de-Sitter-Modell

[Bernhard]

Hallo Bernhard,

Wie gesagt ist der de Sitter Raum (nur der Raum, nicht die Raumzeit) in FRW-Koordinaten flach. Mittelpunkt wäre da auch etwas albern, weil eh alles homogen und isotrop ist.
In statischen Koordinaten hingegen ist er positiv gekrümmt, und in diesen ist die Metrik auch ortsabhängig, mit Gravitationspotential, Ereignishorizont und allem. Der Mittelpunkt ist natürlich beliebig gewählt. Man kann sich vorstellen, dass da ein Beobachter sitzt, der die Koordinaten nutzt.

Sehr guter Punkt. In dieser Diskussion hatten wir doch als (noch nicht ganz bewiesenes) Ergebnis, dass ein statischer Unterraum geodätisch ist. Damit ist die Krümmung tatsächlich gleich der Schnittkrümmung der de Sitter Raumzeit, H²/4, und somit konstant. Er ist aber trotzdem nicht gleich S³, also einer Hypersphäre, weil quasi am Äquator der Ereignishorizont sitzt, der die Gültigkeit der Koordinaten begrenzt. Er ist also halbkugelig, mit dem Beobachter am Nordpol und dem EH am Äquator.

Hallo Ich,

ich mache dazu mal ein neues Thema auf, damit wir das hoffentlich einigermaßen ungestört diskutieren können. Wenn Du mir die Metrik in statischen Koordinaten aufschreibst oder einen Link darauf gibst, könnte ich mal die zugehörigen Christoffelsymbole ausrechnen und dann nachsehen, ob der Unterraum mit t=const. geodätisch ist. Ich bin mir ziemlich sicher, dass es da prinzipiell beide Möglichkeiten gibt, was es aber um so spannender macht es konkret auszurechnen. Schließlich kann man das heutzutage ziemlich direkt vom PC ausrechnen lassen.

Ich habe mich bisher mit dem de-Sitter-Modell noch nicht beschäftigt. Schließlich ist es mit rho=0 relativ exotisch.
MfG

 

[Ich]

Die Metrik findest du in Wikipedia - allerdings unter de Sitter Raum, nicht de Sitter Modell. Das ist etwas anderes.

Mein Gedankengang ist folgender: Wenn ich an irgendeinem Punkt irgendeinen Vektor sekrecht zur Zeitrichtung durch Paralleltransport verlängere, bekomme ich eine raumartige Geodäte. Wenn nun die Zeitrichtungen gleichzeitig ein Killingfeld darstellen, dann bleibt der Winkel zwischen dieser Geodäte und allen anderen Zeitlinien, die sie schneidet, 90°, weil das Skalarprodukt mit den Killingvektoren erhalten bleibt. Damit liegt diese Geodäte auch vollständig in dem von diesen Zeitlinien definierten Raum. Damit sind alle Schnittkrümmungen des Raums gleichzeitig Schnittkrümmungen der Raumzeit.
Wobei das nicht wirklich ein Beweis ist, ich müsste ja zeigen, dass besagte Geodäte auch eine Geodäte des Unterraums ist.

 

[Bernhard]

ich müsste ja zeigen, dass besagte Geodäte auch eine Geodäte des Unterraums ist.

Diese Richtung ist bei zeitunabhängigen Metrikkoeffizienten wegen t=const. immer erfüllt.

Ich frage mich aber zusätzlich, ob man damit schon alle Geodäten des Unterraumes gefunden hat. Dazu müsste man auch die andere Richtung betrachten. Sind die Geodäten des Unterraumes auch Geodäten des Raumes? Dazu müsste man noch zeigen, dass \( \Gamma^0_{ij}\frac{dx^i}{d\lambda} \frac{dx^j}{d\lambda} = 0 \), mit \( i,j \neq 0 \). Für n=4 und de Sitter gilt das, weil alle Christoffelsymbole dieser Gleichung in diesem Fall gleich Null sind.
MfG

 

[RPE]

Bernhard,

womit berechnest du Christoffel Symbole? Ich habe ein Mathematica Script, leider habe ich momentan kein Mathematica mehr auf meinem Rechner

 

[Bernhard]

womit berechnest du Christoffel Symbole?

