Mathematische Frage: das Photon und die Lichtgeschwindigkeit(?)

Bernhard

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aber wenn es das nur wäre...
Viel Spaß beim Rätseln und Grübeln. Ein Tipp noch: Bei der latexierten Formel fehlt genaugenommen ein Re(...) weil ein komplexes, elektrisches Feld natürlich Kokolores ist. Die Funktion Re(...), die den Realteil des Argumentes heraus projiziert, spart man sich aus Gründen der Bequemlichkeit aber gerne :) . Man kann die Formel mit Hilfe deBroglie-Beziehungen auch mit E und p anstelle von om und k anschreiben.
 
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Bernhard

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Hallo Dgoe,

ich habe oben ein elektrisches Wellenfeld angegeben. Damit dieses Feld ein Teil einer Lösung der maxwellschen Gleichungen wird, müssen die verwendeten Parameter k und om noch die Zusatzbedingung erfüllen, die ich angeschrieben habe (c=...). A_0 ist im Rahmen der maxwellschen Theorie frei wählbar.
 

ralfkannenberg

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Got it. Die Anführungszeichen sollten zeigen, dass es als "Spitze" gegen Ralf gemeint war.
Hallo Bernhard,

ich habe durchaus Gründe, warum ich nicht für overkills bin: betrachten wir beispielsweise die alternierende harmonische Reihe (1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 ...); diese konvergiert gemäss Formelsammlung gegen den natürlichen Logarithmus von 2.

Kein "normaler" Mensch würde auf die Idee kommen, dass wenn man die Reihenglieder in einer anderen Reihenfolge anordnet ein anderer Grenzwert herauskommen kann, ja dass man sogar jeden beliebigen Grenzwert durch eine geeignete Anordnung der Reihenglieder erzielen kann.

Und das liegt eben an der fehlenden absoluten Konvergenz, von der ich geschrieben hatte und die Du bei Deiner Herleitung stillschweigend benutzst. - Natürlich, man "weiss", dass das bei der Reihenentwicklung des Sinus das alles erfüllt ist, aber beispielsweise beeinhaltet der Beweis der Gauss'schen Formel der Exponententialfunktion in der komplexen Zahlenebene nur solche Wohldefiniertheits-Betrachtungen.


Trotzdem bin zumindest ich der Meinung, dass man einfache Fragestellungen nicht mit dem kompletten Instrumentarium der Mathematik zu erschlagen braucht, sondern sich darauf beschränken kann, worauf es wirklich ankommt. Dann vermeidet man auch zahlreiche Fallstricke, die sich andernfalls immer wieder an ganz unerwarteter Stelle auftreten.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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Mit Unendlich muss man sowieso aufpassen. Kennt Ihr z.B das Hilberthotel? Benannt nach dem großen Mathematiker David Hilbert.
Hallo pane,

herzlichen Glückwunsch zu dieser kurzen und prägnanten Darstellung !

Als letztes kommen nun unendlich viele Hilbertbusse an.
Vorsicht: hier muss man mit "unendlich" etwas aufpassen, denn auch das Kontinuum enthält letztlich "nur" unendlich viele Elemente.

Auch das ist kein Problem. Im Hilberthotel wird wie eben alle Zimmer mit ungerader Nummer leergeräumt und darin kommen nun
Das versteht man nur, wenn man die Lösung kennt.

Also: man hat zwei Nummern, eine Gastnummer und eine Busnummer.

der erste Gast aus dem ersten Bus
Hier ist also die Summer dieser beiden Nummern = 2.

, dann der zweite Gast aus dem ersten Bus, dann der erste Gast aus dem zweiten Bus
Hier ist die Summe dieser beiden Nummern = 3.

, dann der dritte Gast aus dem ersten Bus, der zweite Gast aus dem zweiten Bus, der erste Gast aus dem dritten Bus, usw.
Hier ist die Summe dieser beiden Nummern = 4.

Der nächste Gast, der nun in das Hotel kommt, ist also der vierte Gast aus dem ersten Bus - hier ist diese Summe = 5. Dann kommt der dritte Gast aus dem zweiten Bus, auch hier ist die Summe dieser beiden Nummern gleich 5. Die übrigen 2-Tupel sind dann (2,3) und (1,4).

