Superposition?

[TomS]

Wieso "vermeintlich"? Die Existenz von Energieeigenwerten und damit stationären Lösungen ist in der Tat genau das Merkmal der Quantenmechanik, das die Stabilität erklärt. Fertig. Irgendwelche Umwege in der Argumentation, dass die stationäre Ladungsverteilung nämlich auch klassisch nicht strahlen würde, sind mir noch nicht untergekommen und auch nicht nötig.

Ich denke, du hast den Kern der Argumentation nicht verstanden.

(1) Die klassische E-Dynamik besagt, dass das System "Atomkern + Elektron + el. -mag. Feld" instabil ist.
(2) In der Natur beobachten wir, dass dieses System stabil ist.
(3) Die QM besagt lediglich, dass das System "Atomkern + Elektron" stabil ist.

(3) ist ein Indiz, aber kein Beweis; (3) beschreibt ein anderes, reduziertes System, in dem kein dyn. el.-mag. Feld vorkommt. Der Grundzustand des Atoms wird ohne dyn. el.-mag. Feld berechnet; wer sagt denn, dass das System "Atomkern + Elektron + el. -mag. Feld" auch in der vollen QED einen stabilen Grundzustand hat?

 

[Ich]

(3) Die QM besagt lediglich, dass das System "Atomkern + Elektron" stabil ist. [...]
(3) beschreibt ein anderes, reduziertes System, in dem kein dyn. el.-mag. Feld vorkommt.

Sehe ich nicht so. Sicher, das Feld ist nicht quantisiert, von daher ist das natürlich nicht die vollständige Lösung. Aber es ist die quantenmechanische Beschreibung des Wasserstoffatoms inklusive EM-Feld. Und stabil.
Sorry, ich bin keine große Leuchte in Quantenmechanik, aber diese Gleichungen der ersten Quantisierung habe ich selbst gelöst, vorwärts und rückwärts. Da ist das EM-Feld mit drin, als grundlegender Bestandteil. Natürlich ist die Theorieentwicklung weitergegangen und natürlich wird das Feld nicht mehr als "klassisches" Potential behandelt, aber trotzdem liefert die ursprüngliche Beschreibung eine statische Lösung der Aufenthaltswahrscheinlichkeiten im wechselseitigen EM-Potential. Du kannst nicht sagen, das sei nicht berücksichtigt gewesen.

 

[TomS]

Sicher, das Feld ist nicht quantisiert, von daher ist das natürlich nicht die vollständige Lösung. Aber es ist die quantenmechanische Beschreibung des Wasserstoffatoms inklusive EM-Feld ... Da ist das EM-Feld mit drin, als grundlegender Bestandteil.

Ich sagte nicht, dass kein el.-mag. Feld enthalten ist; ich sagte,

die QM beschreibt ein reduziertes System, in dem kein dynamisches el.-mag. Feld vorkommt.

Salopp formuliert fehlt der kinetische Term F[SUP]2[/SUP] des el.-mag. Feldes. Anders ausgedrückt, das System enthält keine anderen dynamischen Freiheitsgrade (Photonen), die überhaupt Energie tragen könnten. Der Beweis im Rahmen der QM ist letztlich ein Artefakt von Näherungen und damit letztlich wertlos.

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In der nicht-rel. QM ist das H-Atom (und andere viel-Elektronen-Atome) stabil, da der Hamiltonoperator selbstadjungiert ist und nach unten beschränkt, d.h. es existiert ein Grundzustand. Allerdings enthält die QM keine Kopplung an dynamische el.-mag. Freiheitsgrade, weswegen diese Aussage nicht ausreichend für einen Beweis der Stabilität ist.

Man kann die nicht-rel. QM als tree-level Näherung der QED auffassen und dafür die Stabilität beweisen. In one-loop Näherung (inkl. Uehling Potential und Tomonoga Spin-Bahn Kopplung) kann man m.W.n. die Stabilität ebenfalls beweisen. Für viel-Elektronen-Atome in der rel. QM ist dies m.W.n. nicht möglich:
http://info.fuw.edu.pl/~derezins/dc_final.pdf

D.h. bereits für die einfachsten Atome wie das Heliumatom ist der Beweis der Stabilität in der nicht-rel. QM möglich, in der rel. QM jedoch nicht möglich. Ursache ist, dass die üblichen Eigenschaften für den Hamiltonoperator (nach unten beschränkt) nicht mehr zutreffen. D.h. dass bereits der Übergang von der rel. zur nicht-rel. QM die Eigenschaften bzgl. Stabilität verfälscht; die Stabilität kann als Artfakt der nicht-rel. Näherung aufgefasst werden (dies gilt bereits ohne Betrachtung dynamischer el.-mag. Felder und ist ein starker Hinweis darauf, dass die Theorie ernsthafte Probleme hat.

