Gravitative Zeitdilatation und Masse-Zentren

[Bernhard]

Hallo Struktron,

Und Feynman ist einer meiner Lieblingsphysiker.

das kann ich sehr gut nachvollziehen. Feynman ist gerade in der heutigen Zeit immer noch ein brauchbares und zugleich auch ziemlich herausforderndes Vorbild.

meine Idee für eine einfache diskrete Erweiterung der Standardphysik

Wie wäre es mit einem neuen Thema im Bereich GdM? Sollten die 30 Tage nicht ausreichen, kann man die Frist bei Bedarf ja verlängern.

Aber was meinst Du mit bis zu vier Differentationen?

Wenn man die Fallbeschleunigung an der Stelle r = r_E ausrechnen will, sind es eigentlich nur drei Differentiationen. Bei Fall a) hat man den Limes für r < r_E und den Limes für r > r_E. Dazu differenziert man beide Ergebnisse von a) und setzt dann r=r_E. Bei b) genügt eine Differentiation, weil man für r=r_E nur die zweite Formel differenzieren muss. Die Nahtstelle sitzt bei b) ja bei r = r_E/2. Als Fleißaufgabe kann man bei b) zeigen, dass die Ableitung bei r=r_E/2 auch stetig ist.

 

[Bernhard]

Wie würde das hier aufgenommen, wenn ich es geschrieben hätte?

Keine Ahnung. Vielleicht sollte man dazu aber noch schreiben, dass natürlich erst Potentialdifferenzen eine messbare Energie ergeben. Mir ging es erst mal um eine Klärung der Begriffe.

 

[Struktron]

Hallo Bernhard,

Wie wäre es mit einem neuen Thema im Bereich GdM? Sollten die 30 Tage nicht ausreichen, kann man die Frist bei Bedarf ja verlängern.

Momentan liegt wegen der Sommerverpflichtungen alles dazu auf Eis. Meine Homepage ist so veraltet, dass es noch wie gegen den Mainstream aussieht. Mittlerweile ist es das mMn nicht mehr. Aber nur die Hälfte ist geschrieben.

Wenn man die Fallbeschleunigung an der Stelle r = r_E ausrechnen will, sind es eigentlich nur drei Differentiationen. Bei Fall a) hat man den Limes für r < r_E und den Limes für r > r_E. Dazu differenziert man beide Ergebnisse von a) und setzt dann r=r_E. Bei b) genügt eine Differentiation, weil man für r=r_E nur die zweite Formel differenzieren muss. Die Nahtstelle sitzt bei b) ja bei r = r_E/2. Als Fleißaufgabe kann man bei b) zeigen, dass die Ableitung bei r=r_E/2 auch stetig ist.

Die Ableitungen habe ich, den numerischen Werten vertraue ich noch nicht. Jetzt haben wir hier zu viel zu tun, so dass dafür keine Priorität besteht. Im anderen Thread könnte ja jemand das versuchen.

MfG
Lothar W.

 

[Struktron]

Hallo miteinander,
"Ich"s Aufgabe vom 9.5.16 war:

Die Aufgabe ist jetzt: was, wenn die ganze Masse homogen im Bereich 0 bis r_e/2 verteilt wäre. Wie groß sind Potential und Fallbeschleunigung dann an der Oberfläche?

Wir haben also für das Potential einer homogenen Kugel eine zweiteilige Lösung (Lothars Gl. 12):
$$\quad \Phi_I(r)=\frac{GM_E}{2R}({r^2}/{R^2}-3) \quad \mbox{und} \quad \Phi_A(r)=-{GM_E}/r,$$
wobei R der Radius der homogen gefüllten Kugel ist. Das ist a) r_E für die normale, homogene Erde und b)r_E/2 für die inhomogene Erde, wo die gesamte Masse homogen im Erdkern bis r_E/2 verteilt sein soll. Damit haben wir die Potentiale
$$a)\quad \Phi_I(r)=\frac{GM_E}{2*r_E}({r^2}/{r_E^2}-3) \quad \mbox{und} \quad \Phi_A(r)=-{GM_E}/r,$$