Dann kommen die mit Summe = 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2) und (5,1).

Dann kommen die mit Summe = 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) und (6,1).

u.s.w.

Jeder Gast kommt unter.
Genau.


Nun aber sei das Hilberthotel völlig leer, und es kommen alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 und wollen in das Hotel einziehen. Das geht nicht, dafür ist das Hotel zu klein! Das Beweise ich durch einen Widerspruchsbeweis: Angenommen es gibt so eine Anordnung, dass jede reelle Zahl ein Zimmer findet. Ich konstruiere nun eine Zahl zwischen 0 und 1, die da keinen Platz drin gefunden haben kann und habe einen Widerspruch dazu, dass alle untergekommen sein sollten: Seien die Zahlen im normalen Dezimalsystem notiert. Da wie Martin schon schrieb 0,9 Periode gleich 1 ist, und auch wenn die Periode 9 später anfängt eine Zahl zwei verschiedene Darstellungen hat, verwende ich hier z.B die 5, dabei gibt es keine Probleme.

Ich schaue mit die Zahl im Zimmer 1 an. Da es eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, ist die Ziffer vor dem Komma wie bei allen anderen Zahlen eine 0. Ich interessiere mich hier nur für die 1. Ziffer nach dem Komma. Ist sie ungleich 5, so nehme ich für meine zu konstruierende Zahl eine 5, ist sie aber auf Zimmer 1 eine 5, so nehme ich eine 6. Somit habe ich schon die erste Nachkommastelle für meine zu konstruierende Zahl. Für die zweite Nachkommastelle sehe ich mir die Zahl auf Zimmer 2 an und nehme auch dort die zweite Nachkommastelle. Auch hier nehme ich eine 5, wenn sie im Zimmer 2 ungleich 5 ist und eine 6 sonst. So gehe ich von Nachkommastelle zu Nachkommastelle und von Zimmer zu Zimmer. Immer achte ich darauf, dass die Nachkommastelle, die die Zimmernummer entspricht anders ist als die des Zimmers. Insgesamt erhalte ich eine Zahl, die sehr wohl eine reelle ist, zwischen 0 und 1 ist und in keinem Zimmer sein kann. Denn wäre sie in einem Zimmer, so bräuchte ich mir nur die Nachkommastelle anzusehen, die der Zimmernummer entspricht. Hier stimmt meine Zahl nicht mit der Zahl im Zimmer überein. Ich habe einen Widerspruch zu der Annahme, dass ich alle Zahlen untergebracht habe. Es geht also nicht.
Das ist der Cantor'sche Diagonalbeweis.

Das kommt daher, dass das Hilberthotel nur abzählbar viele Zimmer hat, aber die reellen Zahlen überabzählbar sind. Also immer schön vorsichtig mit der Unendlichkeit.
Dieser Beweis wurde im Jahre 1874 gefunden; zum Glück konnte Liouville im Jahre 1851 eine transzendente Zahl finden (mithilfe des Liouville'schen Approximationssatzes, welchen er im Jahre 1844 hergeleitet hatte) und Hermite gelang im Jahre 1873, also 1 Jahr vor dem Cantor'schen Diagonalbeweis, der Nachweis, dass die Euler'sche Zahl e ebenfalls transzendent ist. Sonst hätte man mit der Menge der transzendenten Zahlen eine Menge konstruiert, welche überabzählbar unendlich gross ist, ohne dass man in der Lage gewesen ware, auch nur ein einzige Element dieser riesig riesigen Menge angeben zu können.


Die Menge aller Polynome 1.Grades mit rationalen Koeffizienten entsprechen nämlich diesen o.g. 2-Tupeln, bei denen man diese Summe aus Busnummer und Gastnummer über die natürlichen Zahlen laufen last, und per vollständiger Induktion gilt das auch für (n+1)-Tupel, also für Polynome n.Grades mit rationalen Koeffizienten.

