Lagrange‐Formulierung und Übergang zum Hamilton-Formalismus

Bernhard · 10. Juni 2025

Bernhard schrieb:
Eventuell sollte die Lösung der DGL noch etwas genauer diskutiert oder vorgestellt werden, insbesondere weil antaris auf diesem Gebiet noch recht unsicher ist.

@antaris: Ich möchte Dir auch die Gelegenheit geben, das selber zu lösen. Versuche die Lösung der DGL Schritt für Schritt zu finden. Bei Problemen damit kannst Du ja nachfragen.

Bernhard · 10. Juni 2025

TomS schrieb:
$png.image$

@antaris: Ich gebe noch einen Tipp zur Formulierung der Lösung, die ich so für nicht ganz optimal halte, wie bereits oben erwähnt. Wie wäre es mit:

$svg.image$

Ist das auch eine Lösung der DGL (Ja ...) ? Zeige, dass das eine Lösung ist. Welche Vorteile bietet diese Darstellung oder ist Toms Vorschlag/"Schnellschuss" besser?

antaris · 10. Juni 2025

Ja gerne aber erst will ich das angefangene Thema - Hamiltonian Fadenpendel - zum Ende bringen.
Wenn ich es schaffe, dann mache ich das heute Abend. Ich muss auch sehen, dass ich neben Arbeit und schlafen nicht nur Zeit im Forum verbringe, da sonst meine Familie meckert. Die meckern nicht, wenn ich mich Abends damit beschäftige aber da muss ich gegen meine Müdigkeit kämpfen.

Ich will den "roten Faden" auch nicht verlieren und darum eins nach dem anderen.

Bernhard · 10. Juni 2025

antaris schrieb:
Ja gerne aber erst will ich das angefangene Thema - Hamiltonian Fadenpendel - zum Ende bringen.

Gut und ganz ohne Zeitdruck. An einfachen Beispielen lernt man es am besten.

EDIT: Interessant ist dabei vor allem der Rechenweg und wie er erklärt werden kann. Das Ergebnis ist ja bekannt.

antaris · 10. Juni 2025

Bernhard schrieb:
Gut und ganz ohne Zeitdruck. An einfachen Beispielen lernt man es am besten.

Ja ich denke auch. So kann danach sicher besser auf höherer Abstraktionsebene weiter diskutiert werden und ich habe einen Leitfaden zum spicken, wenn es mal nötig ist

@TomS
Ich habe gerade gesehen, dass du einen Latex-Editor von https://latex.codecogs.com/ nutzt.
Die Editoren TinyMCE und CKeditor sind immer frei nutzbar? Ich hatte bisher den Editor vom Physikerboard genutzt aber der TinyMCE gefällt mir besser, da dort auch normaler Text formatiert werden kann. Einfach aus dem Editor hier reinkopieren funktioniert super und sieht auch etwas besser aus. Oder hast du den Latex-code in die URL geschrieben?

https://editor.codecogs.com/docs/3-Tiny_MCE_v6.php

$svg.image$

https://latex.codecogs.com/svg.image?test=\frac{1}{2}

TomS · 10. Juni 2025

Ich schreibe die Formeln in dem Editor, der generiert die Bilder, und auf die wird hier ein Link eingefügt.

Oder funktioniert das anders?

antaris · 10. Juni 2025

antaris schrieb:
$[latex]p_i = \frac{\partial}{\partial \dot \varphi^i} \tfrac12\,m\,l^2\dot\varphi^{\,2}=\tfrac12 ml^2\cdot 2\dot \varphi=ml^2\dot \varphi[/latex]$
(Potenzregel und vereinfachen -> Drehimpuls)

Also in #51 sind wir beim kanonisch konjugierten Impuls des Fadenpendel stehengeblieben.

In der Hamilton-Funktion

$H(\varphi,p_\varphi)\;=\;p_\varphi\,\dot\varphi\;-\;L(\varphi,\dot\varphi)$

wird mittels Legendre Transformation die Geschwindigkeit durch den kanonischen Impuls im linken Term ersetzt und davon die Lagrange-Funktion subtrahiert werden, sodass die Hamilton-Funktion dann vom kanonischen Impuls p und vom Ort q abhängt.

