Bilinearformen und Skalarprodukte für Dummies

[ralfkannenberg]

sobald Du wieder Zeit hast, kannst Du das bitte nochmal mit anderen Worten erklären,denn exakt diesen Ausschnitt habe ich überhaupt nicht verstanden, auch wenn die Winkel gleich sein sollen.

Ich fasse mein hier erlerntes Verständnis dazu einmal grob zusammen:
Die Vektoren hier entspringen dem Koordinaten-Ursprung und enden an den benannten Koordinaten. Bei zwei Vektoren haben wir also 2 Winkel, die auch gleich sein können (bei 180°) und gemeinsam einen Vollkreis (360°) bilden. Ein Winkel kann auch Null sein, dann ist der andere 360 Grad. Aber wie lange die Vektoren/Strecken/Linien/"abgeschnittenen Geraden" sind, oder ob es unendlich lange Strahlen sind, spielt für die Winkel doch keine Rolle? Irgendwie meintest Du etwas anderes, vermute ich mal schwer, nur was? Jedenfalls bilden die Vektoren doch die Schenkel des Winkels, der Winkel.

Hallo Dgoe,

es ist alles richtig was Du schreibst. Lies noch mal durch, was ich geschrieben habe; ich denke weiterhin, dass wir dasselbe schreiben.

Zur konkreten Winkelbestimmung aber bitte erst etwas später.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[ralfkannenberg]

Hallo Dgoe,

Ja, sehen sich zum Verwechseln ähnlich

Also, das heißt:
B{r,s} [ (a1,b1) , (c,d) ] + B{r,s} [ (a2,b2) , (c,d) ] = B{r,s} [ (a1,b1)+(a2,b2) , (c,d) ]

Klasse !!!

Ich kann mir das aktuell allerdings geometrisch noch nicht vorstellen.

Das macht doch nichts, oder ?

Ok, ich verstehe schon, dass Du Dir gerne etwas geometrisches vorstellen möchtest, aber das war gar nicht mein Ziel. Ziel war, die Gültigkeit dieser Gleichung nachzuweisen. Vielleicht fällt mir noch eine gute Vorstellung hierzu ein.

Ich habe noch eine Aufgabe für Dich (insgesamt sind es 4 Stück, aber Aufgabe 3 und 4 sind einfacher):

Was ist B{r,s} [ (a,b) , (c1,d1)+(c2,d2) ] ?

Du kannst diese Aufgabe völlig trivial lösen; aus meiner eigenen Erfahrung würde ich aber empfehlen, sie nochmals explizit auszurechnen und erst hinterher zu schauen, wie es auch einfacher geht.

Grund: Erstens ist eine explizite Nachrechnung immer ein sehr starkes Argument und zweitens bekommt man so auch Routine, weil man aktiv etwas macht und nicht nur passiv etwas nachvollzieht. Man ist auf diese Weise "mehr" überzeugt.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

Hallo Ralf,

... ich denke weiterhin, dass wir dasselbe schreiben.

Ja dann, prima.

Klasse !!!

Danke.

Das macht doch nichts, oder ?

Nö.

Ok, ich verstehe schon, dass Du Dir gerne etwas geometrisches vorstellen möchtest, aber das war gar nicht mein Ziel. Ziel war, die Gültigkeit dieser Gleichung nachzuweisen. Vielleicht fällt mir noch eine gute Vorstellung hierzu ein.

Jaaaa, ich liebe Geometrie. Aber mach so wie Du denkst (das geht wohl nur in einem Forum, ich stelle mir vor, man sagt letzteres zu einem Prof oder Lehrer, haha).

Was ist B{r,s} [ (a,b) , (c1,d1)+(c2,d2) ] ?

x^2+\,y*z/s-(c2*d1)ab/0

ok, sorry, der musste mal sein, ich arbeite dran.

Du kannst diese Aufgabe völlig trivial lösen; aus meiner eigenen Erfahrung würde ich aber empfehlen, sie nochmals explizit auszurechnen und erst hinterher zu schauen, wie es auch einfacher geht.

Aye aye, Sir. Hoffentlich geht mir hier meine Erinnerung meines Schulwissens nicht irgendwann aus, bitte Ralf, wenn mir mal die einfachsten Dinge nicht mehr klar sind, habe Mitleid, (lacht alle) und hilf mir dann trotzdem, ja?