Das ergibt die Fallbeschleunigungen g[SUB]i[/SUB] = G M[SUB]E[/SUB] r / r[SUB]E[/SUB][SUP]3[/SUP] und g[SUB]a[/SUB] = G M[SUB]E[/SUB] / r[SUP]2[/SUP] , beide ergeben bei r[SUB]E[/SUB] den bekannten Wert g.

$$b)\quad \Phi_I(r)=\frac{GM_E}{r_E}({4 r^2}/{r_E^2}-3) \quad \mbox{und} \quad \Phi_A(r)=-{GM_E}/r,$$

Das ergibt die Fallbeschleunigungen g[SUB]i[/SUB] = 8 G M[SUB]E[/SUB] r / r[SUB]E[/SUB][SUP]3[/SUP] und g[SUB]a[/SUB] = G M[SUB]E[/SUB] / r[SUP]2[/SUP] , beide ergeben bei r[SUB]E[/SUB]/2 den Wert 4 g.

Wir wollen die Zeitdilatation zwischen Erdmittelpunkt und -oberfläche haben, dafür brauchen wir der Potentialunterschied zwischen diesen beiden Orten. Die Erdoberfläche ist die äußere Lösung und ergibt in beiden Fällen -GM/r_E. Am Erdmittelpunt (r=0) hat man bei a) -1,5 GM/r_E bzw. b) -3 GM/r_E. Der Unterschied ist also bei a) 0,5 GM/r_E und bei b) 2 GM/r_E. Wir haben im zweiten Fall also viermal mehr Potentialunterschied und damit auch Zeitdilatation.
Diesen Unterschied hat SRMeister berechet, indem er die Unterschiede von r=0 bis r=r_E/2 und von r=r_E/2 bis r_E ausgerechnet und addiert hat.

Der Faktor 4 stimmt für das Potential und die Zeitdilatation. Frage ist aber, ob die Summe das Potential an der gedachten (alten) Erdoberfläche ist?

Wenn man (was für die Aufgabenstelluing sinnvoll wäre) den Erdmittelpunkt als Potentialnullpunkt wählt und nicht die Unendlichkeit, dann muss man zu a) 1,5 GM/r_E dazu addieren und zu b) 3 GM/r_E. Das sieht dann so aus:
$$a)\quad \Phi_I(r)=\frac{GM_E}{2*r_E}({r^2}/{r_E^2}) \quad \mbox{und} \quad \Phi_A(r)=-{GM_E}/r+\frac{3GM_E}{2r_E}$$

Das ergibt ebenfalls die Fallbeschleunigungen g[SUB]i[/SUB] = G M[SUB]E[/SUB] r / r[SUB]E[/SUB][SUP]3[/SUP] und g[SUB]a[/SUB] = G M[SUB]E[/SUB] / r[SUP]2[/SUP] , beide ergeben bei r[SUB]E[/SUB] den bekannten Wert g. Die konstanten Faktoren fallen ja beim Ableiten weg.

$$b)\quad \Phi_I(r)=\frac{GM_E}{r_E}({4 r^2}/{r_E^2}) \quad \mbox{und} \quad \Phi_A(r)=-{GM_E}/r+\frac{3GM_E}{r_E}.$$

Das ergibt die Fallbeschleunigungen g[SUB]i[/SUB] = 8 G M[SUB]E[/SUB] r / r[SUB]E[/SUB][SUP]3[/SUP] und g[SUB]a[/SUB] = G M[SUB]E[/SUB] / r[SUP]2[/SUP] , beide ergeben bei r[SUB]E[/SUB]/2 den Wert 4 g.

Das Potential an der Oberfläche (das direkt die gesuchte Zeitdilatation anzeigt)

An welcher Oberfläche? An der des kompakten Körpers oder an der alten Erdoberfläche? Hier kommt auch die Frage von SRMeister zum Tragen: Was für ein Potential herrscht in der ursprünglichen Entfernung vom Erdmittelpunkt r[SUB]E[/SUB]?

ist dann für a) 0,5 GM/r_E und für b) 2 GM/r_E. Physikalisch macht das keinen Unterschied, weil in der Newtonschen Gravitation grundsätzlich nur Potentalunterschiede oder Gradienten (Ableitungen) des Potentials physikalische Bedeutung haben, nicht aber der Absolutwert.

