Mathematische Frage: das Photon und die Lichtgeschwindigkeit(?)

[Bernhard]

man macht es geometrisch.

Oder man verwendet die Definition des Sinus (unendliche Reihe), kürzt durch h und lässt h dann gegen Null gehen.

 

[ralfkannenberg]

Oder man verwendet die Definition des Sinus (unendliche Reihe), kürzt durch h und lässt h dann gegen Null gehen.

Hallo Bernhard,

auch das klappt nur mit den Werkzeugen der Infinitesimalrechnung. Also: Dedekind'sche Schnitte, Stetigkeit, absolute Konvergenz, Konvergenzradius sind da mal das mindeste, was man benötigt.

Und als nächstes kann man dann so nette Funktionen wie f(x) = 1 für x in IQ und 0 für x in IR\IQ bilden und die integrieren, das Versagen des Riemann-Integrales feststellen und sich dann mithilfe der Masstheorie zum Lebesque-Integral durchhangeln; klar: alles notwendige Inhalte, z.B. in der Wahrscheinlichkeitstheorie, aber doch ein bisschen Overkill, um den Limes von sin(x)/x für x->0 zu bestimmen.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Bernhard]

aber doch ein bisschen Overkill, um den Limes von sin(x)/x für x->0 zu bestimmen.

"Fassen wir also zusammen, dass man das Beweisen besser den Mathematikern, als den Jüngern der Königin der Wissenschaften, überlassen sollte".

 

[TomS]

"Fassen wir also zusammen, dass man das Beweisen besser den Mathematikern, als den Jüngern der Königin der Wissenschaften, überlassen sollte".

Ich halte den Satz ohne Komma für grammatikalisch korrekt - und für inhaltlich spannender als das Original: "... dass man das Beweisen besser den Mathematikern als den Jüngern der Königin der Wissenschaften überlassen sollte". Wären damit nun die Physiker gemeint?

 

[Bernhard]

IWären damit nun die Physiker gemeint?

Ich dachte immer "Königin der Wissenschaften" hätte C.F. Gauss der Mathematik zugeschrieben?

 

[TomS]

Ich dachte immer "Königin der Wissenschaften" hätte C.F. Gauss der Mathematik zugeschrieben?

klar, Gauß gar das so gesehen ... aber ohne das Komma gibt es zwei mögliche Lesarten, und das habe ich zum Anlass genommen, das zu hinterfragen

 

[Bernhard]

aber ohne das Komma gibt es zwei mögliche Lesarten

Got it. Die Anführungszeichen sollten zeigen, dass es als "Spitze" gegen Ralf gemeint war. Die Beurteilung der Mathematik durch CFG hatte ich als bekannt vorausgesetzt .

 

[Martin H.]

0 x Unendlich = N (eine natürliche Zahl)

Genau da liegt dein Denkfehler. Das ist ein unbestimmer Ausdruck. Man muss da bei jedem Fall einzeln prüfen, was dabei herauskommt.

Das leuchtet mir aber nicht ein:

Habe ich eine beliebige Natürliche Zahl (N) im Zähler, wird das Ergebnis umso größer, umso kleiner der Nenner ist.
Wird der Nenner Null, so ist das Ergebnis Unendlich.

Anders gesagt (um mal zu einer klar definierten Zahl zu kommen, nehme ich die 1):
1 / 3 = 0,3 Periode
0,3 Periode x 3 = 0,9 Periode

also gilt auch:
0,9 Periode = 1

1 - 0,9 Periode = 1/Unendlich
Da sich aber aus der Vorigen Formel ergab: 0,9 Periode = 1 gilt wiederum:
1/Unendlich = 0

Und hier kann wiederum die 1 mit einer beliebigen Natürlichen Zahl (N) ersetzt werden, denn da Ergebnis bleibt gleich:
Denn Brüche kann man kürzen, aus N kann man eine 1 kürzen; Unendlich bleibt aber Unendlich ob multipliziert oder dividiert.
Also:
N/Unendlich = 0
umgestellt:
0 x Unendlich = N
damit wäre es hergeleitet.

 

[Bernhard]

N/Unendlich = 0
umgestellt:
0 x Unendlich = N

Hallo Martin,

Ralf hat schon beschrieben, dass "Unendlich" keine "Zahl" ist, mit der man genauso wie mit reellen Zahlen rechnen kann.

