Danke für die Korrektur! Du bist Mathematiker, und ich habe - leider - mit Mathe nichts am Hut.
Hallo Orbit,
erst vor 1 Woche wurden mir meine Unzulänglichkeiten drastisch vor Augen geführt; meine Freundin wollte ein Kohlendioxid-Molekül modellieren und dazu brauchte man nur die Formel für eine Kugel, deren Kappe abgeschnitten wurde (das ist dann im Grunde genommen der Bereich, wo sich das Kohlenstoffatom und eines der Sauerstoffatome überlappen). Also hat mich der Ehrgeiz gepackt, aber nach 1 Stunde musste ich also jämmerlich kapitulieren. Sowas haben wir mal gemacht, das war 1980 .......
Idee: Buchhandlung; mit 2 Büchern im Wert von 50 Euro bewaffnet habe ich mich also ins stille Kämmerchen zurückgezogen; eine Stunde später war mir die Herleitung "gelungen" und noch eine Stunde später konnte ich ihr dann die SMS schreiben - die Formel in Deiner Arbeit ist ok .......
Für die einfachsten Formeln der SRT reichts gerade noch, bei deren Herleitung muss ich aber passen.
Nicht einschüchtern lassen, das ist nur ein linearer Ansatz. Und Einstein's berühmte Arbeit ist sogar recht anschaulich geschrieben !
Und die Bezeichnungen der verschiedenen Zahlen und Zahlenmengen bringe ich immer wieder durcheinander. Vielleicht wäre ein erster bescheidener Schritt, diese Situation zu verbessern, der, dass ich nun mal den Unterschied zwischen irrationalen und nicht-reellen Zahlen zu verstehen versuche.
Herzliche Grüsse
Orbit
Wenn ich jemandem sowas erklären soll, fange ich mit den 4 Grundrechenarten an.
1 Grundrechenart, Addition:
Das geht mit den natürlichen Zahlen
2 Grundrechenarten, Addition+Subtraktion:
Das geht mit den ganzen Zahlen (d.h. natürliche Zahlen, 0 und die negativen ganzen Zahlen); man nennt so eine Struktur auch
Gruppe
3 Grundrechenarten, Addition+Subtraktion+Multiplikation:
Das geht auch mit den ganzen Zahlen; man nennt so eine Struktur auch
Ring
4 Grundrechenarten, Addition+Subtraktion+Multiplikation+Division:
Das geht mit den rationalen Zahlen, also den positiven Brüchen, der 0 sowie den negativen Brüchen. Da man Brüche erweitern und kürzen kann, kann man sie auch addieren; man nennt so eine Struktur auch
Körper
Bemerkung: Man kann nicht durch 0 dividieren.
Und nun ? - Schon lange weiss man, dass die Quadratwurzel aus 2 kein Bruch sein kann, d.h. diese Menge der rationalen Zahlen kann noch erweitert werden.
Da gibt es 2 Typen Erweiterungen:
1. algebraische Erweiterung: Hinzunahme der Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten
Nicht erschrecken, das tönt schlimmer als es ist; diese Polynome kann man studieren (macht man im 3.Semester) und die bilden eigentlich eine sehr schöne und einfache Menge; nehmen wir 4 ganz einfache Beispiele:
x^2 - 2 = 0 -> Nullstellen sind die Quadratwurzel aus 2 (und auch -Wurzel(2))
x^2 - 3 = 0 -> Nullstellen sind die Quadratwurzel aus 3 (und auch -Wurzel(3))
x^3 - 2 = 0 -> Nullstellen ist unter anderem die Kubikwurzel aus 2 (sowie zwei komplexe Zahlen im Winkel von +/- 120°)
x^2 + 1 = 0 -> Nullstellen sind die Quadratwurzel aus -1 (und auch -Wurzel(-1))
Letztere ist keine reelle Zahl, kann aber formal definiert werden.
Diese Menge führt zu den algebraischen Zahlen.
Mengentheoretisch kann man jeder algebraischen Zahl bijektiv eine natürliche Zahl zuordnen, d.h. die Menge der algebraischen Zahlen ist
abzählbar unendlich.
2. analytische Erweiterung: Hinzunahme der Grenzwerte aller konvergenten Folgen mit rationalen Gliedern
Nun kann man aber mengentheoretisch zeigen, dass die Menge aller reellen Zahlen überabzählbar unendlich ist, also "umfassender". Diese Menge der reellen Zahlen kann man erreichen, indem man
alle konvergenten Folgen rationaler Zahlen betrachtet; beispielsweise ist die hochgradig irrationale (und sogar nicht-algebraische) Zahl pi trotzdem durch die Folge {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415 ...} beliebig genau approximierbar und diese Folgenglieder sind alle rationale Zahlen, nämlich 3, 31/10, 314/100, 3141/1000, 31415/10000 usw.
Nun zu Deiner Frage:
Irrational sind diejenigen Zahlen, die nicht rational sind. Üblicherweise versteht man darunter die in (1) definierten Zahlen, die reell, aber nicht rational sind; beispielsweise Wurzel(2), Wurzel(3) oder Kubikwurzel(2); aber auch die Euler'sche Zahl e, die Kreiszahl pi, fast alle Logarithmen, Sinus/Cosinus usw.; indes würde - zumindest ich - die Wurzel(-1) nicht als "irrational" bezeichnen.
Nicht-reell sind diejenigen komplexen Zahlen, die nicht in (2) liegen.
Und was sind
komplexe Zahlen ?
Das sind alle Zahlen, die sich in der Form r + Wurzel(-1)*s schreiben lassen, mit r und s beides reelle Zahlen.
Diese komplexen Zahlen sind (bis auf Isomorphie) der
grösst-mögliche Körper überhaupt !
Freundliche Grüsse, Ralf