Dazu muss der verallgemeinerte Impuls

$p_\varphi=\frac{\partial L}{\partial\dot\varphi}=ml^2\dot\varphi$

nach der Geschwindigkeit

$\dot\varphi$

umgestellt

$\dot\varphi=\frac{p_\varphi}{ml^2}$

und alles in die Hamilton-Funktion eingesetzt werden.

$H=p_\varphi\,\dot\varphi-L=p_\varphi\cdot\frac{p_\varphi}{m\,l^2}-\Bigl(\tfrac12\,m\,l^2\,\dot\varphi^{\,2}-m\,g\,l\,(1-\cos\varphi)\Bigr)$

Wird

$\dot\varphi^2=(p_\varphi)^2/(m^2\,l^4)$

eingesetzt, so ergibt sich daraus H = T + V

$H(\varphi,p_\varphi)=\frac{p_\varphi^{\,2}}{m\,l^2}-\frac{1}{2}\,\frac{p_\varphi^{\,2}}{m\,l^2}+m\,g\,l\,(1-\cos\varphi)=\frac{p_\varphi^{\,2}}{2\,m\,l^2}+m\,g\,l\,(1-\cos\varphi)$

Die zeitliche Ableitung des kanonischen Drehimpulses ist, nicht wie bei Newton in kartesischen Koordinaten eine skalare Kraft, sondern in verallgemeinerten Koordinaten ein ebenso verallgemeinerter Kraftbegriff -> im Fall des Pendels das Drehmoment M?

Das Ziel ist es die zeitliche Entwicklung des Systems mit zwei Gleichungen 1. Ordnung, anstelle beim Lagrange-Formalismus mit einer Gleichung 2. Ordnung. Der Vorteil liegt darin, dass die zeitliche Entwicklung mit 2 Observablen beschrieben werden kann.

Das sind die beiden Gleichungen 1. Ordnung:

$H(q,p)\quad\longrightarrow\quad\begin{cases}\dot q\;=\;\partial H/\partial p=p_\varphi/ml^2\\\dot p\;=\;-\,\partial H/\partial q=-mgl\sin\varphi\end{cases}$

Die Zeitentwicklung

des verallgemeinerten Ort
$q(t)$
über die (Winkel-)Geschwindigkeit
$\dot q$
des kanonischen Impuls
$p(t)$
über das (Dreh-)Moment
$\dot p=M$

antaris · 10. Juni 2025

TomS schrieb:
Oder funktioniert das anders?

Ich markiere die gerenderte Gleichung und füge mit copy/paste strg+c und strg+v hier in den Editor ein. Den Bildlink kopieren und als Bild einfügen läuft ja auf das gleiche hinaus.

Der Editor hier macht aber automatisch die [IMG][/IMG] BBcodes beim einfügen von Webbildern-/grafiken.
Beim Physikerboard (ist wohl der Latex-Editor vom Matheboard) wird sogar der komplette alt-Wert vom Latex-Editor mit übernommen. Sollte die Grafik nicht angezeigt werden können, so wird die Gleichung dennoch als Latex-Code angezeigt:

$[latex]p_i = \frac{\partial}{\partial \dot \varphi^i} \tfrac12\,m\,l^2\dot\varphi^{\,2}=\tfrac12 ml^2\cdot 2\dot \varphi=ml^2\dot \varphi[/latex]$

[IMG alt="[latex]p_i = \frac{\partial}{\partial \dot \varphi^i} \tfrac12\,m\,l^2\dot\varphi^{\,2}=\tfrac12 ml^2\cdot 2\dot \varphi=ml^2\dot \varphi[/latex]"]http://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p_i = \frac{\partial}{\partial \dot \varphi^i} \tfrac12\,m\,l^2\dot\varphi^{\,2}=\tfrac12 ml^2\cdot 2\dot \varphi=ml^2\dot \varphi[/IMG]

Bei codecogs wird nur "Gleichung" übernommen aber das kann man da vielleicht einstellen.

