus
Hier ist die Summe dieser beiden Nummern = 3.
, dann der dritte Gast aus dem ersten Bus, der zweite Gast aus dem zweiten Bus, der erste Gast aus dem dritten Bus, usw.
Hier ist die Summe dieser beiden Nummern = 4.
Der nächste Gast, der nun in das Hotel kommt, ist also der vierte Gast aus dem ersten Bus - hier ist diese Summe = 5. Dann kommt der dritte Gast aus dem zweiten Bus, auch hier ist die Summe dieser beiden Nummern gleich 5. Die übrigen 2-Tupel sind dann (2,3) und (1,4).
Dann kommen die mit Summe = 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2) und (5,1).
Dann kommen die mit Summe = 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) und (6,1).
u.s.w.
Genau.
Nun aber sei das Hilberthotel völlig leer, und es kommen alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 und wollen in das Hotel einziehen. Das geht nicht, dafür ist das Hotel zu klein! Das Beweise ich durch einen Widerspruchsbeweis: Angenommen es gibt so eine Anordnung, dass jede reelle Zahl ein Zimmer findet. Ich konstruiere nun eine Zahl zwischen 0 und 1, die da keinen Platz drin gefunden haben kann und habe einen Widerspruch dazu, dass alle untergekommen sein sollten: Seien die Zahlen im normalen Dezimalsystem notiert. Da wie Martin schon schrieb 0,9 Periode gleich 1 ist, und auch wenn die Periode 9 später anfängt eine Zahl zwei verschiedene Darstellungen hat, verwende ich hier z.B die 5, dabei gibt es keine Probleme.
Ich schaue mit die Zahl im Zimmer 1 an. Da es eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, ist die Ziffer vor dem Komma wie bei allen anderen Zahlen eine 0. Ich interessiere mich hier nur für die 1. Ziffer nach dem Komma. Ist sie ungleich 5, so nehme ich für meine zu konstruierende Zahl eine 5, ist sie aber auf Zimmer 1 eine 5, so nehme ich eine 6. Somit habe ich schon die erste Nachkommastelle für meine zu konstruierende Zahl. Für die zweite Nachkommastelle sehe ich mir die Zahl auf Zimmer 2 an und nehme auch dort die zweite Nachkommastelle. Auch hier nehme ich eine 5, wenn sie im Zimmer 2 ungleich 5 ist und eine 6 sonst. So gehe ich von Nachkommastelle zu Nachkommastelle und von Zimmer zu Zimmer. Immer achte ich darauf, dass die Nachkommastelle, die die Zimmernummer entspricht anders ist als die des Zimmers. Insgesamt erhalte ich eine Zahl, die sehr wohl eine reelle ist, zwischen 0 und 1 ist und in keinem Zimmer sein kann. Denn wäre sie in einem Zimmer, so bräuchte ich mir nur die Nachkommastelle anzusehen, die der Zimmernummer entspricht. Hier stimmt meine Zahl nicht mit der Zahl im Zimmer überein. Ich habe einen Widerspruch zu der Annahme, dass ich alle Zahlen untergebracht habe. Es geht also nicht.
Das ist der Cantor'sche Diagonalbeweis.
Das kommt daher, dass das Hilberthotel nur abzählbar viele Zimmer hat, aber die reellen Zahlen überabzählbar sind. Also immer schön vorsichtig mit der Unendlichkeit.
Dieser Beweis wurde im Jahre 1874 gefunden; zum Glück konnte Liouville im Jahre 1851 eine transzendente Zahl finden (mithilfe des Liouville'schen Approximationssatzes, welchen er im Jahre 1844 hergeleitet hatte) und Hermite gelang im Jahre 1873, also 1 Jahr vor dem Cantor'schen Diagonalbeweis, der Nachweis, dass die Euler'sche Zahl e ebenfalls transzendent ist. Sonst hätte man mit der Menge der transzendenten Zahlen eine Menge konstruiert, welche überabzählbar unendlich gross ist, ohne dass man in der Lage gewesen ware, auch nur ein einzige Element dieser riesig riesigen Menge angeben zu können.
Die Menge aller Polynome 1.Grades mit rationalen Koeffizienten entsprechen nämlich diesen o.g. 2-Tupeln, bei denen man diese Summe aus Busnummer und Gastnummer über die natürlichen Zahlen laufen last, und per vollständiger Induktion gilt das auch für (n+1)-Tupel, also für Polynome n.Grades mit rationalen Koeffizienten.
Und da wir uns ja netterweise in einem Körper befinden, gilt der Hauptsatz der Algebra, gemäss dem solche Polynome höchstens n verschiedene Nullstellen haben können, so dass diese Nullstellen - man nennt sie auch "algebraische Zahlen", ebenfalls nur abzählbar unendlich sind.
Aufgrund des Cantor'schen Diagonalbeweises aber ist die Menge der reellen Zahlen überabzählbar unendlich, also auch die Differenzmenge, das ist die Menge der transzendenten Zahlen. Denn wäre die Differenzmenge nur abzählbar unendlich, so wäre auch die Vereinigungsmenge abzählbar unendlich, das ist ja das Beispiel mit einem zusätzlichen Hilbertbus, bei dem alle Gäste in Hotel in ein Zimmer mit ungerader Nummer umziehen.
Im Jahre 1874 des Cantor'schen Diagonalbeweises indes kannte man mit der Liouville'schen Zahl und der Euler'schen Zahl zwei transzendente Zahlen. Natürlich viel mehr, da sämtliche algebraischen Vielfachen der Liouville'schen Zahl und sämtliche algebraischen Vielfachen der Euler'schen Zahl ebenfalls transzendent sind.
Freundliche Grüsse, Ralf