Gödels Satz
Amalthea schrieb:
Auch auf die Gefahr, dir auf den Geist zu gehen, was bedeutet P_k(k)? Also, wofür steht P wofür k und wie liest man die Formel ausgesprochen.
P_k(k) ist "die kte Aussage, angewendet auf die Natürliche Zahl k". P bedeutet "Aussage", wärend k die Nummer der Aussage ist. Wir nummerieren alle Aussagen mit einer bestimmten maximalen Länge durch. Wir müssen den Aussagen natürliche Zahlen zuordnen. Dazu können wir eine alphabetische Ordnung für alle Symbolfolgen des formalen Systems, die eine bestimmte Länge aufweisen, sowie eine Gesamtordnung für die Länge der Zeichenfolge verwenden.
Ein Beispiel: Wären die uns zur Verfügung stehenden Symbole keine mathematischen Zeichen, sondern einfach die Buchstaben des Alphabets und zusätzlich das Leerzeichen "_" so könnten wir die möglichen "Sätze" die wir damit schreiben können, folgendermaßen durchnummerieren:
Wir würden erst alle "Sätze" die aus einem Buchstaben bestehen durchnummerieren, dann die die aus zwei Buchstaben bestehen, dann aus drei Buchstaben, u.s.w. Die meisten so konstruierten Sätze, sind keine korrekten Sätze, d.h. ihre Wörter existieren in der deutschen Sprache nicht, d.h. sie haben dort keine Bedeutung. Auf grammatikalische Zeichen wie ",", ".", "?", """, "(", ")", u.s.w. verzichte ich hier mal der Einfachheit halber. Unsere Auflistung könnte dann so aussehen:
1) A 2) B 3) C 4) D ... 26) Z 27) _
28) AA 29) AB 30) AC 31) AD 32) AE ... 53) AZ 54) A_
55) BA 56) BB 57) BC ...
In der bisherigen Liste kam noch keine Sinnvolle Aussage heraus. Führt man die Liste jedoch weiter, werden auch sinnvolle Aussage auftauchen.
Das ganze kann man auch mit mathematischen Symbolen durchführen und kann man dann auch mathematische Aussagen durchnummerieren. Bei dieser Auflistung werden auch zweifellos viele Aussagen auftauchen die gar keinen Sinn machen - etwa "a = >" oder "Menge M ist Element von 3". Neben diesen Sinnlosen Aussagen gibt es einige die Sinn machen, aber dennoch falsch sind. Etwa 3*4 = 100. Es gibt dann noch einige Aussagen die einen sinn ergeben und zusätzlich wahr sind - etwa 3+4=7 oder a+b=b+a.
In dieser lexographischen Ordnung ist "~Ex[Π_x beweist P_k(k)]" eben die kte Aussage, angewendet auf die natürliche Zahl k. Wir nennen diese Aussage P_k(k). Die allgemeine Aussage P_k enthällt eine Variable w. Man hat also eine Liste von P_k-Aussagen:
~Ex[Π_x beweist P_k(1)]
~Ex[Π_x beweist P_k(2)]
~Ex[Π_x beweist P_k(3)]
Mal angenommen P_k wäre die 11342456ste Aussage, dann könnten wir auch schreiben:
~Ex[Π_x beweist P_11342456(1)]
~Ex[Π_x beweist P_11342456(2)]
~Ex[Π_x beweist P_11342456(3)]
Jetzt betrachten wir den Fall k = w, dann haben wir:
~Ex[Π_x beweist P_11342456(11342456)] = P_k(k), wobei k = 11342456.
Und das bedeutet: "Es gibt innerhalb des formalen Systems keinen Beweis für diese Aussage." Dabei meint die Aussage sich selbst!
Ich versuche dir das mal mit einer Analogie klarer zu machen:
1) Ich sage (etwas über Homer) = "Tim lügt immer"
2) Ich sage (etwas über Jimmy) = "Jimmy lügt immer"
3) Ich sage (etwas über mich) = "Ich lüge immer!"
Der wahrheitswert der ersten beiden Aussagen lässt sich problemlos entscheiden. Die dritte Aussage ist selbstbezogen und daher unentscheidbar.
Ganz analog können wir das auch mit Sybolen ausdrücken. Dabei soll J für Jimmy stehen, H für Homer, T für Tim und I für Ich. Die Aussageform "x lügt immer!" können wir etwa die Nummer 124135 zuordnen. Dann schreiben wir:
1) I_124135(H) = Tim lügt immer
2) I_124135(J) = Jimmy lügt immer
3) I_124135(I) = Ich lüge immer
Vielleicht ist es jetzt ein bisschen klarer geworden. Meine erklärung war vielleicht ein bisschen chaotisch. Wenn du es noch nicht verstanden hast, kannst du ja gerne noch fragen stellen. Ich erkläre es gerne nochmal.
Schöne Grüße,
Sky.