Eine mathematische Frage zum mittleren Abstand zweier Planeten

[TomS]

Die Frage ist recht einfach zu formulieren.

Zum Auftakt: Ausgehend von einem beliebigen Planeten Nummer n im Sonnensystem, welcher andere Planet i hat von n den geringsten mittleren Abstand? Dabei ist das zeitliche Mittel zu betrachten, d.h. entweder das Mittel über die kleinste gemeinsame Periode der beiden Planeten, oder das Mittel über einen unendlich langen Zeitraum. Betrachtet man exakt kreisförmige Orbits, d.h. verschwindende Exzentrizität, so kann man beweisen, dass unabhängig vom Planeten n immer der innerste Planet den geringsten mittleren Abstand aufweist. Dies gilt für beliebige Planetensysteme, insbs. unabhängig von den Keplerschen Gesetzen.

Die Frage lautet dann, ob dies auch für nicht-verschwindende Exzentrizitäten gilt, bzw. innerhalb welches Parameterbereiches für dieselben.

Allgemeiner formuliert: Gegeben seien Planeten i,k,n mit den großen Halbachsen

Gilt dann für den mittleren Abstand von n zu i

(von n zu k analog) immer die Ungleichung

Ich habe das hier im Detail zusammengefasst: mean_dist.


Numerisch finde ich für alle Planetenpaare im Sonnensystem sowie für verschiedene Anfangsbedingung immer nur Fälle, in denen diese Ungleichung erfüllt ist. Ich berechne die paarweise mittlere Distanz als Mittelwert über viele Zeitintervalle, wobei ich je Intervall immer über die Periode integriere, die sich aus der Differenz der Winkelgeschwindigkeiten der beiden Planeten ergibt; für verschwindende Exzentrizität wäre dies exakt.

Aktuell betrachte ich eine Mittelung über N = 1000000 Intervalle. Für die Halbachsen [Mio km]

Mercury: 57909.2
Venus: 108208.9
Pluto: 5906376.2

finde ich mittlere Abstände

Pluto-Mercury: 5721006.2
Pluto-Venus: 5721140.0

Der Unterschied beträgt weniger als ein Tausendstel der Korrekturen durch die Exzentrizität, für die Venus

Pluto-Venus (e=0): 5906871.9
Pluto-Venus (e>0): 5721140.0

Allerdings sind N = 1000000 Intervalle sehr wenig, es könnten noch Schwebungen existieren, die ich numerisch nie identifizieren kann. Nehmen wir an, es lägen kommensurable Orbits für Merkur und Pluto vor. Die ersten drei Näherungen für eine gemeinsame Periode lauten 90644.6, 29068115918221.0, 3.188195971670762e+18 Merkurjahre!


Ich habe keine Ahnung, wie ich einen exakten Beweis für die o.g. Hypothese angehen soll.

 

[Bernhard]

Ich würde erwarten, dass sich das Ergebnis für e=0 auf einen gewissen Bereich e <= e_max verallgemeinern lässt.

Für große Exzentrizitäten werden weitere Vorüberlegungen notwendig, weil sich Bahnen dann auch überschneiden können, was die Berechnung erschweren kann. Sich überschneidende Orbits sollten eventuell aus physikalischen Gründen ausgeschlossen werden, weil diese langfristig gesehen instabil sein sollten.

 

[TomS]

Ich würde erwarten, dass sich das Ergebnis für e=0 auf einen gewissen Bereich e <= e_max verallgemeinern lässt.

Wenn wir mal ausschließen, dass das Problem für e nahe Null irgendwie pathologisch ist, dann würde ich genau das erwarten.

Für große Exzentrizitäten werden weitere Vorüberlegungen notwendig, weil sich Bahnen dann auch überschneiden können, was die Berechnung erschweren kann.

Guter Punkt.

Nehmen wir also an, dass der größte Bahnradius des Planeten i immer kleiner ist als der kleinste Bahnradius eines weiter außen liegenden Planeten k.

 

[ralfkannenberg]

Sich überschneidende Orbits sollten eventuell aus physikalischen Gründen ausgeschlossen werden, weil diese langfristig gesehen instabil sein sollten.

Hallo zusammen,

auch wenn das bei Planeten unseres Sonnensystems irrelevant ist so erinnere ich an die beiden koorbitalen Saturnmonde Janus und Epimetheus, deren Umlaufbahnen meines Wissens stabil sind.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Bernhard]

auch wenn das bei Planeten unseres Sonnensystems irrelevant ist so erinnere ich an die beiden koorbitalen Saturnmonde Janus und Epimetheus, deren Umlaufbahnen meines Wissens stabil sind.

Saturn ist mit seinen Ringen eh ein ziemlich spezielles System.