Hallo RPE,

ich habe mir da mal etwas selbst geschrieben, was mittlerweile zwar recht zuverlässig funktioniert aber etwas eigenwillig in der Bedienung ist. Ich könnte Dir diese Windows-Applikation mit grober Beschreibung bei Interesse zuschicken. PN genügt.

Frei verfügbar wäre noch Maxima, wo ich aber auch schon mal einen relativ bösen Integrationsfehler gefunden habe.

Zuletzt gäbe es im www noch ein freies Python-Script vom Benutzer Solkar: http://www.quantenforum.de/viewtopic.php?f=7&t=619 , wozu ich aber nichts schreiben kann, weil ich mich mit Python nicht auskenne.
MfG

 

[Bernhard]

ich müsste ja zeigen, dass besagte Geodäte auch eine Geodäte des Unterraums ist.

Hallo Ich,

mir ist dazu noch das Lemma bei S. Helgason, "Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces", Reprint 2001 eingefallen. Lemma 14.2 auf S. 79 beweist eben diesen Satz. Wenn eine Geodäte einer Mannigfaltigkeit abschnittweise in einer zusammenhängenden Untermannigfaltigkeit verläuft, sind diese Abschnitte zugleich auch Geodäten der Untermannigfaltigkeit.

Wir hatten diesen Punkt schonmal im Quantenforum, allerdings beim Thema "Relativgeschwindigkeiten".
MfG

 

[ralfkannenberg]

mir ist dazu noch das Lemma bei S. Helgason, "Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces", Reprint 2001 eingefallen. Lemma 14.2 auf S. 79 beweist eben diesen Satz. Wenn eine Geodäte einer Mannigfaltigkeit abschnittweise in einer zusammenhängenden Untermannigfaltigkeit verläuft, sind diese Abschnitte zugleich auch Geodäten der Untermannigfaltigkeit.

Wir hatten diesen Punkt schonmal im Quantenforum, allerdings beim Thema "Relativgeschwindigkeiten".

Und das war hier.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Bernhard]

Hallo Ralf,

Und das war hier.

ich habe zu übertriebener Bequemlichkeit aus gutem Grunde ein etwas gespaltenes Verhältnis, aber in diesem Fall sei es genehmigt. Danke für den Nachtrag .
MfG

 

[RPE]

Danke Bernhard!

ich habe mir da mal etwas selbst geschrieben, was mittlerweile zwar recht zuverlässig funktioniert aber etwas eigenwillig in der Bedienung ist. Ich könnte Dir diese Windows-Applikation mit grober Beschreibung bei Interesse zuschicken. PN genügt.

Ich erinnere mich. Ich hatte es sogar mal auf meinem Rechner laufen. Dann "lebt" das also immer noch

Frei verfügbar wäre noch Maxima, wo ich aber auch schon mal einen relativ bösen Integrationsfehler gefunden habe.

Maxima kenne ich bisher nicht.

Zuletzt gäbe es im www noch ein freies Python-Script vom Benutzer Solkar: http://www.quantenforum.de/viewtopic.php?f=7&t=619 , wozu ich aber nichts schreiben kann, weil ich mich mit Python nicht auskenne.
MfG

Ein schoenes Ding. Was Python inzwischen alles kann - schon erstaunlich! Auch die latex/utf-8 Ausgabe ist sehr chic
Ich denke, das ist fuer meine Zwecke das Optimum. Besten Dank! (auch an den Autor)

 

[Bernhard]

Hallo RPE,

Ein schoenes Ding. Was Python inzwischen alles kann - schon erstaunlich!

ich hänge mich spaßeshalber mal mit an und habe zu diesem Zweck ebenfalls Sympy installiert. Solkars Script ist glücklicherweise weitestgehend selbsterklärend.

