Kerr-Metrik

[Bernhard]

noch ein Hinweis bezüglich der beiden Felder für Multiplikation und Auswertung. Die Datei ein.txt muss immer mit einem Zeilenvorschub beendet werden, sonst wird u.U. Unsinn berechnet.

Nachtrag: Version 0.7 ist jetzt online. Vorher konnte man mit der exe nur die beiden Komponenten 00 und 01 berechnen . Jetzt kann man alle Komponenten testen. Über den Button "Kronecker" kann man auch die Multiplikation der ko- und kontravarianten Komponenten testen. Das soll als Ergebnis bekanntlich das Kroneckersymbol ergeben.

 

[Bernhard]

Nachtrag: Mit den Werten aus der Originalveröffentlichung passt übrigens alles (habe die uu und ur-Komponente des Ricci-Tensors auf Null getestet). Da in dem Paper von R. Kerr (nur) die kovarianten Komponenten der Metrik angegeben sind, besteht die einzige Schwierigkeit darin, die kontravarianten Komponenten zu berechen. Das ist zwar ein wenig aufwändiger als bei den Boyer-Lindquist-Koordinaten, aber man wird dann mit vergleichsweise simplen kontravarianten Komponenten belohnt. Nachdem mit der Originalmetrik die Mathematik in Ordnung ist, frage ich mich schon, was die Beschäftigung mit dieser krummen Metrik in BL-Koordinaten eigentlich bringen soll.
Gruß

Bernhard

 

[Bernhard]

Die nächste Version des Algebraprogramms steht in den Startlöchern. Meine Frage dazu ist noch die folgende: Die Originalveröffentlichung ist per Copyright geschützt. Trotzdem würde ich gerne die ko- und kontravarianten Komponenten, die in der Originalveröffentlichung angegeben werden mit der neuen Version freigeben. Kann ich mir damit größere Probleme einhandeln . Auch für die Wikipedia, denke ich, wäre die Verwendung/Veröffentlichung einer getesteten Metrik eine wichtige Verbesserung.
Gruß

Bernhard

 

[Bernhard]

In der englischen Wikipedia hat jemand die kontravarianten Komponenten der Kerr-Metrik in BL-Koordinaten angegeben. Es waren nur ein paar Vorzeichen falsch, da die kovarianten Komponenten mit der Signatur +---, wie in der Teilchenphysik üblich, aufgeschrieben sind. Mit dieser kompakten Form, die wesentlich übersichtlicher ist als die ausmultiplizierte Matrixinversion berechnet das Programm die tt-Komponente des Ricci-Tensors tatsächlich zu Null .

Damit ist das Thema eigentlich erledigt. Es verbleibt noch etwas Bugfixing, um zu erklären, warum das Programm nicht mit den Langformen der Metrik klarkommt. Eventuell sind es aber auch Eingabefehler. Bei der Menge an Formeln kann man das nicht ganz aussschließen .

Besonderen Dank noch an Frosch411, Micha und Ich. Die grafische Oberfläche macht das Arbeiten mit dem Programm wesentlich komfortabler. Wenn ihr wollt, baue ich eine Danksagung an euch in das Info-Fenster.
Gruß

Bernhard

 

[Bernhard]

Hi all,

zur "Ehrenrettung" der Herren Boyer und Lindquist möchte ich noch kurz sagen, dass jetzt vorerst alle Fehler aus dem Programm entfernt wurden. Der Ricci-Tensor der Kerr-Metrik wird mit der neuesten Version 1.6 (klick mich, ich bin ein Link) in etlichen verschiedenen Darstellungen mit Null ausgerechnet. Die neueste Version geht mit den Rechnerressourcen auch wesentlich sparsamer um. So wird deutlich weniger Hauptspeicher benötigt und die Rechnungen laufen jetzt auch einige Male schneller . Dabei haben sich einige Funktionen (insbesondere die Multiplikation) von Version 1.0 auf 1.6 sehr stark geändert. Die Kritikpunkte von Micha habe ich auch berücksichtigt.

Ich fände es sehr interessant die exe jetzt mit noch komplizierteren Metriken zu füttern, bzw. auch mal Situationen zu berechnen, die nicht nur Vakuumlösungen beschreiben. In einem Nachbarthread gab es dazu bereits eine Anregung. Über zusätzliche Erfahrungsberichte von euch mit der Software freue ich mich jederzeit. Viel Vergnügen also beim Ausprobieren...

 

[Bernhard]

Hallo zusammen,

ich möchte hier noch gerne mein neuestes Mini-Projekt zur Kerr-Metrik vorstellen: An verschiedenen Stellen wird ja behauptet, dass die Singularität der Kerr-Metrik nicht punktförmig bei r=0, wie bei der Schwarzschildmetrik, liegt, sondern ringförmig sein soll. Da interessiert es natürlich, z.B. welchen Radius die Singularität hat.