Das gleiche funktioniert hier im Forum bzw. im Editor mit allen Webbildern. Markieren und dann copy/paste.

TomS · 10. Juni 2025

Wow, danke!

Bernhard · 10. Juni 2025

antaris schrieb:
$H(\varphi,p_\varphi)=\frac{p_\varphi^{\,2}}{m\,l^2}-\frac{1}{2}\,\frac{p_\varphi^{\,2}}{m\,l^2}+m\,g\,l\,(1-\cos\varphi)=\frac{p_\varphi^{\,2}}{2\,m\,l^2}+m\,g\,l\,(1-\cos\varphi)$

Prima. Das passt.

antaris schrieb:
Die zeitliche Ableitung des kanonischen Drehimpulses ist, nicht wie bei Newton in kartesischen Koordinaten eine skalare Kraft, sondern in verallgemeinerten Koordinaten ein ebenso verallgemeinerter Kraftbegriff -> im Fall des Pendels das Drehmoment M?

1) Die Ableitungen müssen nicht zwingend physikalisch gedeutet werden, weil man ja weiß, dass die Mathematik passt und sich damit alles immer und wieder auf Newton reduziert.
2) Der Begriff "kanonischer Drehimpuls" wird AFAIK so nicht verwendet. Es gibt da erstmal nur den kanonischen Impuls . Im vorliegenden Fall ist das tatsächlich der Drehimpuls des Pendels und zusammen mit dem Drehmoment bekommen die mathematischen Terme so eine physikalische Bedeutung. Ja.
3) So etwas wie eine skalare Kraft gibt es nicht. Eine Kraft hat ja physikalisch gesehen immer eine Richtung.

antaris schrieb:
Das sind die beiden Gleichungen 1. Ordnung:

$H(q,p)\quad\longrightarrow\quad\begin{cases}\dot q\;=\;\partial H/\partial p=p_\varphi/ml^2\\\dot p\;=\;-\,\partial H/\partial q=-mgl\sin\varphi\end{cases}$

Die Zeitentwicklung

des verallgemeinerten Ort
$q(t)$
über die (Winkel-)Geschwindigkeit
$\dot q$

des kanonischen Impuls
$p(t)$
über das (Dreh-)Moment
$\dot p=M$

Genau. Stimmt das mit der bereits oben abgeleiteten Bewegungsgleichung überein?

antaris · 10. Juni 2025

Bernhard schrieb:
1) Die Ableitungen müssen nicht zwingend physikalisch gedeutet werden, weil man ja weiß, dass die Mathematik passt und sich damit alles immer und wieder auf Newton reduziert.
2) Der Begriff "kanonischer Drehimpuls" wird AFAIK so nicht verwendet. Es gibt da erstmal nur den kanonischen Impuls . Im vorliegenden Fall ist das tatsächlich der Drehimpuls des Pendels und zusammen mit dem Drehmoment bekommen die mathematischen Terme so eine physikalische Bedeutung. Ja.
3) So etwas wie eine skalare Kraft gibt es nicht. Eine Kraft hat ja physikalisch gesehen immer eine Richtung.

Danke für die Hinweise/Korrekturen.

antaris schrieb:
$[latex]m\,l^2\,\ddot\varphi + m\,g\,l\,\sin\varphi = 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \ddot\varphi + \frac{g}{l}\,\sin\varphi = 0[/latex]$

Die 1. Gleichung für die Geschwndigkeit nach p umstellen

$[latex]\dot\varphi = \frac{p}{m\,l^2} \quad\Longrightarrow\quad p = m\,l^2\,\dot\varphi[/latex]$

Zeitableitung

$[latex]\frac{d}{dt}p \;=\; \frac{d}{dt}\bigl(m\,l^2\,\dot\varphi\bigr) = m\,l^2\,\ddot\varphi[/latex]$

umstellen nach der Beschleunigung, 2. Gleichung des Hamiltonian einsetzen und vereinfachen