Auch die latex/utf-8 Ausgabe ist sehr chic

Ich habe beim ersten Durchlauf nur die C-Symbole der Schwarzschildmetrik auf stdout bekommen. Weißt Du, wie man mit dem Script LaTeX-Code bekommt?
MfG

 

[RPE]

Hallo Bernhard,

python christoffel_programm.py Schwarzschild latex

auf stdout

ich habs dann mit einem > bla.tex hintendran in eine Datei geschickt, ums anschliessend weiter mit latex zu verdrahten.

Ich habe es im ersten Anlauf allerdings nicht geschafft, es um die De-Sitter-Metrik zu erweitern. Was allerdings an meinem limitierten Verstaendnis der De-Sitter Metrik liegt (sprich alpha, Omega und n), weniger an der Umsetzung in das Skript...Meisner, Thorne, Wheeler waeren da vielleicht etwas mehr erhellend als Wiki? Habe ich aber leider erst in einigen Monaten wieder zur Hand. Von daher Hilfestellung gerne willkommen!

 

[Bernhard]

Von daher Hilfestellung gerne willkommen!

Hallo RPE,

schau mal rüber in's Quantenforum. Da gibt es jetzt eine Version 0.1.2. Das Ergebnis für deSitter ist gleich den Ergebnissen meines Programmes.
MfG

 

[Bernhard]

Ich frage mich aber zusätzlich, ob man damit schon alle Geodäten des Unterraumes gefunden hat.

Ich beantworte diese Frage, wie folgt, mal selbst:

Das Skalarprodukt zwischen einem Killing-Vektor und dem Tangentialvektor der Geodäte ist bekanntlich konstant. Es gilt also:
\[ \xi^{\mu}g_{\mu\nu}\frac{dk^{\nu}}{d\lambda} = const.\]
Zeitunabhängige Metriken haben ferner den Killing-Vektor \( \xi^0 = 0, \xi^i = 0\). Damit gilt für Metriken in Diagonalform (das hatte ich oben noch übersehen):
\[ g_{00}\frac{dt}{d\lambda} = const.\]
Betrachtet man nun lediglich Bereiche, wo die Metrik nicht entartet, also alle Diagonalelemente immer ungleich Null sind, so folgt aus der Startbedingung \( \frac{dt}{d\lambda} = 0 \), dass \( \frac{dt}{d\lambda} = 0 \) entlang der gesamten Geodäte gilt. Bei zeitunabhängigen, metrischen Tensoren in Diagonalform liegt also jede Geodäte des gesamten Raumes mit t = const. im Unterraum und umgekehrt wird auch jede Geodäte des Unterraumes zusammen mit t=const. zu einer Geodäte des Gesamtraumes. Die zugehörigen Schnittkrümmungen stimmen somit überall dort überein, wo die Metrik nicht entartet.

 

[Bernhard]

bekanntlich

bzw. wie bereits erwähnt.

den Killing-Vektor \( \xi^0 = 0, \xi^i = 0\).

So "leer" ist der nicht. Vielmehr: \( \xi^0 = 1, \xi^i = 0\) .
MfG

EDIT: @Ich: Ich habe mir gerade den Preprint von Aldrovandie und Pereira angesehen, der sehr schön zeigt, dass die beschleunigte Expansion auch einen wesentlichen Einfluss auf die SRT hat, da das Vakuum mit einem nicht-verschwindenen Lambda etwas andere Eigenschaften hat, als in der Minkowski-Raumzeit!

 

[Ich]

Hallo Bernhard,

erstmal Danke für die Erinnerung. Das Thema ist also abgehakt, hatte ich nur wieder vergessen. Mein Gedächtnis scheint nur noch das absolut Lebensnotwendige zu speichern. Wenn überhaupt.

Ich habe mir gerade den Preprint von Aldrovandie und Pereira angesehen, der sehr schön zeigt, dass die beschleunigte Expansion auch einen wesentlichen Einfluss auf die SRT hat, da das Vakuum mit einem nicht-verschwindenen Lambda etwas andere Eigenschaften hat, als in der Minkowski-Raumzeit!

