Kerr-Metrik

[Bernhard]

Hallo allerseits. Als neuer Autor in diesem Forum möchte ich mich erst mal nicht vorstellen und die Anonymität des Netzes hier einmal ganz "schamlos" ausnutzen. Als Trostpflaster für die Leser habe ich jedoch eine Frage, die den ein oder anderen vielleicht interessieren könnte:

Vor einigen Monaten habe ich als "Computerliebhaber" damit begonnen ein privates Computeralgebrasystem zu programmieren. Der Anfang war recht leicht: Grundfunktionen für die Verknüpfungen Plus, Minus und Mal. Anschließend kam die Ableitung mit den Regeln wie Produktregel usw. Potenzen gingen auch noch ganz gut und so kam die Quotientenregel auch noch mit in das System. So weit so gut. Da ich mich auch für relativistische Astrophysik interessiere, habe ich das Programm einmal auf die Berechnung des Ricci-Tensors der Schwarzschildmetrik losgelassen und siehe da: Alle Komponenten ergeben Null, so wie das auch zu erwarten ist.... Da alles so gut funktionierte, habe ich natürlich gleich etwas schwerere "Kaliber" ausgegraben und das Programm auf die Kerr-Metrik losgelassen. Komischerweise ergeben dort einige Komponenten des Ricci-Tensors nicht Null. Setze ich die Variable für den Drehimpuls des schwarzen Loches auf Null, verschwinden wieder alle Komponenten. Das Studium der Originalveröffentlichung half mir nicht wirklich weiter, da dort ziemlich viele Querverweise auf für mich unbekannte Verfahren verwendet werden. Nun würde mich mal interessieren, ob es hierzu Erfahrungswerte gibt. Eine Lizenz für Mathematika oder Maple ist mir zu teuer. Auf der anderen Seite müsste doch ein stures Ausrechnen alle Komponenten des Ricci-Tensors verschwinden lassen....

Wer den Quelltext zu dem Programm einsehen will, kann mich gerne per eMail anschreiben. Es ist ein Projekt für MS-Visual C++ 6.0. Die Eingaben müssen direkt im Quelltext vorgenommen werden. Das Programm besitzt praktisch keinen Komfort, dafür ist es aber kostenfrei zu haben.


Vielen Dank im voraus für Eure Antworten.

 

[Orbit]

Bernie4321
Willkommen im Forum!

und das Programm auf die Kerr-Metrik losgelassen. Komischerweise ergeben dort einige Komponenten des Ricci-Tensors nicht Null. Setze ich die Variable für den Drehimpuls des schwarzen Loches auf Null, verschwinden wieder alle Komponenten.

Mir scheint, dass Dein Programm exakt den Unterschied zwischen Schwarzschild- und Kerr-Metrik ausspuckt. ;-)

http://de.wikipedia.org/wiki/Kerr-Metrik

M ist die Masse des felderzeugenden Körpers. Der Parameter a wird auch Kerrparameter genannt. Dieser ist proportional zum Drehimpuls J der rotierenden Masse. Ist der Kerrparameter positiv, so führt der Körper der Masse M eine prograde Rotation aus. Im Fall eines negativen Kerrparameters ist die Rotation retrograd. Verschwindet der Kerrparameter, so ergibt sich als Grenzfall wieder die Schwarzschild-Metrik.

Ich habe den Eindruck, dass Dein Programm besser nicht funktionieren könnte.

Gruss Orbit

 

[Bernhard]

Hallo Orbit,

besten Dank für das Lob. Bedenke aber, dass die Kerr-Metrik zu den Vakuumlösungen der Einsteinschen Feldgleichungen gehört. Damit sollten eigentlich alle Komponenten des Ricci-Tensors gleich Null sein. Die wikipedia-Seite habe ich übrigens selbst von Fehlern befreit. Die Metrik dort sollte jetzt identisch mit den Angaben aus der schwarzen "Standardschwarte" von Misner et al, "Gravitation" sein.
Gruß

Bernie

 

[Bernhard]

Habe doch noch einen Fehler im Programm gefunden. Die Fehlerbehebung ist bei diesem System leider recht mühsam...

 

[Bernhard]

So, den Fehler konnte ich beheben. Allerdings zeigen die neuen Rechnungen, dass zumindest die zwei Komponenten R_{rr} und R_{\theta \phi} nicht Null sind. Wird der Kerrparameter gleich Null gesetzt werden beide Komponenten auch Null. Kann es sein, dass die Metrik in dem "Buch" von Misner falsch zitiert wird? In dem Originalpaper von R. Kerr von 1963 wird nämlich auch eine deutlich andere Metrik erwähnt...