 

[TomS]

@ralfkannenberg – es geht wirklich nur um die o.g. mathematische Frage, also um eine geeignete Abschätzung des Integrals.

 

[Bernhard]

Ich habe das hier im Detail zusammengefasst: mean_dist.

Habe mir die Datei distance.pdf mal etwas genauer angesehen und hätte da zwei Flüchtigkeitsfehler auf Seite 4, erste Textzeile (im Abschnitt 2):

Bei der ersten Substitution fehlt das t. Offensichtlich wird Phi = om_12 * t verwendet.

Bei der zweiten Substitution (2*pi=om_12 * T_12) fehlt ein ganzzahliger Faktor aufgrund der Definition von T_12 auf Seite 2. Es gilt 2*pi=om_12 * T_12 * (l_1 - l_2)

Etwas verwirrend ist für mich auch ein fehlender Hinweis auf "Kepler", so dass om_i > om_j, falls i < j.

Die eigentliche Idee und Rechnung kann gut nachvollzogen werden.

 

[Bernhard]

Bei der zweiten Substitution (2*pi=om_12 * T_12) fehlt ein ganzzahliger Faktor aufgrund der Definition von T_12 auf Seite 2. Es gilt 2*pi=om_12 * T_12 * (l_1 - l_2)

Wird das berücksichtigt, zeigen sich zwei interessante Aspekte:
a) Für l1 = l2 ergibt die Formel für die mittlere Distanz einen unbestimmten Ausdruck. Die beiden Orbits werden in diesem Fall synchron durchlaufen (was bei Planeten aufgrund von "Kepler" nicht geht). Der mittlere Abstand entspricht dann dem zeitlich konstanten Abstand der beiden Ortsvektoren. Dieser Abstand hängt dann von den Startbedingungen ab und ist größer oder gleich a_2 - a_1 und kleiner oder gleich dem Wert von a_2 + a_1.
b) Für l1 ungleich l2 ist das Ergebnis von diesen Werten unabhängig, weil ein ganzzahliger Faktor von 2*pi bei der oberen Integrationsgrenze hier ausnahmsweise als multiplikativer Faktor vor das Integral gezogen werden darf und dann mit dem gleichen Faktor im Nenner (aufgrund der Variablensubstitution) gekürzt werden kann. So ergibt sich dann wieder das bereits bekannte Ergebnis.

 

[Petz]

Saturnmonde

Genau sowas haben wir ja vor 6 Jahren mit den Jupitermonden gerechnet, allerdings numerisch. Die analytische Lösung für Orbits die nicht nur elliptisch sind sondern auch nicht in der gleichen Ebene liegen dürfte auf jeden Fall kompliziert sein, sofern es überhaupt eine gibt.

 

[Bernhard]

Nehmen wir also an, dass der größte Bahnradius des Planeten i immer kleiner ist als der kleinste Bahnradius eines weiter außen liegenden Planeten k.

Auch dann hängt der unbekannte Parameterbereich von e zusätzlich noch von der relativen Lage der Ellipsen ab. Ich denke auch, dass man so etwas dann besser numerisch untersucht.

 

[Petz]

In der Frage mit den Jupitermonden ging es auf jeden Fall nur numerisch, denn da das ein knappes Rennen war wo sich der Unterschied erst an den hinteren Nachkommastellen bemerkbar gemacht hat wurde es eine n-Body Simulation wo auch die gegenseitige Wechselwirkung der Monde untereinander berücksichtigt wurde. Da es noch nicht einmal für das Dreikörperproblem eine analytische Lösung gibt bleibt einem in solchen Fällen oder wenn man z.B. auch den Einfluss der schweren Planeten berücksichtigen muss nur die Numerik.

 

[Bernhard]

Ich habe keine Ahnung, wie ich einen exakten Beweis für die o.g. Hypothese angehen soll.

In der Datei distance.pdf sind eigentlich alle benötigten Formeln bereits gesammelt. Insbesondere Gleichung (1) vermeidet die Anwendung der Kepler-Gleichung. Für Ellipsen ergeben sich nur deutlich kompliziertere Gleichungen, wie im Fall der kreisförmigen Orbits. (Vielleicht kann bei der Auswertung ja Cleo weiterhelfen.)

 

[TomS]

Habe mir die Datei distance.pdf mal etwas genauer angesehen und hätte da zwei Flüchtigkeitsfehler auf Seite 4, erste Textzeile (im Abschnitt 2):

Bei der ersten Substitution fehlt das t. Offensichtlich wird Phi = om_12 * t verwendet.

Bei der zweiten Substitution (2*pi=om_12 * T_12) fehlt ein ganzzahliger Faktor aufgrund der Definition von T_12 auf Seite 2. Es gilt 2*pi=om_12 * T_12 * (l_1 - l_2)

Danke.