Und da wir uns ja netterweise in einem Körper befinden, gilt der Hauptsatz der Algebra, gemäss dem solche Polynome höchstens n verschiedene Nullstellen haben können, so dass diese Nullstellen - man nennt sie auch "algebraische Zahlen", ebenfalls nur abzählbar unendlich sind.

Aufgrund des Cantor'schen Diagonalbeweises aber ist die Menge der reellen Zahlen überabzählbar unendlich, also auch die Differenzmenge, das ist die Menge der transzendenten Zahlen. Denn wäre die Differenzmenge nur abzählbar unendlich, so wäre auch die Vereinigungsmenge abzählbar unendlich, das ist ja das Beispiel mit einem zusätzlichen Hilbertbus, bei dem alle Gäste in Hotel in ein Zimmer mit ungerader Nummer umziehen.

Im Jahre 1874 des Cantor'schen Diagonalbeweises indes kannte man mit der Liouville'schen Zahl und der Euler'schen Zahl zwei transzendente Zahlen. Natürlich viel mehr, da sämtliche algebraischen Vielfachen der Liouville'schen Zahl und sämtliche algebraischen Vielfachen der Euler'schen Zahl ebenfalls transzendent sind.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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Dgoe

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Ok, Danke Bernhard.
Meinerseits auch vielen Dank an pane und Ralf für die Exkursionen. Schon bemerkenswert, wie eins zum anderen führt...
Gruß,
Dgoe
 

ralfkannenberg

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1/unendlich -konvergiert gegen null, der Grenzwert dieses Ausdrucks.
1/unendlich wird aber niemals gleich 0 sein, sondern nur beliebig klein.
Hallo sanchez,

Du meinst das richtige, aber Du hast es nicht ganz richtig aufgeschrieben. "1/unendlich" ist nicht definiert, wohl aber 1/n für alle n in IN. Du kannst also ein beliebiges epsilon > 0 vorgeben (z.B. ein ganz kleines) und findest trotzdem immer ein N in IN, so dass für alle n > N gilt, dass 1/n < epsilon ist.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

sanchez

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@ralfkannenberg

Ja so wie du schreibst ist das richtig und eindeutig.
Das kleine Epsilon und das Gedöns, dass es zu jeder Zahl x eine grössere Zahl x+1 gibt, lag mir auf der Zunge.
Die mathematischen Worte dazu haben mir gefehlt.

Ich bin halt kein Mathematiker.

grüsse sanchez
 

ralfkannenberg

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0,9 Periode = 1

1 - 0,9 Periode = 1/Unendlich
Hallo Martin,

noch einmal: "unendlich" ist nicht definiert.

1 - 0.9 Periode ist ganz banal gleich 0 und nichts anderes - es gibt hier keinerlei Bezug zu irgendwelchen Unendlichkeiten:

Du definierst Dir einfach die Hilfsgrösse 0.9[sub]{n}[/sub]:= 0.9999...999 mit n Neunen und zeigst, dass die Differenz von 1 - 0.9[sub]{n}[/sub] gegen 0 konvergiert. Das kannst Du völlig analog zu oben mit beliebigem epsilon, zu denen Du je ein N[sub]epsilon[/sub] in IN findest, so dass gilt, dass 1 - 0.9[sub]{n}[/sub] < epsilon für alle n > N[sub]epsilon[/sub].

Also:
N/Unendlich = 0
umgestellt:
0 x Unendlich = N
damit wäre es hergeleitet.
Nein, damit ist gar nichts hergeleitet, denn man kann eine Gleichung nicht ohne Informationsverlust auf beiden Seiten mit "unendlich" multiplizieren.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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ralfkannenberg

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Danke Ralf,
ich hatte ja schon unter #34 meinen Irrtum erkannt.
Hallo Martin,

ich sehe nicht ganz, was Dein Irrtum mit dem Hilbert-Hotel zu tun hat.