Zu dem Begriff "Unendlich" kommt man vielmehr über Reihen, die in's Unendliche fortgeführt werden. Man hat beispielsweise die Reihe 1,2,3,4 usw. und überlegt sich dann Grenzwerte: Was passiert, wenn ich diese Zahlenreihe beliebig anwachsen lasse? Du solltest Deine Fragen also besser mit geeigneten Reihen (z.B. 1,2,3,4...) konstruieren, denn dann kommt man wieder zu vernünftigen Aussagen.

 

[Ich]

1/Unendlich = 0
0xUnendlich=1

2/Unendlich = 0
0xUnendlich=2

1=2

damit wäre es hergeleitet.

 

[sanchez]

Hallo Martin,

1/unendlich -konvergiert gegen null, der Grenzwert dieses Ausdrucks.
1/unendlich wird aber niemals gleich 0 sein, sondern nur beliebig klein.

Grüsse sanchez

 

[Dgoe]

Wird der Nenner Null, ...

Hallo Martin,

die Division durch Null ist auch nicht definiert! Gar nicht, wie ein Verbot.

Wird mit Geldstrafe oder Freiheitsentzug nicht unter 2 Jahren geahndet. *scherz*

Gruß,
Dgoe

 

[pane]

Mit Unendlich muss man sowieso aufpassen. Kennt Ihr z.B das Hilberthotel? Benannt nach dem großen Mathematiker David Hilbert. Ein normales Hotel, so groß es auch sein mag, ist voll, wenn es voll ist. Dann passt da niemand mehr hinein. Nicht so das Hilberthotel. Das Hilberthotel hat nämlich unendlich viele Zimmer. Wenn es komplett gefüllt ist, und da kommt noch ein Gast, so kann man den auch noch unterbringen, nämlich so: Der Gast in Zimmer 1 zieht nach Zimmer2, das natürlich auch belegt ist. Aber der dortige Gast zieht nach Zimmer 3 und der Gast der vormals in Zimmer 3 war in Zimmer 4 usw. Jeder Gast zieht in das nächste Zimmer mit einer um 1 größeren Nummer. Das geht, da das Hotel unendlich groß ist. Also kein Ende hat. Es bleibt das Zimmer 1 leer übrig, in dem der neue Gast ziehen kann.

Wenn jetzt etwa 10 neue Gäste in einem vollen Hotel ziehen wollen, so braucht man das Verfahren nur 10 mal zu wiederholen, oder aber jeder Gast zieht gleich in ein um 10 Nummern weiter gelegenes Zimmer. So kann man es mit jeder natürlichen Zahl machen. Was aber, wenn ein Hilbertbus mit unendlich vielen Sitzplätze ankommt und das Hilberthotel wie gehabt völlig voll ist? Auch das ist kein Problem. Der Gast aus Zimmer 1 zieht in Zimmer 2, der aus Zimmer 2 in Zimmer 4, der aus Zimmer 3 in Zimmer 6 usw. also immer in eine gerade doppelt so hohen Zahl. Die Zimmer mit ungeraden Nummern bleiben für die Gäste aus dem Hilbertbus frei, die nun dort einziehen können.

Als letztes kommen nun unendlich viele Hilbertbusse an. Auch das ist kein Problem. Im Hilberthotel wird wie eben alle Zimmer mit ungerader Nummer leergeräumt und darin kommen nun der erste Gast aus dem ersten Bus, dann der zweite Gast aus dem ersten Bus, dann der erste Gast aus dem zweiten Bus, dann der dritte Gast aus dem ersten Bus, der zweite Gast aus dem zweiten Bus, der erste Gast aus dem dritten Bus, usw. Jeder Gast kommt unter.

Nun aber sei das Hilberthotel völlig leer, und es kommen alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 und wollen in das Hotel einziehen. Das geht nicht, dafür ist das Hotel zu klein! Das Beweise ich durch einen Widerspruchsbeweis: Angenommen es gibt so eine Anordnung, dass jede reelle Zahl ein Zimmer findet. Ich konstruiere nun eine Zahl zwischen 0 und 1, die da keinen Platz drin gefunden haben kann und habe einen Widerspruch dazu, dass alle untergekommen sein sollten: Seien die Zahlen im normalen Dezimalsystem notiert. Da wie Martin schon schrieb 0,9 Periode gleich 1 ist, und auch wenn die Periode 9 später anfängt eine Zahl zwei verschiedene Darstellungen hat, verwende ich hier z.B die 5, dabei gibt es keine Probleme.