Das zeigt sich ja durch die Rechnung. Aber ist die Summenbildung zulässig? Jetzt sind wir wieder bei meiner ursprünglichen Frage:
Gibt es irgend einen physikalischen Hinweis darauf, dass sich das Potential nach einem Kollaps in der ursprünglichen Entfernung vom Massezentrum ändert?

MfG
Lothar W.

 

[Bernhard]

Aber ist die Summenbildung zulässig?

Das wurde weiter oben doch schon mehrfach bestätigt? Das Potential beschreibt die potentielle Energie und Energien dürfen nunmal addiert werden. Man kennt das doch von der Stromrechnung. Wenn ich in einem Monat x kWh Strom verbrauche, muss ich den Betrag y bezahlen. Wenn ich im darauf folgenden Monat a*x kWh verbrauche, muss ich irgendwann entsprechend a*y Euros bezahlen, wobei a eine reelle Zahl größer oder gleich Null sein darf. Ganz einfach?

Erst wenn das geklärt ist können wir den Kollaps diskutieren und das am besten in einem neuen Thema.

 

[Struktron]

Das wurde weiter oben doch schon mehrfach bestätigt? Das Potential beschreibt die potentielle Energie und Energien dürfen nunmal addiert werden. Man kennt das doch von der Stromrechnung. Wenn ich in einem Monat x kWh Strom verbrauche, muss ich den Betrag y bezahlen. Wenn ich im darauf folgenden Monat a*x kWh verbrauche, muss ich irgendwann entsprechend a*y Euros bezahlen, wobei a eine reelle Zahl größer oder gleich Null sein darf. Ganz einfach?

Oberflächlich betrachtet einleuchtend. Von "Ich" wohl auch so interpretiert. Mathematisch ist aber auch zu bedenken, dass ein Kollaps bis zu einem Schrumpfen auf den Ereignishorizont Ergebnisse liefert. Wird dabei eine Potentialzunahme beobachtet? Falls ja: ok. Falls nein: Eine Beschränkung auf den kompakten Körper und dessen Beschreibung mit (14) liefert ebenfalls ein akzeptables Ergebnis mit einer fast gleichen Zeitdilatation darin.
Das Problem der Bestimmung der Fallbeschleunigung mit dem Gesamtpotential an der ursprünglichen Oberfläche bzw. bei r[SUB]E[/SUB] (bzw. noch allgemeiner R) tritt nicht auf. Es gibt nur die Fallbeschleunigung mit der Formel, welche von der Fallunterscheidung ausgeht, also (14).

MfG
Lothar W.

 

[Bernhard]

Oberflächlich betrachtet einleuchtend. Von "Ich" wohl auch so interpretiert.

Auf der einen Seite aktzeptierst Du die Wegunabhängigkeit des Wegintegrals im newtonschen Gravitationsfeld. Auf der anderen Seite hast Du Probleme, dass man die dabei verwendeten Wege addiert. Das ist schon sehr schwer nachvollziehbar und wirkt irgendwie ziemlich unlogisch. Es drängt sich der Verdacht auf, dass Du auch am Energiesatz zweifeln könntest, der von allen bestehenden physikalischen Theorien erfüllt wird?

 

[Struktron]

Hallo Bernhard,

Auf der einen Seite aktzeptierst Du die Wegunabhängigkeit des Wegintegrals im newtonschen Gravitationsfeld. Auf der anderen Seite hast Du Probleme, dass man die dabei verwendeten Wege addiert.

Gerade um den Weg vom neuen kompakten Körper bis zur alten Oberfläche geht es.

... Es drängt sich der Verdacht auf, dass Du auch am Energiesatz zweifeln könntest, der von allen bestehenden physikalischen Theorien erfüllt wird?