Etwas verwirrend ist für mich auch ein fehlender Hinweis auf "Kepler", so dass om_i > om_j, falls i < j.

Das dritte Keplersche Gesetz wird nicht verwendet.

Die eigentliche Idee und Rechnung kann gut nachvollzogen werden.

Danke.

 

[TomS]

Genau sowas haben wir ja vor 6 Jahren mit den Jupitermonden gerechnet, allerdings numerisch.

Numerisch funktioniert es nur dann, wenn man annimmt, dass man über eine genügend kurze, endliche Zeit integrieren darf. Da jedoch fast alle * Frequenzverhältnisse irrational sind, funktioniert genau das fast nie *.

* Umgekehrt: die numerische Betrachtung funktioniert nur für eine Menge vom Maß Null.

Die analytische Lösung für Orbits die nicht nur elliptisch sind sondern auch nicht in der gleichen Ebene liegen dürfte auf jeden Fall kompliziert sein, sofern es überhaupt eine gibt.

Dass keine geschlossene Lösung vorliegt, bedeutet nicht zwangsläufig, dass meine Frage nicht mathematisch präzise beantwortbar ist

(numerisch ist sie sicher nicht beantwortbar)

 

[Petz]

Numerisch funktioniert es nur dann, wenn man annimmt, dass man über eine genügend kurze, endliche Zeit integrieren darf. Da jedoch fast alle * Frequenzverhältnisse irrational sind, funktioniert genau das fast nie *.

Die Zeit über die man integriert kann schon endlich sein, wenn man über genug Umrundungen intrigiert machen die unvollendeten Umrundungen keinen großen Unterschied mehr im Durchschnittswert, vorausgesetzt natürlich dass man kein chaotisches System hat wo die Dinge plötzlich auseinanderfliegen. In deinen verlinkten PNGs siehst du eh dass die Schwingung sich auf eine Linie einpendelt und die Amplitude immer kleiner wird. Die wird zwar nie ganz 0, aber man kann sie auch beliebig klein werden lassen indem man den Integrationszeitraum beliebig erhöht.

 

[TomS]

Die Zeit über die man integriert kann schon endlich sein, wenn man über genug Umrundungen intrigiert machen die unvollendeten Umrundungen keinen großen Unterschied mehr im Durchschnittswert, vorausgesetzt natürlich dass man kein chaotisches System hat wo die Dinge plötzlich auseinanderfliegen. In deinen verlinkten PNGs siehst du eh dass die Schwingung sich auf eine Linie einpendelt und die Amplitude immer kleiner wird. Die wird zwar nie ganz 0, aber man kann sie auch beliebig klein werden lassen indem man den Integrationszeitraum beliebig erhöht.

Es geht darum, derartige Hypothesen – bzw. innerhalb welches Parameterbereiches meine Aussagen gelten – mathematisch zu beweisen.

 

[Petz]

Es geht darum, diese Annahmen mathematisch zu beweisen.

Dann müssen die studierten Mathematiker ran. Mit solchen Beweisen kenne ich mich nicht aus, aber wenn schon der Beweis für 1+1=2 angeblich 300 Seiten lang ist dürfte das

auf jeden Fall kompliziert sein.

 

[ralfkannenberg]

Dann müssen die studierten Mathematiker ran. Mit solchen Beweisen kenne ich mich nicht aus, aber wenn schon der Beweis für 1+1=2 angeblich 300 Seiten lang ist dürfte das

Hallo Petz,

das müssen jüngere studierte Mathematiker machen, ich bin da schon viel zu lange draussen und das war auch nie mein Gebiet.

An Deine schönen Simulationen mit den Jupitermonden erinnere ich mich noch sehr gut - unglaublich, dass das schon 6 Jahre her ist !


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Bernhard]

Habe mich noch weiter mit dem pdf beschäftigt und "vermute" aktuell, dass bei der Argumentation zu den Integrationsgrenzen auch noch ein Fehler enthalten ist.

Nimmt man z.B. das gamma bei den kreisförmigen Orbits in der Rechnung stur mit, so ergibt sich ein Offset bei den Integrationsgrenzen des elliptischen Integrals und damit auch ein kleiner Offset im Ergebnis. Anschaulich ist dieser Unterschied auch nachzuvollziehen. Die unterschiedlichen Entfernungen beim Start der Mittelung führen zu leicht unterschiedlichen Intregranden.

Beim elliptischen Integral macht es einen Unterschied, ob von 0 bis 2*pi oder von 0,1 bis 2*pi+0,1 integriert wird.

 

[TomS]

Ich schau mir das morgen nochmal genau an.