Letztlich müsste man die QED zur Anwendung bringen, aber das scheitert aus mehreren Gründen: Die Theorie kann zunächst nur störungstheoretisch gelöst werden; die Störungsreihe der QED ist jedoch divergent. Und nicht-störungstheoretisch können wir wohl nicht mal beweisen, dass die Theorie überhaupt existiert.

 

[Ich]

Doch.

Ein im vorgegebenen Feld kreisendes Elektron verliert Energie. Der Grundzustand des Elektrons im vorgegebenen Feld ist hingegen stabil.

Wobei "vorgegeben" ein polemischer Ausdruck ist. Wir reden von der Lösung der Schrödingergleichung inklusive des realen Felds. Das hängt auch von den Positionen der Teilchen ab.

Du versuchst, einen Unterschied zu kreieren, der da nicht ist. Die Teilchen "bewegen" sich im wechselseitigen Feld, das ist auch in der ersten Quantisierung so. Die Lösung ist stationär. Lehrbuch Ende.

Dass das Feld selbst quantisiert werden müsste hat damit nichts zu tun. Das heißt nur, dass diese "erste Quantentheorie" nicht vollständing, sprich: "falsch" ist. Ändert nichts daran, dass sie eine stationäre Lösung hat.

 

[TomS]

Wobei "vorgegeben" ein polemischer Ausdruck ist.

Nein, es ist der Unterschied zwischen einem nicht-dynamischen Hintergrundgeld und einem dynamischen Feld mit physikalischen Freiheitsgraden im Sinne der QFT.

Wir reden von der Lösung der Schrödingergleichung inklusive des realen Felds.

Die SGL enthält nicht das reale Feld, sondern nur den klassischen Anteil.

Du versuchst, einen Unterschied zu kreieren, der da nicht ist.

Lies bitte die entsprechende Literatur. Das ist nicht nur meine Idee.

Die Lösung ist stationär. Lehrbuch Ende.

Ja, Ende des Lehrbuchs, aber nicht Ende der Physik.

Ändert nichts daran, dass sie eine stationäre Lösung hat.

Ich habe nie bestritten, dass die nicht-rel. QM eine stationäre Lösung hat. Was ich aber bestreite ist, dass die QM die vollständige Theorie ist.

Bitte lies dir meinen Beitrag nochmal durch, ich habe ihn nochmal ergänzt.

Ich mach' mal ein anderes Beispiel: im Rahmen der Newtonschen Mechanik ist ein Zweikörperproblem (Erde - Mond) beweisbar stabil. Im Rahmen der ART ist es (wiederum in einer gewissen Näherung) beweisbar instabil (Gravitationswellen). Die Stabilität des Zweikörperproblems bei Newton beweist nicht, dass das reale System stabil ist, denn diese vermeintliche Stabilität ist lediglich ein Artefakt der Newtonschen Näherung.

 

[TomS]

Hallo Ich,

schau mal die folgenden Arbeiten inkl. Literaturverzeichnis an, damit du siehst, wie wenig die aktuell bekannten Theorien im Rahmen der QM - von der QED ganz zu schweigen - die Stabilität der Atome beweisen.

http://arxiv.org/pdf/math-ph/0401004.pdf
http://info.fuw.edu.pl/~derezins/dc_final.pdf

 

[Ich]

Bitte lies dir meinen Beitrag nochmal durch, ich habe ihn nochmal ergänzt.

Ah ok, das erklärt diesen Teil.

Salopp formuliert fehlt der kinetische Term F2 des el.-mag. Feldes. Anders ausgedrückt, das System enthält keine anderen dynamischen Freiheitsgrade (Photonen), die überhaupt Energie tragen könnten. Der Beweis im Rahmen der QM ist letztlich ein Artefakt von Näherungen und damit letztlich wertlos.

Sehe ich wie gesagt nicht so. Du argumentierst, dass die QM gar nichts zur Stabilität zu sagen hätte, weil sie keine "inelastischen" Interaktionen mit dem Feld modelliert.
Das stimmt aber nicht: die QM liefert gültige stationäre Lösungen. Und alleine die Existenz einer stabilen Lösung niedrigster (endlicher) Energie bedeutet, dass alle Wechselwirkungen, die von dieser Lösung weg führen, exotherm sein müssen. Dazu muss man nichts über ihre genaue Natur wissen und sie auch nicht modellieren.
Die Frage reduziert sich also darauf, ob denn aus der QM eine solche Lösung tatsächlich folgt. Dem ist m. E. so, die von dir zitierten Links sagen (soweit ich sie überflogen habe) auch nichts Gegenteiliges *. Einer weitere Frage ist, ob die gute alte QM auch im stationären Fall überhaupt gültig ist, insbesondere da sie ja nichtrelativistisch ist. Das scheint eine schwierigere Frage zu sein, betrifft meine Aussage aber nicht mehr: Wenn die QM im stationären Fall gilt und eine niedrigste stationäre Lösung liefert, dann beweist sie damit auch tatsächlich die Stabilität dieser Lösung, dazu brauche ich keine Theorie des Energieaustauschs mit dem Feld. Wenn die QM auch im stationären Bereich nicht gilt, dann ist sie eben falsch - und mit ihr der Beweis.

