Eine mathematische Frage zum mittleren Abstand zweier Planeten

[Bernhard]

Der Unterschied zwischen kommensurablen und inkommensurablen Orbits muss nicht weiter betrachtet werden, weil es für sehr große Werte von T mehr und mehr egal wird, wo die obere Integrationsgrenze genau gesetzt wird.

Man kann die Berechnung der inkommensurablen Orbits also auf die Berechnung der kommensurablen Orbits zurückführen. Der Unterschied ist ein Rest, der im Limes gegen Null geht.

Der Wert des Integrals wird in beiden Fällen von der Periodenlänge om_12 und der Startbedingung bestimmt.

 

[TomS]

Man kann die Berechnung der inkommensurablen Orbits also auf die Berechnung der kommensurablen Orbits zurückführen. Der Unterschied ist ein Rest, der im Limes gegen Null geht.

Wie kann man das strikt beweisen?

 

[Bernhard]

Wie kann man das strikt beweisen?

Beim letzten Schritt wird l'Hospital verwendet. T sei hier abweichend von den Bezeichnungen im pdf die Periodenlänge der Funktion f.
x sei die Dauer der Mittelung, die nach unendlich gehen soll.
b ist das Integral von t0+nT bis t0+nT+a
G ist das Integral von t0 bis t0+T
a wird verwendet, um zu zeigen, dass es für t' keine Einschränkung (außer reell) gibt.

Der Beweis nutzt vor allem die Periodizität von f und l'Hospital.

 

[Bernhard]

Man kann die Berechnung der inkommensurablen Orbits also auf die Berechnung der kommensurablen Orbits zurückführen.

Unsinn. Man rechnet es vielmehr für den inkommensurablen Fall (siehe #23) und hat damit den kommensurablen Fall automatisch dabei.

 

[TomS]

@Bernhard –

Ja, Letzteres leuchtet mir eher ein; von einer endlichen Periode auszugehen und den Grenzwert zu bilden, fnktioniert nicht für Fälle, in denen eine derartige Periode nicht vorliegt.

Da jedoch die kommensurablen Orbits eine Menge vom Maß Null in der Menge aller Orbits darstellen, würde ich den Spezialfall ignorieren.

 

[Bernhard]

x sei die Dauer der Mittelung, die nach unendlich gehen soll.

Gemeint ist anstelle von x jetzt t'-t0. (Habe beim Editieren das x übersehen).

Da jedoch die kommensurablen Orbits eine Menge vom Maß Null in der Menge aller Orbits darstellen, würde ich den Spezialfall ignorieren.

Stimmt. Diesen Spezialfall kann man weglassen.

Zurück zur eigentlichen Hypothese für kreisförmige Orbits: Es zeichnet sich nun ab, dass die Hypothese für gamma=0 exakt gültig ist und für sehr dicht beeinander liegende Orbits (sehr wahrscheinlich) nicht in voller Allgemeinheit gültig ist.

Man müsste dazu etwas mit dem gamma experimentieren, falls noch Interesse an diesen Mittelwerten besteht

 

[Bernhard]

Da jedoch die kommensurablen Orbits eine Menge vom Maß Null in der Menge aller Orbits darstellen, würde ich den Spezialfall ignorieren.

Ich habe gerade gesehen, dass das so auch auf Seite 3 kurz erwähnt wird. Es bleibt dann aber die Frage, warum diese Unterscheidung zwischen "kommensurabel" und "inkommensurabel" überhaupt erwähnt wird. Für die Verallgemeinerung auf elliptische Bahnen wird der Unterschied auch nicht benötigt, so dass es hilfreich wäre daraus einen separaten Abschnitt zu machen und klar zu kennzeichnen, dass diese Unterscheidung für die Mittelwerte nicht benötigt wird.

 

[TomS]

Es wird erwähnt, weil Astronomen gerne ausgehend von endlichen Zeiträumen und Näherungen argumentieren.

Ich muss mir aber erst nochmal deine o.g. Einwände bzgl. der Phasenverschiebung im Falle elliptischer Integrale ansehen. Es ist zwar für die hier genannte Frage irrelevant, aber das PDF sollte schon korrekt sein.