Das sehe ich nicht ganz so enthusiastisch. Ich bleibe erst mal bei der alten Erkennntnis, dass die SRT in gekümmter Raumzeit nur lokal gültig ist. Man kann wegen mir stattdessen fordern, dass die Raumzeit intrinsisch de Sitter ist und dementsprechend eine modifizierte SRT global gültig wird (im idealisierten Universum nur, natürlich). Ich weiß nicht, ob dadurch philosophisch so viel gewonnen wäre. Empirisch wäre es eh nichts Neues.
Wenn's dann aber daran geht, diese Eigenschaft der Raumzeit auch noch zeitabhängig zu machen, um die Inflation mit rein zu kriegen, bin ich definitiv draußen. Dann bleibe ich bei der ART, die momentan zumindest nach de Sitter aussieht, und einer nur lokal gültigen SRT.

 

[Ich]

Ich habe es im ersten Anlauf allerdings nicht geschafft, es um die De-Sitter-Metrik zu erweitern. Was allerdings an meinem limitierten Verstaendnis der De-Sitter Metrik liegt (sprich alpha, Omega und n), weniger an der Umsetzung in das Skript...Meisner, Thorne, Wheeler waeren da vielleicht etwas mehr erhellend als Wiki? Habe ich aber leider erst in einigen Monaten wieder zur Hand. Von daher Hilfestellung gerne willkommen!

Das ist nicht so wild.
Das "n" ist die Azahl der Dimensionen, weil man de Sitter für beliebige Räume konstruieren kann. Das ist m.E. irrelevant.
Das Omega ist der Raumwinkel, auch irrelevant. Siehe hier.
Das alpha ist die Hubble-Entfernung. Hier liegt der Horizoont in dieser Raumzeit (und in diesen Koordinaten).
Vergleiche mit der Schwarzschildmetrik. Das ist ziemlich dasselbe, nur dass der Horizont außen liegt, nicht innen.

 

[Bernhard]

Das sehe ich nicht ganz so enthusiastisch.

Hallo Ich,

da schicke ich noch ganz kurz hinterher, dass die de-Sitter-Relativität scheinbar eine ganz ähnliche Energieabhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit vorhersagt, wie die Loop-Quantengravitation. Mehr dazu aber in dem Preprint.
MfG

 

[Bernhard]

Mein Gedächtnis scheint nur noch das absolut Lebensnotwendige zu speichern.

Na, ich denke, so etwas kann auch täuschen und die Intuition scheint ja trotzdem noch sehr gut zu funktionieren . Für mich war dieses Thema bisher auf jeden Fall sehr aufschlussreich.
MfG

 

[Ich]

Hallo Ich,

da schicke ich noch ganz kurz hinterher, dass die de-Sitter-Relativität scheinbar eine ganz ähnliche Energieabhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit vorhersagt, wie die Loop-Quantengravitation. Mehr dazu aber in dem Preprint.
MfG

Hallo Bernhard,

habs jetzt gelesen. Sie identifizieren sozusagen die "lokale Dunkle Energie" mit der lokalen Energiedichte. Das kommt mir vollkommen ad hoc vor, dafür kann ich keinen Grund sehen. Ich betrachte das als Gedankenspielerei.
De Sitter SRT habe ich mir anders vorgestellt, als globale Symmetrie mit einer fixen Krümmung im ganzen Universum. Das hätte keine der im Preprint vorgeschlagenen Wirkungen.

 

[Bernhard]

Ich betrachte das als Gedankenspielerei.

Deren Hauptargument ist wohl ein postuliertes Versagen der LT bei Längenkontraktionen unterhalb der Planck-Länge. Das hat aber tatsächlich nichts (oder wenig) mit de-Sitter zu tun, weil man auch dort lokal auf die Minkowski-Metrik transformieren kann.
MfG