Und natürlich kommt jetzt wieder das Algebraprogramm in´s Spiel, denn mit Papier und Bleistift bereitet so etwas wie so oft keine Freude. Die Aufgabe besteht also jetzt darin die 20 unabhängigen Komponenten des Riemann-Tensors anzusehen und darin nach mathematischen Polstellen zu suchen.

Mein erstes Ergebnis dazu sieht in der Wikipedia-Notation wie folgt aus:

R_0101 = (2*r^2 - 3/2*rho^2) * Lambda ^2 * r * r_s * sin(Theta)^2 * rho^-6

Wird der Kerr-Parameter auf Null gesetzt, geht dieser Term in den korrekten Ausdruck für die R_0101-Komponente der Schwarzschildmetrik über.

Da rho=r^2+a^2*cos(Theta)^2 ist diese Komponente bei Verwendung der Kerr-Metrik nicht singulär, wenn man von dem wenig interessanten Fall r=0 und Theta=pi/2 absieht einmal absieht. Deshalb muss man sich wohl oder übel auch noch die anderen Komponenten ansehen. Leider ist das alles sehr viel Mathematik, was so manchen Leser vermutlich abschrecken wird, aber dennoch finde ich es sehr interessant, was man mit einer geeigneten Software heutzutage so alles machen kann.

 

[Bernhard]

R_0101 = (2*r^2 - 3/2*rho^2) * Lambda ^2 * r * r_s * sin(Theta)^2 * rho^-6

Nachtrag:

R_0101 bedeutet hier eigentlich R_{ct,Phi,ct,Phi}. Index 0 steht also für x^0 als zeitartige Koordinate. Index 1 bezeichnet Phi (s. Kugelkoordinaten).

Diese Komponente des Riemann-Tensors ist am einfachsten zu berechnen, weil hier die Tangentialvektoren beider Koordinatenlinien zugleich auch Killingvektoren sind.

 

[ODIN³]

Sehr geehrter Bernhard,

bitte entschuldigen Sie vielmals die Störrung, mich aber würde brennend interessieren was ...genau.. Sie hier mathematisch behandeln.

Geht es eventuell nur um Software-Anwendungen bzgl. Kerr-Metrik oder steckt in dem hier angestrebten richtigen Gebrauch der jenigen etwas neues auf das Sie hinaus wollen?
Bitte nicht in Gleichungen, sondern nur ein sehr kurzer plastischer umriss
Ihres Vorgehens, wenn möglich?

Herzlichen Gruss
O.

Anbei hätte ich später noch eine Frage zu theoretischen Asymmetrien von Quantenfluktuationen aus dem QV bzgl. E-geladen Sl (Hawkingstrahlung)!
Ihre fachmänische Meinung wäre sicher zuträglich, bevor ich eine Theo zu `explodierenden SL` im Versuch formuliere.

Sollten Sie keine Zeit für sowas haben, kein Problem.
Gruss

 

[Bernhard]

Sehr geehrter Bernhard,

bitte entschuldigen Sie vielmals die Störrung, mich aber würde brennend interessieren was ...genau.. Sie hier mathematisch behandeln.

Sehr geehrter ODIN³,

erst einmal vielen Dank für Ihr Interesse an diesem Thema.

Geht es eventuell nur um Software-Anwendungen bzgl. Kerr-Metrik oder steckt in dem hier angestrebten richtigen Gebrauch der jenigen etwas neues auf das Sie hinaus wollen?
Bitte nicht in Gleichungen, sondern nur ein sehr kurzer plastischer umriss
Ihres Vorgehens, wenn möglich?

es geht mir momentan um mathematische Polstellen im Riemann-Tensor der Kerr-Metrik. Zur Berechnung dieser Polstellen verwende ich aktuell eine modifizierte Version der zitierten Freeware MyAlgebra1.7_de (www.sourceforge.net). Leider ist es trotz Software ziemlich kompliziert die Komponenten des Riemanntensors für diesen Fall zu untersuchen.

Ursache für diese Art Übungsaufgabe sind Hinweise aus der Literatur (Misner, Thorne, Wheeler "Gravitaion") über die Form der Raumzeit-Singularität der Kerr-Metrik. Um Mißverständnisse vorweg gleich zu umgehen: Es geht dabei nicht um die relativ trivialen Koordinatensingularitäten, sondern - wie gesagt - um die Stellen, wo die Krümmung der Raumzeit gegen Unendlich geht. Da die Krümmung der Raumzeit mit Hilfe des Riemann-Tensors beschrieben werden kann, sollte also eine mathematische Untersuchung der verschiedenen Komponenten etwas über die Physik der Kerr-Metrik aussagen.

