Hier das Beispiel in (hoffentlich) nachvollziehbarer Form:
So einfach wie möglich, nur um zu sehen, was passiert.
Das Seil, verankert am Äquator, soll ein ideales Seil sein. Es wiegt nichts, es dehnt sich nicht. Das Gegengewicht wiegt 1000000 kg. Mike hatte, glaube ich, 100000 km Seillänge errechnet.
Hallo Mike, Danke für die (viel schwierigere) Vorarbeit!
Im Gleichgewichtszustand wird die Kraft, mit der das Gegengewicht am Seil zieht, oder mit der das Seil am Gegengewicht zieht, damit es nicht abhaut, so gerechnet:
Kraft = Masse(des Gegengewichtes) * Geschwindigkeit^2 / Radius – Anziehungskraft der Erde am Ort des Gegengewichts
Weg = 2 * Pi * (6378000m(Erdradius) + 100000000m(Seillänge))
Geschwindigkeit = Weg / (60*60*24) = 7732,… Meter pro Sekunde (mit Pi=3,14 gerechnet)
Fliehkraft:
1000000kg * (7732m/s)^2 / (6378000m + 100000000m) = 562000 N.
Erdanziehung
Gravitationskraft auf das Gegengewicht in 100000 km Höhe über der Erdoberfläche:
6378000m * (1 / (1 + 100000000m))^2 * 1000000kg * 9,81m/s^2 = 35270 N
(nicht ganz korrekt, aber genau genug)
Im Gleichgewichtszustand befindet sich das Gegengewicht 100000 km senkrecht über der Verankerung an der Erdoberfläche (Punkt 0). Jede Abweichung des Gegengewichts von diesem Punkt 0 baut einen Kraftvektor auf, der zur Senkrechten hin zeigt. (Abweichungen natürlich nur innerhalb vernünftiger Größen.)
Aufzug:
Kraft, senkrecht zur Seilrichtung. Wenn der Aufzug hoch fährt, zeigt der Vektor Richtung Westen.
Kreisbahngeschwindigkeit an der Erdoberfläche:
2 * Pi * 6378000m / (24*60*60)s = knapp 464 m/s.
Beschleunigung = Geschwindigkeitsänderung / Zeit
Kraft senkrecht auf das Seil = Masse des Aufzugs * Beschleunigung
Da die Kraft auf das Seil, bei konstanter Aufwärtsgeschwindigkeit, immer gleich bleibt, können wir einfach irgend ein Teilstück nehmen und die Werte ausrechnen.
Der Kreisumfang wird bei 1 km mehr Radius 2*Pi*1 km länger. Diese zusätzlichen 6,283 km müssen noch zusätzlich pro Tag zurückgelegt werden, also muß der Aufzug zwischen km H und km H+1 um 6,283 km/Tag schneller um die Erde kreisen.
Wenn er mit 100 m/s hoch fährt, dann braucht er für diese 1000 m 10 Sekunden, somit beträgt die Beschleunigung für ihn
6,283km/Tag Geschwindigkeitsänderung innerhalb von 10 Sekunden oder
6283m / (24 * 60 * 60) / 10 = 0,00727 m/s^2
Wiegt er 10000 kg dann gibt das eine Kraft auf das Seil von
Kraft = 10000kg * 0,00727m/s^2 = 72,7 Newton
Der Rest ist Kräfteparallelogramm.
An keiner Stelle würde sich diese Kraft deutlicher auswirken, als ganz am Ende des Seils, am Gegengewicht. Darum rechne ich’s hier.
Wir haben hier zwei aufeinander senkrecht stehende Kräfte. 1. radial von der Erde weg die schon berechneten 562000 Newton Fliehkraft - 35270 Newton Gravitationskraft der Erde auf die 1000000 kg des Gegengewichts. Und senkrecht dazu, die 72,7 Newton der durch die Beschleunig verursachten Kraft für den Aufzug, wenn er bei 10000 kg Gewicht mit 100 m/s aufwärts fährt.
Im Verhältnis dieser Kräfte und der Seillänge wandert das Gegengewicht weg von seinem Punkt 0. Also
X/100000km = 72,7N/(562000N – 35270N)
X = 13,8 km
Das Gegengewicht würde dabei etwa 1 m Höhe verlieren (lt. Herrn Pythagoras) (natürlich nur so lange, wie die Kraft wirkt, also der Aufzug fährt)
Herzliche Grüße
MAC