Dein Irrtum kommt letztlich daher, dass "unendlich" kein additiv inverses Element hat, übrigens ganz analog dazu, dass die Vakuumlichtgeschwidnigkeit bezüglich der relatvistischen Geschwindigkeitsaddition ebenfalls kein additiv-inverses Element hat.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Bernhard

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ich habe durchaus Gründe, warum ich nicht für overkills bin
Hallo Ralf,

was ein "Overkill" ist, ist in diesem Zusammenhang schon ziemlich subjektiv. Dem Experimentalphysiker sind Hilberthotels und Hilbertbusse beispielsweise ziemlich "Schnuppe" und er würde das wohl als "Overkill" bezeichnen, aber dafür sind wir ja auch in einem öffentlichen Forum, wo jeder Teilnehmer eigentlich recht große Freiheiten genießen darf.

Völlig trivialisieren lässt sich das Thema aber auch nicht, da der Begriff "Photon" eben sehr stark mit der Quantenelektrodynamik und Quantenfeldtheorie verknüpft ist. Es muss also erlaubt sein, hier auch mal etwas auszuholen :) .
 

ralfkannenberg

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was ein "Overkill" ist, ist in diesem Zusammenhang schon ziemlich subjektiv.
Hallo Bernhard,

ein "Overkill" liegt dann vor, wenn man einen für den Beweis eines Theorems viel mehr Voraussetzungen verwendet als benötigt. Ein paar mehr Voraussetzungen als minimal erforderlich mag ja in gewissen Situationen aus didaktischen Gründen Sinn machen, sowas mag auch aus Gründen der Bequemlichkeit Sinn machen.

Dem Experimentalphysiker sind Hilberthotels und Hilbertbusse beispielsweise ziemlich "Schnuppe" und er würde das wohl als "Overkill" bezeichnen
Völlig zurecht übrigens, aber darum ging es doch in pane's Beitrag gar nicht. Es ging - so habe ich ihn jedenfalls verstanden, pane nur darum, anhand eines prominenten Beispiels einmal aufzuzeigen, warum man bei Unendlichkeiten etwas vorsichtig sein sollte.


Im Übrigen habe ich im Büro letzte Woche einem Arbeitskollegen - einem promovierten Physiker - auch die Aufgabe gestellt, die Ableitung des Sinus herzuleiten. Seine beiden ersten Beweise haben mir nicht "gefallen", so dass er wissen wollte, was er denn für seinen Beweis verwenden dürfe, doch dann packte ihn die Begeisterung für den elementaren Ansatz, also ohne Potenzreihe und ohne Gauss'sche Formel und nach 2 Stunden und 2 Irrwegen, die beide zunächst durchaus erfolgsversprechend aussahen, hatte er den Beweis. Du hättest seine Begeisterung und seine Freude sehen sollen - einfach Klasse !


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Bernhard

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Und nun setzt man einfach die Definition des Sinus und des Cosinus in die beiden Dreiecke ein und lässt x gegen 0 gehen. Dabei sieht man, dass das erste Lot von unten gegen 1 geht und dass das zweite Lot von oben gegen 1 geht, und daraus kann man dann die gewünschte Identität herleiten.
Hallo Ralf,

auch wenn es das Thema meiner Meinung nach (mMn) etwas unübersichtlich werden lässt, möchte ich da mal nachhaken: Beide Lote gehen mMn mit x->0 auch gegen 0??

Bei Deiner Konstruktion kann ich Dir bis sin(x) < x folgen (Erstes Lot). Ich würde dann aber nach etwas suchen, was zeigt, dass der sin(x) -> x konvergiert.
 
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ralfkannenberg

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Hallo Bernhard,

auch wenn es das Thema meiner Meinung nach (mMn) etwas unübersichtlich werden lässt, möchte ich da mal nachhaken: Beide Lote gehen mMn mit x->0 auch gegen 0??
ja.

Bei Deiner Konstruktion kann ich Dir bis sin(x) < x folgen (Erstes Lot). Ich würde dann aber nach etwas suchen, was zeigt, dass der sin(x) -> x konvergiert.
Ich habe es ja auch nur skizziert; es läuft jedenfalls darauf hinaus, dass das erste Lot ja der Cosinus ist und das zweite Lot der Tangens.

Und wenn man da ein bisschen herumrechnet, stellt man fest, dass gilt:

cos(h) <= sin(h)/h <= 1.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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