$[latex]\ddot \varphi = \frac{\dot p}{ml^2} = \frac{-mgl\sin \varphi}{ml^2} = - \frac{g}{l}\sin \varphi [/latex]$

alles auf eine Seite bringen und siehe da

$[latex]\ddot \varphi+ \frac{g}{l}\sin \varphi =0[/latex]$

Bernhard · 10. Juni 2025

antaris schrieb:
alles auf eine Seite bringen und siehe da

Passt. Als nächstes wäre dann noch Toms DGL zum harmonischen Oszillator. Wie berechnet man die Lösung? Tipp: Trennung der Variablen.

antaris · 10. Juni 2025

Bernhard schrieb:
Passt. Als nächstes wäre dann noch Toms DGL zum harmonischen Oszillator. Wie berechnet man die Lösung? Tipp: Trennung der Variablen.

Nicht mehr heute

Bernhard · 10. Juni 2025

antaris schrieb:
Nicht mehr heute

Klar. Hast Dir eine Pause verdient

sekeri · 11. Juni 2025

antaris schrieb:
Integrieren und ableiten sind definitiv Dinge, die ich intensiv üben müsste. Da fehlt mir der Hintergrund, der im Abitur vermittelt wird. In der 10. Klasse war das bei mir kein Thema.

Meine Vermutung ist, dass man den dritten Term integrieren kann - es liegt ja eine Geschwindigkeit vor - und diese konstant ist, da die Geschwindigkeit konstant bleibt. Sprich einmal den Pendel angestoßen, so bleibt die Geschwindigkeit erhalten, da keine Rückstellkraft wirkt. Die Geschwindigkeit, die durch die Kraft des einmaligen anstoßen des Pendels erreicht wird, ist dann die Konstante?

So ungefähr:

$[latex]\dot{\varphi(t)} = const[/latex]$
(konstante Geschwindigkeit)

Ich kann nachher das Werkzeug fragen aber wie gesagt, um das zu können müsste ich wirklich üben.

Aber 0 ist doch unendlich? 0 ist doch singularität? Oder versteh ich das falsch? Lg t

sekeri · 11. Juni 2025

antaris schrieb:
Ja gerne aber erst will ich das angefangene Thema - Hamiltonian Fadenpendel - zum Ende bringen.
Wenn ich es schaffe, dann mache ich das heute Abend. Ich muss auch sehen, dass ich neben Arbeit und schlafen nicht nur Zeit im Forum verbringe, da sonst meine Familie meckert. Die meckern nicht, wenn ich mich Abends damit beschäftige aber da muss ich gegen meine Müdigkeit kämpfen.

Ich will den "roten Faden" auch nicht verlieren und darum eins nach dem anderen.

🫶

meine Familie kotzt auch richtig .jede secunde an dem Thema und noch schlimmer/ im Forum… bekomm ich tötende Blicke meiner Familie …
Ich kenn die lasst …
Mein Beileid 🫶

sekeri · 11. Juni 2025

antaris schrieb:
Ja ich denke auch. So kann danach sicher besser auf höherer Abstraktionsebene weiter diskutiert werden und ich habe einen Leitfaden zum spicken, wenn es mal nötig ist

@TomS
Ich habe gerade gesehen, dass du einen Latex-Editor von https://latex.codecogs.com/ nutzt.
Die Editoren TinyMCE und CKeditor sind immer frei nutzbar? Ich hatte bisher den Editor vom Physikerboard genutzt aber der TinyMCE gefällt mir besser, da dort auch normaler Text formatiert werden kann. Einfach aus dem Editor hier reinkopieren funktioniert super und sieht auch etwas besser aus. Oder hast du den Latex-code in die URL geschrieben?

https://editor.codecogs.com/docs/3-Tiny_MCE_v6.php

$svg.image$

https://latex.codecogs.com/svg.image?test=\frac{1}{2}

dafür bin ich zu dumm am Handy !!! Chapou
Jedi Tricks

sekeri · 11. Juni 2025

antaris schrieb:
Mich würde das schon auch mit Formeln interessieren.
Vielleicht nicht gleich etwas hochkomplexes, sondern mittels eines einfachen Beispiel, wie z.B. ein Pendel, wenn das Prinzip immer das gleiche ist?