 

[ODIN³]

Sehr geehrter ODIN³,

erst einmal vielen Dank für Ihr Interesse an diesem Thema.



es geht mir momentan um mathematische Polstellen im Riemann-Tensor der Kerr-Metrik. Zur Berechnung dieser Polstellen verwende ich aktuell eine modifizierte Version der zitierten Freeware MyAlgebra1.7_de (www.sourceforge.net). Leider ist es trotz Software ziemlich kompliziert die Komponenten des Riemanntensors für diesen Fall zu untersuchen.

Ursache für diese Art Übungsaufgabe sind Hinweise aus der Literatur (Misner, Thorne, Wheeler "Gravitaion") über die Form der Raumzeit-Singularität der Kerr-Metrik. Um Mißverständnisse vorweg gleich zu umgehen: Es geht dabei nicht um die relativ trivialen Koordinatensingularitäten, sondern - wie gesagt - um die Stellen, wo die Krümmung der Raumzeit gegen Unendlich geht. Da die Krümmung der Raumzeit mit Hilfe des Riemann-Tensors beschrieben werden kann, sollte also eine mathematische Untersuchung der verschiedenen Komponenten etwas über die Physik der Kerr-Metrik aussagen.

Sehr geehrter Bernhard,

ehrlich gesagt klingt das alles höchst interessant, obwohl ´Interesse´ es nicht trift, eher Freude, würde ich sagen.
Werde sehr gern mal versuchen näher anzuschauen was da alles involviert ist und mich mit so wenig Fragen, wie möglich, wieder melden.

Herzlichen Dank
MfG

 

[ODIN³]

Sehr geehrter Bernhard,

aus diversen gründen war es mir, trotz einbezug nächtlicher stunden noch nicht möglich intensiv genug ins thema vorzudringen. Auch diese woche, muss wichtiges, leider wieder, unwichtig weltlichem weichen. Traurig, wie so oft.

Ich hoffe zumindest das Sie Ihrem ziel näher kamen!?

Würde mich freuen, hier schon bald wieder, etwas Ihres energetischen Geistes verspüren zu dürfen.

MfG
odin

 

[Bernhard]

Würde mich freuen, hier schon bald wieder, etwas Ihres energetischen Geistes verspüren zu dürfen.

Sehr geehrter ODIN³,

der Geist weht eben, wo er will. Gerade deswegen auch eine tiefe Verbeugung an Sie und ein herzliches Dankeschön für das "dicke" Lob .

Nun zum Thema: Eigentlich entwickelt sich das Projekt doch etwas anders als erwartet. Momentan bin ich nämlich eher am Überlegen, ob ich das Programm nicht so weit modifizieren sollte, dass man zusätzlich auch höherdimensionale Riemann-Tensoren mit n=5 (Kaluza-Klein-Theorien) oder n=6 (Heimsche Gravitationstheorie) berechnen kann. Die Feldgleichungen der ursprünglichen Kaluza-Klein-Theorie sind aktuell zudem über die Dissertation (Link) von S. Hossenfelder verfügbar und man könnte versuchen die Feldgleichungen mit den veröffentlichten Algebrafunktionen nachzurechnen. Die Autorin hat das laut Text mit Maple V gemacht.

Laut MTW (Misner, Thorne, Wheeler) ist alleine die Definition von echten Raumzeitsingularitäten schon ein kleines Studiengebiet für sich. Ich müsste mich dazu auch erst einlesen, kann aber aktuell die dazu nötige Motivation und Zeit auch nicht aufbringen. Falls Sie sich für solche Raumzeitsingularitäten interessieren wünsche ich viel Erfolg mit diesem Thema, das gerade auch von einem mathematischen Standpunkt her schon sehr anspruchsvoll ist.
Freundliche Grüße

Bernhard

 

[ODIN³]

Sehr geehrter Bernhard,

herzlichen dank für die weiteren Querverweise und Motivationen.
Wir hören sehr bald wieder von einander und ich hoffe das es dann an Plastizität (auch neuronaler) nicht mangeln wird.

H. und mit freundlichen Grüssen
o

 

[Bernhard]

Hallo ODIN³,

ich sage es eigentlich nur ungern, aber bitte überschätzen Sie meine wissenschaftlichen Fähigkeiten nicht (so viel Ehrlichkeit gestehe ich mir mittlerweile einfach zu). Die Entwicklung des Algebrasystems zusammen mit den Teilnehmern dieses Forums zeigt vermutlich recht genau mein (aktuelles (?)) Limit. Natürlich kann die Software jetzt beliebig analysiert und "mißbraucht" werden, solange es keine Angriffe auf sourceforge.net miteinschließt. Für mich ist es momentan auch wichtig das Erreichte zu behalten, als neue Projekte anzugehen.

Weitere Ideen zur Kerr-Metrik können natürlich auch noch unabhängig von dem Algebrasystem diskutiert werden und vielleicht steigen dann auch wieder weitere Teilnehmer in die Diskussion mit ein, was ich sehr begrüßen würde.
Freundliche Grüße

Bernhard