Ich habe zwischenzeitig auch weniger Zeit, ich schlage vor, zum Beispiel jetzt, nachdem die Aufgabe gestell ist, dass ich nicht rein schaue bis meine Lösung vorliegt und ich diese schon gepostet habe. Genau so könnten auch andere vorgehen, die mitmachen wollen. Das kann zwar ein bisschen kreuz und quer werden, aber bestimmt nicht wesentlich unübersichtlicher, als normale Posts eh schon oft sind in den Threads. Ralfs Tempo ist letztendlich maßgebend. Und für Vorprescher wie mich aktuell (ich bin motiviert+hatte Zeit) gibt es ja auch Beruhigungspillen in Form von zusätzlichen Aufgaben (willkommen aus meiner Perspektive), auch wenn diese aufeinander aufbauen.

Ist doch ok so Ralf, oder?

Ich klinke mich für heute aus. (Für jeden, der mitmachen möchte, würde mich freuen, und will auch nicht im Weg stehen).

Gruß,
Dgoe

 

[ralfkannenberg]

Jaaaa, ich liebe Geometrie. Aber mach so wie Du denkst (das geht wohl nur in einem Forum, ich stelle mir vor, man sagt letzteres zu einem Prof oder Lehrer, haha).

Hallo Dgoe,

erinnere mich bitte daran, wenn ich kein anschauliches Beispiel liefere. Letztlich läuft es darauf hinaus, dass wenn einer der beteiligten Vektoren z.B. doppelt so lang ist, dass dann auch die B-Funktion doppelt so gross wird. Das ist doch auch etwas, oder ?

Aye aye, Sir. Hoffentlich geht mir hier meine Erinnerung meines Schulwissens nicht irgendwann aus, bitte Ralf, wenn mir mal die einfachsten Dinge nicht mehr klar sind, habe Mitleid, (lacht alle) und hilf mir dann trotzdem, ja?

Aber ... - Du hast es doch schon bei Aufgabe 1 korrekt gemacht. Die Aufgabe 2 ist doch völlig analog, d.h. wenn Du Aufgabe 1 lösen konntest so kannst Du doch völlig analog mit denselben Mitteln auch die Aufgabe 2 lösen.

Ich habe zwischenzeitig auch weniger Zeit, ich schlage vor, zum Beispiel jetzt, nachdem die Aufgabe gestell ist, dass ich nicht rein schaue bis meine Lösung vorliegt und ich diese schon gepostet habe.

Du profitierst am meisten davon, wenn Du Aufgabe 2 löst. Wenn Dir die Zeit fehlt notfalls per Copy/Paste von Aufgabe 1 und Anpassung an die Aufgabenstellung der Aufgabe 2. Es wäre irgendwie schade, wenn Du den 5000 m-Lauf zwei Meter vor dem Ziel in aussichtsreicher Position liegend ohne Not aufgibst.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[sanchez]

Hallo Ralf,

?

Freundliche Grüsse, Ralf

um die erste und zweite Komponente des zweiten Vektors zu bekommen, muss ich doch c1 und c2 addieren, ebenso für die zweite d1+d2.

daraus habe ich: B{r,s} [ (a,b) , (c1,d1)+(c2,d2) ] = B{r,s} [(a,b) , ((c1+c2),(d1+d2)) ] = r*a*(c1+c2) + s*b* (d1+d2)

Viele Grüsse
sanchez

 

[ralfkannenberg]

um die erste und zweite Komponente des zweiten Vektors zu bekommen, muss ich doch c1 und c2 addieren, ebenso für die zweite d1+d2.

daraus habe ich: B{r,s} [ (a,b) , (c1,d1)+(c2,d2) ] = B{r,s} [(a,b) , ((c1+c2),(d1+d2)) ] = r*a*(c1+c2) + s*b* (d1+d2)

Hallo sanchez,

das ist richtig; wie beim #16 stellt sich auch hier die Frage, warum ich das wissen will bzw. warum ich das als Aufgabe gestellt habe.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[sanchez]

Hallo Ralf,

zu #16
wenn man drei Vektoren hat (a,b,c) und man will die Summe zweier Bilinearitäten ermitteln (wobei ein Vektor in beiden B-Fkt. vorkommt)

z.B. B{r,s} ( Vektor a, Vektor c) + B{r,s} (Vektor b, Vektor c)

Kann ich das durch eine Bilinearität ersetzen: B{r,s} ( (Vektor a + Vektor b), Vektor c)


Viele Grüsse
sanchez

 

[sanchez]

Hallo sanchez,

das ist richtig; wie beim #16 stellt sich auch hier die Frage, warum ich das wissen will bzw. warum ich das als Aufgabe gestellt habe.