Wir müssen aber ganz am Anfang starten.
Erstmal ein paar Variablen klären. Ich versuche es mit eigenen Worten aber Stück für Stück. Die Bilder sind pro Beitrag auch auf 20 Stück begrenzt.

verallgemeinerte Koordinaten (Anzahl der Freiheitsgrade), Parameter im Konfigurationsraum ->
$[latex]q = (q^1,\dots,q^s)\in Q[/latex]$
und
$[latex]i=1,\dots,s[/latex]$

$[latex]\dot q^i[/latex]$
Zeitableitung der verallgemeinerten Koordinaten ->
$[latex]\dot{q}(t) \;=\; \frac{\mathrm{d}q(t)}{\mathrm{d}t}[/latex]$

i Anzahl der Freiheitsgrade -> Dimension

Konfigurationsraum (vollständige Konfiguration aller möglichen Positionen des Pendels)

Bei einem einfachen Pendel gibt es nur einen Freiheitsgrad, den Winkel
$[latex]q^1 = \varphi[/latex]$
-> Winkelauslenkung relativ zur vertikalen Ruheposition

Mit dem Konfigurationsraum werden die Freiheitsgrade definiert. Anstelle x, y, z Koordinaten können exakt die Freiheitsgrade gewählt werden, die für das betrachtete System relevant sind -> wie eben z.B. einen Winkel beim Pendel.

Fragen:
Der Sinn dabei ist die Berechnungen so einfach wie möglich zu halten?
Letztlich ist das schon ein Hinweis darauf, dass die Wahl der Koordinaten frei sein muss, denn man könnte ja auch mit x, y, z Koordinaten arbeiten?

die Rechnung so einfach wie möglich? Entferne Unwahrscheinlichkeiten… erzeuge kausalität…
Degeneriere warscheinlichkeiten erzeugen Stabilität. Lg t
Ps schaue Videospiele unreal engin 5.6 witcher!
Simulation von Kausalität.
Die schrödinger Unwahrscheinlichkeit , war meiner Meinung nach, ein Fehler zum Zweck. Brilliant!!! Aber falsch. Wir sind 1 Universum und wir tun alles für das Beste diesen Universums. Lg t
P.s. Ich lese jetzt vor nächster Antwort hammilton! Wie Bernhard gefordert hat

sekeri · 11. Juni 2025

Hallo wehrte mit Streiter !
Ich hab Hamilton eingesehen … und bitte zu bedenken das Unwahrscheinlichkeiten nie zu warscheinlichkeiten führen. Ohne Tropfen kein geholter Stein!
Tensoren brauchen eine Grund Substanz! Wie unwichtig wir im Netzwerk System währen

. lg t
p.s. es gibt ihn freunde!

antaris · 11. Juni 2025

sekeri schrieb:
Oder versteh ich das falsch?

ja

Siehe @ralfkannenberg seine Erläuterung

ralfkannenberg schrieb:
Mehr allgemein formuliert ist die Ableitung einer Funktion, welche geeignete Eigenschaften haben muss, die wir an dieser Stelle stillschweigend als erfüllt annehmen wollen, ein Mass dafür, wie stark sich diese Funktion in jedem ihrer Punkte, auf dem sie definiert ist, verändert.

Wenn also diese Funktion sich in jedem ihrer Punkte um den Wert 0 ändert, so bedeutet das, dass sie sich überhaupt nicht ändert, und wenn sich eine Funktion nicht ändert, so heisst das, dass sie konstant ist.

Lagrange‐Formulierung und Übergang zum Hamilton-Formalismus

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