 

[Orbit]

Bernie
Hoffentlich meldet sich noch jemand; denn ich kann da nicht mithalten, sorry. Die Schwarzschildmetrik habe ich einigermassen verstanden, von der Kerr-Metrik mir aber lediglich ein paar Dinge aus populärwissenschaftlichen Texten angelesen. Ich habe bei meiner ersten Antwort denn auch eher intuitiv reagiert, als ich fand, Dein Programm könnte passen.
Viel Glück!
Orbit

 

[Ich]

Sorry, hab' den Thread erst jetzt entdeckt. Ich kann aber auch nicht viel dazu beitragen, weil ich selber kein vernünftiges Algebraprogramm habe und ganz mit Sicherheit die Sache nicht von Hand rechnen werde.
Aber wenn du nichtverschwindende Komponenten hast, ist entweder die Metrik falsch abgeschrieben oder dein Programm tut nicht so wie's soll. Soweit warst du wohl auch schon. Die Metrik scheint mir in Ordnung, und wenn sie so in MTW steht stimmt sie per definitionem. Bleibt noch das Programm.

 

[Bernhard]

Hallo Ich,

gibt es Literatur zur Erklärung von Tetraden und deren Einsatz in der allgemeinen Relativitätstheorie? In dem Buch von H. Stephani "Exact Solutions of Einstein's Field Equations" werden sie verwendet. Um die Rechnungen dort zu verstehen, müsste man allerdings erst mal die grundlegenden Definitionen kennen.

 

[Bernhard]

Ich habe gerade gesehen, dass in der englischen Wikipedia einiges dazu steht und werde wohl in dieser Richtung weitersuchen.

 

[Bernhard]

Die Metrik scheint mir in Ordnung, und wenn sie so in MTW steht stimmt sie per definitionem.

Na das ist aber kein besonders tiefsinniges Argument

Für mich bleibt die Sache weiterhin spannend, da sich bei allen (2 nicht triviale) bisher getesteten Komponenten der Christoffelsymbole im Vergleich zu http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/gravitation/node86.html#appkerr noch keine Differenzen ergeben haben. Bitte entschuldigt den Staub, den ich mit dieser Sache hochwirble aber mir ist zur Zeit entsetzlich langweilig und da kommt man eben leicht auf so wirre Ideen. Nichts für ungut....

 

[Ich]

Na das ist aber kein besonders tiefsinniges Argument

Doch, weil das Buch a) die Bibel für entsprechende Forschungen und b) seit 30 Jahren auf dem Markt ist.
Da hat schon jeder reingeschaut und nach Fehlern gesucht.

Die Metrik scheint mir in Ordnung

Ich hab zwei zufällige, vertrauenswürdige Quellen im Internet verglichen (war gar nicht so einfach, die hatten unterschiedliche Definitionen) und die Metrik als gleich befunden. Zusammen mit MTW denke ich, dass der Fehler nicht in der Metrik, sondern bei deinem Programm liegt.

Zu deinen Vierbeinen hab ich auf die Schnelle nichts sinnvolles gefunden, musst du selber suchen.

 

[Bernhard]

Mir ist noch eingefallen, dass das Programm natürlich auch auf Linux mit gcc et.al läuft. Es hat (noch) keine grafische Benutzeroberfläche, beherscht aber recht gut die Grundrechenarten und partielle Ableitungen. Der ultimative Prüfstein ist wie gesagt aktuell die Kerr-Metrik um letzte Fehler zu beheben.

Wenn sich daraus ein Open-Source-Projekt entwickeln sollte, umso besser. Bei den Preisen von Mathematica et.al ist das - denke ich - moralisch durchaus vertretbar. In der Hoffnung den Rahmen des Forums damit nicht zu sprengen noch mal der Aufruf an alle C++ Fans: Wer mitentwickeln will und an Astronomie Interesse hat, soll sich einfach per eMail melden. Es entstehen daraus keine versteckten Verpflichtungen. Das Experimentieren mit den bereits geschriebenen Funktionen macht jede Menge Spaß und eröffnet einige neue Möglichkeiten. Korrespondenzsprache vorzugsweise Deutsch und Englisch.

 

[Bernhard]

Hallo zusammen,

nun ist ja einige Zeit ins Land gegangen und da bietet es sich eigentlich an das Thema noch mal aufzugreifen. Zum Tetradenformalismus kann man sagen, dass es sich dabei "nur" um mathematische Methoden handelt, um die ursprünglichen Begriffe der ART noch weiter und genauer zu analysieren.

Was mich dagegen schon stört, ist die Tatsache, dass in der Originalveröffentlichung eine deutlich anders gebaute Metrik genannt wird, als im MTW (s.o.). Warum wird im MTW nicht die zugehörige Koordinatentransformation angegeben. Nachträglich läßt sich so etwas nämlich nur sehr schwer rekonstruieren . Das Ganze wäre leichter erträglich wenn, die Kerr-Metrik in der Form von MTW nicht immer wieder verwendet werden würde (Gravity Probe B (?), Satellitennavigation (?), weitere Literatur usw.).

