Ich habe mal bei Wikipedia reingeschaut bei
Bilinearform – Wikipedia, dann schon in der 3ten Zeile zu
Vektorraum – Wikipedia gesprungen und dort unter Formale Definition, erste Zeile zu
Körper (Algebra) – Wikipedia weiter.
In dem Stil werde ich vielleicht doch ein paar Jahre brauchen bis ich durch bin.
Hallo Dgoe,
tatsächlich beschäftigen sich Mathematikstudenten erst ab dem 3.Semester mit solchen Inhalten.
Am Thema Bilinearform sind wir derzeit dran; ein Vektorraum ist die Struktur, die Vektoren bilden (natürlich kann man sowas genauer definieren) und ehe man den Körper (Algebra) bemüht sollte noch unbedingt die Gruppe (Algebra) erwähnt werden. Eine Gruppe ist eine Struktur, in der man
vernünftig addieren und subtrahieren kann, und ein Körper ist eine Struktur, in der man
vernünftig die vier Grundrechenarten anwenden kann, also addieren, subtrahieren, multiplizieren und bis auf durch 0 dividieren.
Bei 'Körper' habe ich es dann bis zur Mitte geschafft. Und jetzt das Highlight:
Man nennt einen Körper K vollkommen, wenn kein irreduzibles nichtkonstantes Polynom aus K [X]in irgendeiner Körpererweiterung mehrfache Nullstellen hat. Algebraische Abgeschlossenheit impliziert Vollkommenheit, aber nicht umgekehrt.
Da brauchte ich dann doch eine Pause...
Und konnte das nicht unzitiert dort liegen lassen. Also eher offtopic nur zum Spaß mal.
Auch das sieht viel schlimmer aus als es ist: konstante Polynome sind "trivial" und völlig uninteressant; dass man diese ausschliesst ist ok. Schliesslich "soll" ein Polynom ein Ding sein, in dem wenigstens ein x vorkommt, dieses aber nur nur in Potenzen und mit Vielfachen, also:
x^n + a*x^(n-1) + b*x^(n-2) + ... + r*x^2+ s*x + t*1.
Die Menge dieser Ausdrücke nennt man K[X].
Eine "doppelte" Nullstelle liegt vor, wenn an dieser Stelle auch die erste Ableitung den Wert 0 hat.
Eine "dreifache" Nullstelle liegt vor, wenn an dieser Stelle auch die erste Ableitung den Wert 0 hat und auch die zweite Ableitung den Wert 0 hat.
u.s.w.
Ein Polynom heisst irreduzibel, wenn es sich nicht in "kleinere" Polynome ausspalten lässt.
Beispielsweise ist das Polynom x^2 - 4
nicht irreduzibel, denn man kann es schreiben als Produkt (x + 2) * (x - 2).
Die Idee hinter diesen ganzen Dingen ist die, dass man eben gerne möchte, dass man ein Polynom schreiben kann als:
(x-Nullstelle1) * (x-Nullstelle2) * (x-Nullstelle3) * ... * (x-Nullstelle_n), also als Produkt von Faktoren, in denen x nur in der ersten Potenz vorkommt.
Und wie und wann das geht, das wird eben durch Sätze wie dem durch Dich zitierten "geregelt".
Tatsächlich macht es Spass, sich mit solchen Dingen zu beschäftigen, wenn man ein gutes Lehrbuch hat. Sonst ist es der Horror.
Ach ja - algebraische Abgeschlossenheit liegt dann vor, wenn die Nullstellen der Polynome nicht einer umfassenderen Menge entstammen als seine Koeffizienten.
Was soll das schon wieder ? - Betrachte das Polynom x^2-2. Seine Koeffizienten sind beides rationale Zahlen, doch die Nullstellen sind Quadratwurzel 2 und - Quadratwurzel 2, und das sind keine rationalen Zahlen.
Die Menge aller Nullstellen, die man mit Polynomen, deren Koeffizienten rationale Zahlen sind, erreichen kann, heissen algebraische Zahlen. Man kann zeigen, dass diese Menge der algebraischen Zahlen ebenfalls einen Körper bilden. Wenn man diese algebraischen Zahlen auch als Koeffizienten verwendet, so kommt nichts neues hinzu, d.h. der Körper der algebraischen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen.
Diese Körper spielte historisch eine enorme Rolle, weil der eigentlich alle Zahlen enthielt, die man "kannte"; die imaginäre Einheit i ist als Nullstelle des Polynomes x^2 + 1 übrigens ebenfalls eine algebraische Zahl. Zwar vermutete man früh, dass Zahlen wie die Euler'sche Zahl und pi nicht dazu gehören, aber der Nachweis gelang erst im späten 19.Jahrhundert. Mit diesem Nachweis war übrigens auch das Jahrtausende alte Problem der Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises bewiesen.
Jetzt habe ich etwas aus dem Nähkästchen geplaudert, das kannst Du nun alles wieder getrost vergessen.
Freundliche Grüsse, Ralf