Generelle Energie- und Impulserhaltung kann ich sehr einfach herleiten. Gerade durch deren Gültigkeit darf es bei r[SUB]E[/SUB] zu keinem Sprung kommen. Das ergibt sich mit (14), aber nicht mit dem unphysikalischen (13). Deshalb steckt die Fallunterscheidung auch in der Lösung von "Ich", ist nur nicht hingeschrieben. Die Probe ist einfach mit 0.99 r[SUB]E[/SUB]/2, r[SUB]E[/SUB]/2, 1.001 r[SUB]E[/SUB]/2, 3/4 r[SUB]E, .[/SUB].., 0.99 r[SUB]E[/SUB], r[SUB]E[/SUB], 1.001 r[SUB]E[/SUB].

MfG
Lothar W.

 

[Bernhard]

Gerade um den Weg vom neuen kompakten Körper bis zur alten Oberfläche geht es.

OK.

Um zu sehen, dass die Potentialdifferenz zwischen dem Koordinatenursprung (r=0) und der gedachten, aber festen "Erdoberfläche" (also r immer gleich r_E) von der vorgebbaren Dichte der "Erde", bzw. besser der Masse abhängt, muss man etwas rechnen, so wie es weiter oben ja auch aufgeschrieben wurde. Es wurde gezeigt, dass die Tiefe des Potentialtopfes für 0 <= r <= r_E von der Dichte der Masse abhängt. Je dichter die Masse mit der Masse M, desto tiefer der Potentialtopf. Die Form des Potentials für r > r_E bleibt davon aber unberührt.

OK?

 

[Struktron]

OK.

Um zu sehen, dass die Potentialdifferenz zwischen dem Koordinatenursprung (r=0) und der gedachten, aber festen "Erdoberfläche" (also r immer gleich r_E) von der vorgebbaren Dichte der "Erde", bzw. besser der Masse abhängt, muss man etwas rechnen, so wie es weiter oben ja auch aufgeschrieben wurde. Es wurde gezeigt, dass die Tiefe des Potentialtopfes für 0 <= r <= r_E von der Dichte der Masse abhängt. Je dichter die Masse mit der Masse M, desto tiefer der Potentialtopf. Die Form des Potentials für r > r_E bleibt davon aber unberührt.

OK?

Ok für die Zeitdilatation. Die Ableitung des Gesamtpotentials an der Oberfläche ergibt aber die Fallbeschleunigung. Und da gibt es außer hier in diesem Forum bisher keinen Hinweis, dass da etwas anderes gelten könnte.

MfG
Lothar W.

 

[Bernhard]

Und da gibt es außer hier in diesem Forum bisher keinen Hinweis, dass da etwas anderes gelten könnte.

Ich tippe da auf ein Mißverständnis deinerseits.

 

[Struktron]

Hallo Bernhard und alle anderen,

Ich tippe da auf ein Mißverständnis deinerseits.

Hoffentlich ist es so! "Ich" schrieb:

Das Potential an der Oberfläche (das direkt die gesuchte Zeitdilatation anzeigt)

Meine Frage dazu war:

An welcher Oberfläche? An der des kompakten Körpers oder an der alten Erdoberfläche? Hier kommt auch die Frage von SRMeister zum Tragen: Was für ein Potential herrscht in der ursprünglichen Entfernung vom Erdmittelpunkt r[SUB]E[/SUB]?

Wie wäre es mit einer konkreten Antwort?

MfG
Lothar W.

 

[Bernhard]

Wie wäre es mit einer konkreten Antwort?

Hallo Struktron,

"Ich" hat auf Seite 36 die Lösung für das gesuchte Potential angegeben. Die korrekte Fallbeschleunigung lässt sich daraus durch eine simple Differentiation nach r an jedem beliebigem Punkt, also für r >= 0, ableiten. Die so berechnete Fallbeschleunigung ist für r > r_E unabhängig von der Dichte der Masse, so wie Du es richtig vermutest.

Und um keine neuen Mißverständnisse aufkommen zu lassen: r_E ist im gesamten Thread (glücklicherweise) gleichzusetzen mit dem realen Erdradius, also ca. 12756 km geteilt durch 2.

 

[Struktron]

Hallo Bernhard, Du hast die Frage nicht verstanden.