Freundliche Grüsse, Ralf

Zu #26
Das ist ja rückwärtsgerechnet #26 zu #16 vielleicht damit man sieht, das man bei einer gegebenen Bilinearität einen Vektor durch eine Summe von Vektoren darstellen kann und daraus dann mehrere Bilinearitäten herleiten kann (je nach Anzahl der Vektoren n, n-1 Bilinearitäten wenn ein Vektor in allen B-s vorkommt).

Viele Grüsse
sanchez

 

[ralfkannenberg]

zu #16
wenn man drei Vektoren hat (a,b,c) und man will die Summe zweier Bilinearitäten ermitteln (wobei ein Vektor in beiden B-Fkt. vorkommt)

z.B. B{r,s} ( Vektor a, Vektor c) + B{r,s} (Vektor b, Vektor c)

Kann ich das durch eine Bilinearität ersetzen: B{r,s} ( (Vektor a + Vektor b), Vektor c)

Hallo sanchez,

bitte eines nach dem anderen. Lass uns über "Bilinearitäten" sprechen wenn wir soweit sind, denn dann liegt es auf dem goldenen Tablett präsentiert. Statt dessen stochern wir jetzt nach dem Rate- und Intuitionsverfahren auf Laien-Niveau im Dunkeln herum, was kaum zu sinnbringenden Ergebnissen führen wird.

Der Schlüssel wird in den Aufgaben 1-4 liegen, von denen die erste bereits korrekt gelöst wurde. Momentan sind wir an der Aufgabe 2.

Deine Gleichung ist natürlich richtig, das ist ja die Aufgabe 1, aber das hat nichts mit "Bilinearität" zu tun.

Was Du aber mal spasseshalber machen kannst: wende Deine Frage auf Aufgabe 2 an.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[ralfkannenberg]

Was Du aber mal spasseshalber machen kannst: wende Deine Frage auf Aufgabe 2 an.

Also das ist Mathematiker-Deutsch und heisst auf Hochdeutsch:

"Wenn Du zwanglos etwas lernen möchtest, dann ..."


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

Was ist B{r,s} [ (a,b) , (c1,d1)+(c2,d2) ] ?

ra(c1+c2)+sb(d1+d2)

 

[Dgoe]

Hallo Ralf,

wo finde ich Aufgabe 2? Ich kann sie nicht finden.
Ja, die Analogie der Aufgabe 1 zur vorherigen, hatte ich gesehen, habe auch wieder etwas Zeit heute.
Ich meinte nur dass, sobald ich mal eine Regel vergessen habe, kann ich doch fragen, auch wenn Basics?

Gruß,
Dgoe

 

[Bernhard]

ra(c1+c2)+sb(d1+d2)

Hallo Dgoe,

damit hast du Aufgabe 2 gelöst.
MfG

 

[Bernhard]

Ich meinte nur dass, sobald ich mal eine Regel vergessen habe, kann ich doch fragen, auch wenn Basics?

Fragen ist sicher immer besser, als unbewiesenen Unsinn zu behaupten und das soll ja bisweilen schon mal vorgekommen sein (da meine ich nicht dich) .

 

[ralfkannenberg]

wo finde ich Aufgabe 2? Ich kann sie nicht finden.

Hallo Dgoe,

sorry, ich habe die Aufgaben nur in meinem Kopf durchnummeriert ...

Aufgabe 1:
B{r,s} [ (a1,b1)+(a2,b2) , (c,d) ] = ?
B{r,s} [ (a1,b1) , (c,d) ] + B{r,s} [ (a2,b2) , (c,d) ] = ?

Ergebnis:
B{r,s} [ (a1,b1)+(a2,b2) , (c,d) ] = ... = B{r,s} [ (a1,b1) , (c,d) ] + B{r,s} [ (a2,b2) , (c,d) ]

Aufgabe 2:
B{r,s} [ (a,b) , (c1,d1)+(c2,d2) ] = ?

Die hast Du nun schon in # 31 korrekt gelöst. Trotzdem fehlt mir noch etwas - siehst Du es ?

Ja, die Analogie der Aufgabe 1 zur vorherigen, hatte ich gesehen, habe auch wieder etwas Zeit heute.

Super ! Kannst Du mir diese Analogie aufschreiben ?

Ich meinte nur dass, sobald ich mal eine Regel vergessen habe, kann ich doch fragen, auch wenn Basics?