 

[Bernhard]

Die Rechnung für die Kreisbahnen könnte eventuell auch noch etwas übersichtlicher und mit mehr Nummerierungen gemacht werden. Als Ergebnis für die kreisförmigen Orbits bekomme ich:

Ich bin davon ausgegangen, dass Planet 1 beim Winkel 0 startet und Planet 2 beim Winkel phi_0. Die Formel unterscheidet sich vom pdf nur in dem Parameter phi_0.

 

[Bernhard]

Der Vollständigkeit halber müsste auch der Spezialfall synchroner Orbits erwähnt werden, weil die Formel das nicht beschreibt. Auch da taucht der Parameter phi_0 auf.

 

[Bernhard]

Ich muss mir aber erst nochmal deine o.g. Einwände bzgl. der Phasenverschiebung im Falle elliptischer Integrale ansehen. Es ist zwar für die hier genannte Frage irrelevant, aber das PDF sollte schon korrekt sein.

Vergiss den Einwand. Ich nehme ihn hiermit zurück. Der Beweis im pdf zur Phasenunabhängigkeit des Integrals über T-periodische Funktionen ist elegant und korrekt (Doppelte Anwendung des Fundamentalsatzes der Analysis).

 

[Bernhard]

Ich habe nun für den Fall mit zwei Ellipsen die einfachste Taylor-Entwicklung mit Termen in erster Ordnung von e angeschaut. Die Terme zeigen, dass es keine offensichtliche Periodizität mehr gibt. Damit fehlen dann auch die bereits verwendeten Möglichkeiten zur Vereinfachung. Es gibt bei dieser Entwicklung Terme mit om_1, om_2 und om_12.

Wie oben bereits erwartet, wird es damit für Papier und Bleistift vorerst recht unübersichtlich.

 

[TomS]

Vergiss den Einwand. Ich nehme ihn hiermit zurück. Der Beweis im pdf zur Phasenunabhängigkeit des Integrals über T-periodische Funktionen ist elegant und korrekt (Doppelte Anwendung des Fundamentalsatzes der Analysis).

Damit ist – bis auf Flüchtigkeitsfehler – die Herleitung der exakten Lösung für kreisförmige Orbits deiner Meinung nach korrekt, richtig?

Der Vollständigkeit halber müsste auch der Spezialfall synchroner Orbits erwähnt werden, weil die Formel das nicht beschreibt. Auch da taucht der Parameter phi_0 auf.

Dieser Spezialfall muss in der vollständigen Lösung enthalten sein. Den Grenzübergang für das Integral schaue ich mir an.

An der Stelle sei nochmal angemerkt, dass ich nirgends das dritte Keplersche Gesetz verwende.

Ich habe nun für den Fall mit zwei Ellipsen die einfachste Taylor-Entwicklung mit Termen in erster Ordnung von e angeschaut. Die Terme zeigen, dass es keine offensichtliche Periodizität mehr gibt. Damit fehlen dann auch die bereits verwendeten Möglichkeiten zur Vereinfachung. Es gibt bei dieser Entwicklung Terme mit om_1, om_2 und om_12.

Für Ellipsen fehlt mir jegliche Idee, wie man weitermachen könnte.

 

[Bernhard]

Damit ist – bis auf Flüchtigkeitsfehler – die Herleitung der exakten Lösung für kreisförmige Orbits deiner Meinung nach korrekt, richtig?

Das Ergebnis für kreisförmige Orbits ist korrekt. Der Weg das zu zeigen, kann meiner Meinung nach noch etwas verbessert werden. Die Unterscheidung zwischen den kommensurablen und inkommensurablen Orbits erscheint mir dabei als größtes Hindernis bezüglich Verständlichkeit und Übersichtlichkeit. Einfach weg lassen und gut wär's und zusätzlich etwas ausführlicher zeigen, wie man auf die T-Periodizität kommt.

Dieser Spezialfall muss in der vollständigen Lösung enthalten sein. Den Grenzübergang für das Integral schaue ich mir an.

Bei synchronen Orbits gilt om_12 = 0. Die Substitution funktioniert dann nicht mehr. Man kann aber das Integral vor der Substitution verwenden. Das liefert dann auch das korrekte Ergebnis.

An der Stelle sei nochmal angemerkt, dass ich nirgends das dritte Keplersche Gesetz verwende.

Das macht die Rechnung interessant

Für Ellipsen fehlt mir jegliche Idee, wie man weitermachen könnte.

Da fällt mir aktuell auch nur der Spruch von Paul Erdös zum Collatz-Problem ein: "Hopeless. Absolutely hopeless"