"Ich" hat auf Seite 36 die Lösung für das gesuchte Potential angegeben. Die korrekte Fallbeschleunigung lässt sich daraus durch eine simple Differentiation nach r an jedem beliebigem Punkt, also für r >= 0, ableiten.

Nein, eben nicht. Für 3/4 r[SUB]E[/SUB] ist das Potential nicht angegeben. Die korrekte Ableitung (Herleitung) steht in Wikipedia und steckt in meinem (14), das Du selbst vorgeschlagen hast.

Die so berechnete Fallbeschleunigung ist für r > r_E unabhängig von der Dichte der Masse, so wie Du es richtig vermutest.

Und um keine neuen Mißverständnisse aufkommen zu lassen: r_E ist im gesamten Thread (glücklicherweise) gleichzusetzen mit dem realen Erdradius, also ca. 12756 km geteilt durch 2.

Das ist ein anderes Thema, was natürlich klar ist.
Ist es so schwer, zu begreifen, dass die (einfache) Addition des inneren Potentials zum Gesamtpotential im Extremfall (kompakter Körper mit Durchmesser, der dem Ereignishorizont vergleichbar ist) ein (fast) unendlich großes Potential ergeben würde? Übrigens bei jedem Abstand. Das ist physikalisch unsinnig, folgt aber aus "Ich"s Spezialfall mit r[SUB]E[/SUB]/2, bei dem er (bzw. SRMeister) ein vierfaches Potential erhält. Dieses würde (mit seiner Differentation) eine vierfache Fallbeschleunigung an der Erdoberfläche ergeben, nämlich g[SUB]innen[/SUB] plus etwas. Nur g[SUB]innen[/SUB] interessiert für die Zeitdilatation. Für die Summenbildung könnte man einen neuen Begriff verwenden, z.B. Potentialdifferenz für Zeitdilatation, aber auf keinen Fall ist das ein Gesamtpotential, mit welchem eine Fallbeschleunigung berechnet werden kann.

MfG
Lothar W.

 

[Bernhard]

Nein, eben nicht. Für 3/4 r[SUB]E[/SUB] ist das Potential nicht angegeben.

Hallo Lothar,

'Ich' hat für die beiden diskutierten Fälle korrekte Potentiale angegeben.

Die beiden Fälle sind:
a) homogene Erde und
b) Erde homogen auf r_E/2 kompprimiert

Beide Potentiale gelten für r >= 0, also auch für r = 3/4 r_E.

Solltest Du das nicht "schlucken" können, sollte wohl S.D. (Redakteur) nach schier endlos langen und ziemlich mühsamen 40 Seiten ein "Machtwort" sprechen. Meine Geduld ist so langsam auch erschöpft.

 

[Struktron]

Hallo Bernhard,

'Ich' hat für die beiden diskutierten Fälle korrekte Potentiale angegeben.

Die beiden Fälle sind:
a) homogene Erde und
b) Erde homogen auf r_E/2 kompprimiert

Beide Potentiale gelten für r >= 0, also auch für r = 3/4 r_E.

"Ich" hat keine Formel für 3/4 r[SUB]E[/SUB], nur für r[SUB]E[/SUB]/2 und r[SUB]E[/SUB]. Falls Du das Ergebnis damit für 3/4 r[SUB]E[/SUB] berechnen kannst, bitte ich um den Zahlenwert.
Im Text hat "Ich" als Lösung für die Fälle
2 a (homogene Erde mit r[SUB]E[/SUB]) das äußere Potential 0.5 G M / r[SUB]E [/SUB]und
2 b (homogene Erde mit r[SUB]E[/SUB]/2) das äußere Potential 2 G M / r[SUB]E[/SUB].
Diese Potentiale differenziert (natürlich mit r) ergeben eine unphysikalische Fallbeschleunigung.
Mit (14), welches "Ich" als Unsinn bezeichnet, wird es richtig.

Solltest Du das nicht "schlucken" können, sollte wohl S.D. (Redakteur) nach schier endlos langen und ziemlich mühsamen 40 Seiten ein "Machtwort" sprechen. Meine Geduld ist so langsam auch erschöpft.

Meine auch, weil durch falsche Physik in einem renomierten Forum dieses in Misskredit gebracht wird, falls S.D. nicht mal eingreift.