Immer ungeniert nachfragen.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

@Bernhard: Danke, Bernhard. Super formuliert. Gruß!

@Ralf:

sorry, ich habe die Aufgaben nur in meinem Kopf durchnummeriert ...

Ja ich auch, nur anders, etwas daneben,

Ich habe noch eine Aufgabe für Dich (insgesamt sind es 4 Stück, aber Aufgabe 3 und 4 sind einfacher):

Habe bei dieser als erste von vier neu angefangen zu zählen. Aber jetzt ist klar: 3 und 4 fehlen also noch.

Super ! Kannst Du mir diese Analogie aufschreiben ?

B{r,s} [ (a,b) , (c1,d1)+(c2,d2) ] = ... = B{r,s} [ (a,b) , (c1,d1) ] + B{r,s} [ (a,b) , (c2,d2) ]

analog zu vorher:

B{r,s} [ (a1,b1)+(a2,b2) , (c,d) ] = ... = B{r,s} [ (a1,b1) , (c,d) ] + B{r,s} [ (a2,b2) , (c,d) ]

Immer ungeniert nachfragen.

Okay

 

[ralfkannenberg]

Aber jetzt ist klar: 3 und 4 fehlen also noch.

Hallo Dgoe,

genau, aber wir sind noch nicht so weit.

B{r,s} [ (a,b) , (c1,d1)+(c2,d2) ] = ... = B{r,s} [ (a,b) , (c1,d1) ] + B{r,s} [ (a,b) , (c2,d2) ]

analog zu vorher:

B{r,s} [ (a1,b1)+(a2,b2) , (c,d) ] = ... = B{r,s} [ (a1,b1) , (c,d) ] + B{r,s} [ (a2,b2) , (c,d) ]

OK, die Analogie hast Du erkannt; das ist sehr wichtig - ja, es ist sogar der Fokus unserer Überlegungen. Jetzt musst Du es mir nur noch vorrechnen, dass das auch wirklich analog ist.

Lass und dabei systematisch vorgehen:
1. was genau ist noch zu zeigen ?
2. und dann: welche konkrete Rechnung ist noch ausstehend ?


Lass Dir Zeit für die Antworten, Du wirst später davon profitieren, wenn Du hier etwas pedantischer als sonst vorgehst.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Bernhard]

Lass Dir Zeit für die Antworten, Du wirst später davon profitieren, wenn Du hier etwas pedantischer als sonst vorgehst.

Hallo Ralf,

ich hoffe nur, dass Du mit dieser "Ratestunde" Dgoe nicht überforderst. Ich persönlich schätze nämlich die Methode "Vor- und Nachmachen" auch eher. Lösungen zu erraten fördert zwar die Kreativität, ist in Verbindung mit Zeitdruck (den man sich auch selber machen kann) aber auch ziemlich belastend und anstrengend und im Negativfall sogar frustrierend.

Nur so als Idee.
Schönen Gruß

 

[Dgoe]

Hallo Ralf,

ich nehme an, du meinst, dass die Analogie noch nicht durch die Berechnung von B{r,s} [ (a,b) , (c1,d1) ] + B{r,s} [ (a,b) , (c2,d2) ] bewiesen ist, nicht wahr?

B{r,s} [ (a,b) , (c1,d1) ] + B{r,s} [ (a,b) , (c2,d2) ]=
(rac1+sbd1)+(rac2+sbd2)=
rac1+sbd1+rac2+sbd2=
rac1+rac2+sbd1+sbd2=

ra(c1+c2)+sb(d1+d2)

passt zu s.o.

Gruß,
Dgoe

 

[ralfkannenberg]

Hallo Ralf,

ich nehme an, du meinst, dass die Analogie noch nicht durch die Berechnung von B{r,s} [ (a,b) , (c1,d1) ] + B{r,s} [ (a,b) , (c2,d2) ] bewiesen ist, nicht wahr?

B{r,s} [ (a,b) , (c1,d1) ] + B{r,s} [ (a,b) , (c2,d2) ]=
(rac1+sbd1)+(rac2+sbd2)=
rac1+sbd1+rac2+sbd2=
rac1+rac2+sbd1+sbd2=

ra(c1+c2)+sb(d1+d2)

passt zu s.o.

Gruß,
Dgoe

Hallo Dgoe,

doch, damit ist es nun hieb- und stichfest bewiesen. Perfekt

Damit hast Du den noch ausstehenden Schritt getätigt und Aufgabe 2 ist vollständig gelöst.


Freundliche Grüsse, Ralf