Im Nachbarthread wurde von Orbit(?) Quelltext veröffentlicht. Ich finde das sehr mutig. Großes Lob meinerseits. Meiner Meinung nach wirklich eine Bereicherung und interessant zu lesen (Simulationen zu Rotationskurven/Radialgeschwindigkeiten in Spiralgalaxien). Leider bringt das bei meinem Algebrasystem nichts, da es rund 80 kB reiner Text über mehrere Dateien sind und das möchte ich den Lesern hier ersparen. Ich werde also an der Dokumentation des Programms noch weiter arbeiten und mir dann sourceforge.net etwas genauer ansehen. Der Trick, den ich immer wieder verwendet habe liegt in der Annahme, dass mathematische Operationen nichts anderes darstellen als abstrakte Textverarbeitung und das beherrschen aktuell ziemlich viele Programmier- und Scriptsprachen. Da ziemlich viel Speicher benötigt wird, ist C++ die erste Wahl. Damit kommt man dann bei der Programmierung sehr schnell voran. Letztlich ist es dann ziemlich überraschend, was sich dann mit einem (simplen) PC so alles anstellen läßt.

Zur Info: Im Falle der Kerr-Metrik entstehen dabei zwischenzeitlich schon mal Terme mit ein paar Millionen Zeichen, die dann aber wieder vereinfacht werden können. Man benötigt also mindestens einen 256 oder besser 512 MB-"Rigel" als RAM. Für ein Nachrechnen auf Papier echt ein Albtraum

 

[Bernhard]

So, den Code (C++ für UNIX/Linux) gibt es jetzt als Download bei http://sourceforge.net/search/?type_of_search=soft&type_of_search=soft&words=Ricci. Wer sich also mit Computeralgebrasystemen beschäftigen will, kann es sich gerne ansehen.

Wie üblich gilt dabei: Keine Garantie auf Fehlerfreiheit und alles auf eigenes Risiko.

 

[Bernhard]

Doch, weil das Buch a) die Bibel für entsprechende Forschungen und b) seit 30 Jahren auf dem Markt ist.
Da hat schon jeder reingeschaut und nach Fehlern gesucht.

Ich hab zwei zufällige, vertrauenswürdige Quellen im Internet verglichen (war gar nicht so einfach, die hatten unterschiedliche Definitionen) und die Metrik als gleich befunden. Zusammen mit MTW denke ich, dass der Fehler nicht in der Metrik, sondern bei deinem Programm liegt.

Zu deinen Vierbeinen hab ich auf die Schnelle nichts sinnvolles gefunden, musst du selber suchen.

Hallo Ich,

ja Du hast recht. Es haben sich wieder neue Fehler im Programm gezeigt. Vielen Dank also für die Mühe und auch meinen Dank an alle, die sich das Programm angesehen haben. Insgesamt zeigt sich, dass das Nachrechnen der verschiedenen Metriken eine ziemlich anspruchsvolle Sache ist.

 

[Bernhard]

PS: Fehler im Programm

Die weiteren Tests zeigen, dass ich nur die bestehenden Funktionen falsch eingesetzt/kombiniert habe. In den Quellen, die über sourceforge.net erhältlich sind habe ich keine weiteren Fehler gefunden.

 

[Bernhard]

Die Einladung zum Experimentieren mit dem aktuellen Algebrasystem ist wieder offen. Hier nochmal das Problem: Wenn ich den Ricci-Tensor der Kerr-Metrik in Boyer-Lindquist-Koordinaten berechne, entstehen Terme, die mit dem Kerr-Parameter verschwinden! Woran liegts??

 

[Ich]

Gibt's das Programm auch für Window-DAUs?

 

[Bernhard]

Gibt's das Programm auch für Window-DAUs?

In der aktuellen Version geht es (leider) nicht ohne einen C++-Compiler. Ein möglicher Einstiegspunkt wäre http://www.cygwin.com/ oder http://www.mingw.org/. Mit Hilfe des Internets könntest Du es probieren einen der beiden kostenlosen Compiler zu installieren. Der cygwin macht auf mich dabei einen etwas besseren Eindruck. Damit kann man dann die Quellen übersetzen und ausprobieren...

 

[Bernhard]

Gibt's das Programm auch für Window-DAUs?

eigentlich Nein. Ich habe mir gerade den cygwin installiert, aber das ist schon eine ziemlich harte Nuss für Einsteiger. Mit Visual Studio C++ 6.0 geht es recht komfortabel, aber das ist nicht mehr kostenlos zu haben. Außer ebay will ich dazu aktuell nicht mehr sagen .