Die Lesart, dass eine immer gleiche Masse bei Kompaktifizierung (Kollaps) in dieser Art (Addition) das Potential und die Fallbeschleunigung in einer beliebigen Entfernung ändert, ist falsch. Das Universum, wie wir es kennen, würde so nicht existieren.

MfG
Lothar W.

 

[Bernhard]

"Ich" hat keine Formel für 3/4 r[SUB]E[/SUB], nur für r[SUB]E[/SUB]/2 und r[SUB]E[/SUB]. Falls Du das Ergebnis damit für 3/4 r[SUB]E[/SUB] berechnen kannst, bitte ich um den Zahlenwert.

Hallo Lothar,

die von Dir gesuchte Formel lautet:
$$c)\quad \Phi_I(r)=\frac{2GM_E}{3r_E}\left(\frac{16 r^2}{9r_E^2}-3\right) \quad \mbox{und} \quad \Phi_A(r)=-\frac{GM_E}{r}$$

EDIT:
Die linke Formel gilt dabei für 0 <= r <= 3/4 r[SUB]E[/SUB]
Die rechte Formel gilt dabei für r >= 3/4 r[SUB]E[/SUB]

 

[Struktron]

Hallo Bernhard,

die von Dir gesuchte Formel lautet:
$$c)\quad \Phi_I(r)=\frac{2GM_E}{3r_E}\left(\frac{16 r^2}{9r_E^2}-3\right) \quad \mbox{und} \quad \Phi_A(r)=-\frac{GM_E}{r}$$

EDIT:
Die linke Formel gilt dabei für 0 <= r <= 3/4 r[SUB]E[/SUB]
Die rechte Formel gilt dabei für r >= 3/4 r[SUB]E[/SUB]

Das und nur das behaupte ich die ganze Zeit. Es ist die Berechnung mit der Fallunterscheidung (14).
Wo bleibt jetzt aber die Addition?

MfG
Lothar W.

Allerdings erhalte ich mit 3.5/4 ein falsches Resultat, der Grenzübergang passt nicht.

 

[Bernhard]

Hallo Lothar,

Wo bleibt jetzt aber die Addition?

die Addition wurde benötigt, um das Potential an einer bestimmten Stelle (r = r_E o.ä.) zu berechnen. Wenn man die allgemeine Formel hat, braucht man diese Rechnung nicht mehr ungedingt.

Allerdings erhalte ich mit 3.5/4 ein falsches Resultat, der Grenzübergang passt nicht.

Du meinst vermutlich die Stelle r = 3/4 r_E. Die passt, weil beide Formeln an dieser Stelle den Wert -4GM_E/(3r_E) ergeben. Die Gesamtfunktion ist damit stetig, wie es ja sein muss.

 

[Struktron]

Hallo Bernhard,

die Addition wurde benötigt, um das Potential an einer bestimmten Stelle (r = r_E o.ä.) zu berechnen.

Ich glaube eher an einen Lapsus. Wenn man nämlich die gleiche Methode, also den gleichen Trugschluss auf 1/n r[SUB]E[/SUB] anwendet, kommen die viel zu großen Potentiale heraus, welche vom kompakten Körper dominiert werden. Nimmt man allerdings für das äußere Potential erst ein Integral in umgekehrter Richtung (?) könnte man das innere Potential abziehen (den negativen Wert addieren). Oder so etwas ähnliches, wonach ich schon am Anfang der Diskussion fragte.

Wenn man die allgemeine Formel hat, braucht man diese Rechnung nicht mehr ungedingt.

Du meinst vermutlich die Stelle r = 3/4 r_E. Die passt, weil beide Formeln an dieser Stelle den Wert -4GM_E/(3r_E) ergeben. Die Gesamtfunktion ist damit stetig, wie es ja sein muss.

Nein die Stelle meine ich nicht, sondern Stellen nahe daneben. Dort geht die Stetigkeit mit Deiner Formel verloren. Mit der allgemeinen Formel bleibt sie richtig. Das habe ich mit vielen Zahlenwerten überprüft.

MfG und gute Nacht,
Lothar W.