Amalthea schrieb:
für mich ist die Aussage "Ich lüge immer" auch falsch.
Folgende Überlegungen sollen zeigen welchen Wahrheitswert die Aussage "Ich lüge immer" haben kann:
1) Angenommen diese Aussage ist wahr. Dann lüge ich immer. Dann muss auch diese Aussage eine lüge sein, d.h. sie muss falsch sein.
2) Angenommen diese Aussage ist falsch. Dann muss sie wahr sein, denn sie behauptet ja gerade, dass sie eine Lüge ist, also falsch ist.
1) Wenn sie aber wahr ist, dann ist es auch wahr dass sie eine Lüge ist. D.h. sie muss falsch sein.
2) Ist sie aber falsch so muss sie wahr sein, weil sie ja gerade das behauptet.
1) Ist sie wahr, so ist es auch wahr dass diese aussage eine Lüge ist und somit wäre sie falsch.
2) Ist sie aber falsch, so stimmt ja das was sie behauptet, womit sie wahr wäre.
1) Ist sie aber wahr.....
Nun, ist diese Argumentation aus folgendem Grund nicht ganz überzeugend:
Ich habe gesagt dass die Aussage "Ich lüge immer!", wenn sie eine Lüge ist, wahr ist, denn dann sagt sie ja gerade aus dass sie eine Lüge ist. Das stimmt nicht ganz, denn sie behauptet dass ich immer lüge und nicht nur dass diese Aussage eine Lüge ist. Wir haben aber nur angenommen dass diese Aussage falsch ist. Wir können so ohne weiteres nicht sagen ob es wahr ist dass ich immer lüge. Vielleicht hab ich jemanden Umgebracht und hab das dann geleugnet. Wir haben nur eine Annahme gemacht, darüber ob diese Aussage wahr oder falsch ist. "Ich lüge immer" sagt jedoch etwas über den Wahrheitswert von allen Aussagen etwas die ich in meinem ganzen Leben gemacht hab. Ich könnte ja mein ganzes Leben lang immer die Wahrheit sagen und nur bei der Aussage "Ich lüge immer!" lügen! Dann könnte diese Aussage schon mal nicht wahr sein, da ich ja zumindest die ganzen anderen Male wo ich den Mund aufgemacht hab, die Wahreit gesagt hab. Angenommen diese Aussage ist falsch, dann ist zwar ein Teil von dem was sie besagt wahr, also der dass ich dieses mal lüge, doch ist es nicht wahr dass ich die ganzen anderen male gelogen hab.
Es stimmt zwar dass aus der Annahme "Ich lüge immer!" sei eine wahre Aussage ein Widerspruch folgt, doch aus der Annahme sie sei falsch, folgt kein wiederspruch, denn die Aussage wird nicht automatisch dadurch wahr dass sie besagt sie wäre falsch, denn man kann nicht wissen ob die ganzen anderen Aussagen die ich in meinem Leben gemacht hab, wahr sind, was die Aussage ja behauptet.
Somit ist die Aussage "Ich lüge immer!" zwangsläufig eine falsche Aussage! Und somit keine gute Analogie zu Gödels Satz.
Bei folgenden Aussagen kann man aber wirklich nicht entscheiden ob sie wahr oder falsch sind:
1) Ich lüge jetzt gerade!
2) Diese Aussage ist falsch!
3) Die Russelsche Menge enthält sich selbst als Element!
4) Die Russelsche Menge enthält sich selbst nicht als Element!
Zu Aussage 3:
Die Russelsche Menge ist übrigens die Menge aller Mengen die sich nicht selbst als Elemente ethalten.
1) Nimmt man an dass Aussage 3 wahr ist, so muss die Russelsche Menge sich selbst als Element enthalten. Dann aber kann es nicht sein dass es sich um die Russelsche Menge handelt da dies ihrer Definition wiederspricht! Wenn sie ein Element von sich selbst ist, wie Aussage 3 behauptet dann stimmt es nicht dass sie nur solche Mengen enthällt die sich nicht selbst als Element enthalten, denn Aussage 3 behauptet ja gerade dass sie ein Element von sich selbst ist. Also muss Aussage 3 falsch sein, denn sie führt zu einem Widerspruch.
2) Nimmt man an dass Aussage 3 falsch ist, so kann die Russelsche Menge sich selbst NICHT als Element ethalten. Dann aber kann es nicht sein dass es sich um die Russelsche Menge handelt, da sie dann nicht vollständig wäre. Wenn sie kein Element von sich selbst ist, dann kann es nicht die Russelsche Menge sein, denn sie sollte alle Mengen enthalten die sich selbst nicht als Elemente enthalten. Wenn sie sich selbst nicht enthält kann es nicht die Russelsche Menge sein, da dies ihrer Definition wiedersprechen würde. Aussage 3 muss folglich wahr sein, da die Annahme dass sie falsch ist zu einem widerspruch führt.
1) Nimmt man an dann Aussage 3 wahr ist, so ...
u.s.w.
Zu Aussage 4: "Die Russelsche Menge enthält sich selbst nicht als Element!"
1) Nimmt man an dass Aussage 4 wahr ist, so kann die Russelsche Menge sich selbst NICHT als Element ethalten. Dann aber kann es nicht sein dass es sich um die Russelsche Menge handelt, da sie dann nicht vollständig wäre. Wenn sie kein Element von sich selbst ist, dann kann es nicht die Russelsche Menge sein, denn sie sollte alle Mengen enthalten die sich selbst nicht als Elemente enthalten. Wenn sie sich selbst nicht enthält kann es nicht die Russelsche Menge sein, da dies ihrer Definition wiedersprechen würde. Aussage 3 muss folglich wahr sein, da die Annahme dass sie falsch ist zu einem widerspruch führt.
2) Nimmt man an dass Aussage 4 falsch ist, so muss die Russelsche Menge sich selbst als Element enthalten. Dann aber kann es nicht sein dass es sich um die Russelsche Menge handelt da dies ihrer Definition wiederspricht! Wenn sie ein Element von sich selbst ist, wie Aussage 3 behauptet dann stimmt es nicht dass sie nur solche Mengen enthällt die sich nicht selbst als Element enthalten, denn Aussage 3 behauptet ja gerade dass sie ein Element von sich selbst ist. Also muss Aussage 3 falsch sein, denn sie führt zu einem Widerspruch.
1) Nimmt man an dass Aussage 4 wahr ist, so ...
u.s.w.
Ubrigens kann man die Russelsche Menge in Symbolen so ausdrücken.
J = {M | ~ M є M }
Auf deutsch: Die Russelsche Menge J ist die Menge aller Mengen M für die gilt ( | ), dass es nicht gilt (~), dass sie ein Element (є ) von sich selbst sind.
Man könnte aber auch die durchgestrichene Version von einem "є" verwenden statt "~".
Schöne Grüße,
Sky.