Ich schaue mit die Zahl im Zimmer 1 an. Da es eine Zahl zwischen 0 und 1 ist, ist die Ziffer vor dem Komma wie bei allen anderen Zahlen eine 0. Ich interessiere mich hier nur für die 1. Ziffer nach dem Komma. Ist sie ungleich 5, so nehme ich für meine zu konstruierende Zahl eine 5, ist sie aber auf Zimmer 1 eine 5, so nehme ich eine 6. Somit habe ich schon die erste Nachkommastelle für meine zu konstruierende Zahl. Für die zweite Nachkommastelle sehe ich mir die Zahl auf Zimmer 2 an und nehme auch dort die zweite Nachkommastelle. Auch hier nehme ich eine 5, wenn sie im Zimmer 2 ungleich 5 ist und eine 6 sonst. So gehe ich von Nachkommastelle zu Nachkommastelle und von Zimmer zu Zimmer. Immer achte ich darauf, dass die Nachkommastelle, die die Zimmernummer entspricht anders ist als die des Zimmers. Insgesamt erhalte ich eine Zahl, die sehr wohl eine reelle ist, zwischen 0 und 1 ist und in keinem Zimmer sein kann. Denn wäre sie in einem Zimmer, so bräuchte ich mir nur die Nachkommastelle anzusehen, die der Zimmernummer entspricht. Hier stimmt meine Zahl nicht mit der Zahl im Zimmer überein. Ich habe einen Widerspruch zu der Annahme, dass ich alle Zahlen untergebracht habe. Es geht also nicht.

Das kommt daher, dass das Hilberthotel nur abzählbar viele Zimmer hat, aber die reellen Zahlen überabzählbar sind. Also immer schön vorsichtig mit der Unendlichkeit.

Mit freundlichen Grüßen
pane

 

[Martin H.]

Danke Pane, das leuchtet ein!

Zum besagten Problem habe ich auch noch das auf YouTube gefunden:

https://www.youtube.com/watch?v=byjdCpCNsBg

Es bleibt aber noch die Frage:

Hat ein Photon, welches mit Lichtgeschwindigkeit auftrifft,
immer die selbe Energie oder?

Wäre das nun z.B. ein Energiequant und es würde zuvor abgebremst (es flog z.B. durch Glas),
so kann es ja keinen halben oder dreiviertel Quant haben(?).

Oder kommen wir nun da an, wo der Wellen-Teilchen-Dualismus ins Spiel kommt?

 

[Bernhard]

Hat ein Photon, welches mit Lichtgeschwindigkeit auftrifft,
immer die selbe Energie oder?

Nein. Die Energie eines Photons hängt von seiner Frequenz ab. UV-Licht ist beispielsweise energiereicher als Infrarotlicht. Allgemein gilt E_Photon = h * vue, die berühmte plancksche Formel.

Oder kommen wir nun da an, wo der Wellen-Teilchen-Dualismus ins Spiel kommt?

Genau.

 

[Dgoe]

Ist die Ruhemasse m_0= 0, bleibt nur noch
E² = (p*c)² oder E = |p|c
Dabei ist |p| der Betrag des Vektors p

Ist der Impuls p = 0, bleibt nur noch
E² = (m_0*c²)² oder E=m_0*c²
Das ist die Ruheenergie.

Hallo UMa,

wenn Impuls und Ruhemasse gleich Null sind, dann ist folglich auch die Ruheenergie gleich 0. Ja?

Und auf die Gefahr hin an ein Studium der Dinge verwiesen zu werden: Photonen ruhen doch nie, und was ist Ruhe überhaupt?

Und wie und wo findet sich die Frequenz dort ein?

Gruß,
Dgoe

 

[Herr Senf]

... Photonen ruhen doch nie, ...

und deshalb sollte man das Wort "Ruhemasse" auch nicht in den Mund nehmen, es stiftet Verwirrung.
Masse ist eine Invariante (ruhig oder bewegt) wie Ladung und kann 0 sein, wie bei Photonen und Gravitonen.

 

[Bernhard]

Und wie und wo findet sich die Frequenz dort ein?

Das hängt davon ab, was man sich unter "Photonen" genau vorstellt. Oftmals meint man damit ja schlicht ein em-Strahlungsfeld mit bestimmter Wellenlänge und Frequenz. Saust dieses Strahlungsfeld dann auch noch durch das Vakuum gibt es keine Dispersion - LQG außen vor. So ein Strahlungsfeld kann man dann mit der Funktion
\[
\vec{E} = \vec{A}_0 e^{(i\vec{k}\vec{x}-\omega t)}
\]
im IR^4 beschreiben.

Dabei gilt:
k = 2*Pi/lambda
omega=2*pi*vue
c = lambda * nue

 

[Dgoe]

c = lambda * nue

ich seh da kein c, aber wenn es das nur wäre...

 

[Herr Senf]

aufsetzen c= ...