* Ich rede hier immer vom Wasserstoffatom als exemplarisches Beispiel, also effektiv ein Einteilchensystem. Ich sage nichts über eventuelle Probleme bei Vielteilchensystemen.

 

[TomS]

Du argumentierst, dass die QM gar nichts zur Stabilität zu sagen hätte, weil sie keine "inelastischen" Interaktionen mit dem Feld modelliert.
Das stimmt aber nicht: die QM liefert gültige stationäre Lösungen.

Das bestreite ich gar nicht. Ja, die QM liefert stationäre Lösungen, aber diese Lösungen sind möglicherweise nur Artefakte der Näherung, dass nämlich ein nicht-dynamisches el.-mag. Feld in einem nicht-rel. System betrachtet wird.

Und alleine die Existenz einer stabilen Lösung niedrigster (endlicher) Energie bedeutet, dass alle Wechselwirkungen, die von dieser Lösung weg führen, exotherm sein müssen. Dazu muss man nichts über ihre genaue Natur wissen und sie auch nicht modellieren.

Im Rahmen der QM hast du sicher recht. Aber ich stelle den Rahmen in Frage.

Die Frage reduziert sich also darauf, ob denn aus der QM eine solche Lösung tatsächlich folgt.

Nein, die Frage ist, ob die QM den geeigneten Rahmen für diese Fragestellung darstellt.

Wenn die QM im stationären Fall gilt und eine niedrigste stationäre Lösung liefert, dann beweist sie damit auch tatsächlich die Stabilität dieser Lösung ...

Ja, im mathematischen Sinne sowie im Rahmen der QM, uns interessiert doch aber die Natur! Und da können wir doch nicht einfach bestimmte Aspekte ausblenden, wenn sie uns nicht gefallen.

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Der Startpunkt der Diskussion war diese Aussage:

man muss beachten ... dass man Äpfel mit Birnen verglicht: in der klassischen E-Dynamik argumentiert man, dass ein beschleunigtes Elektron el.-mag. Wellen abstrahlt und deswegen in den Kern stürzt; in der QM berechnet man die Wellenfunktionen des Elektrons, allerdings kommen in der Schrödingergleichung gar keine dynamische el.-mag. Felder oder Photonen vor; die übliche Argumentation ist also unvollständig

Die QM beschreibt schlichtweg nicht die quantisierte Form des klassischen Systems, sondern eine Näherung. Und die Stabilität ist möglicherweise nur ein Artefakt dieser Näherung.

Die Aussagen

(A) Das klassische System mit dynamischem el.-mag. Feld ist instabil.
(B) Das quantenmechanische System mit nicht-dynamischem el.-mag. Feld ist stabil.

sind beide richtig.

Uns interessiert aber die Aussage

(C) Das quantenmechanische System mit dynamischem el.-mag. Feld ist stabil.

Dazu hat die nicht-rel. QM aber nichts zu sagen; das ist Gegenstand der rel. QED.

Bereits in der rel. QM kann eine Aussage wie (B) nicht mehr bewiesen werden.
Und in der QED scheitert man bereits an der mathematisch präzisen Definition der Theorie, ganz zu schweigen von einer Aussage wie (C).

*****

Wenn die QM auch im stationären Bereich nicht gilt, dann ist sie eben falsch - und mit ihr der Beweis.

Da sind wir uns so ziemlich einig, auch wenn ich es nicht so hart formulieren würde. Ich sage, dass die QM (nicht nur im stationären Bereich) extrem präzise Vorhersagen macht, dass sie aber streng genommen zu dem speziellen Problem der Stabilität des Atoms keine endgültige Aussage machen kann, da sie nur eine Näherung darstellt.

 

[TomS]

Unabhängig von der Frage der Stabilität: ist dir der fundamentale Unterschied zwischen QM und QED klar?

Theoretisch könntest du natürlich auch in der QM ein nicht-stabiles oder inkonsistentes System haben (H wäre z.B. nach unten unbeschränkt oder nicht wesentlich selbstadjungiert; Bsp.: rel. Mehrteilchensysteme). Aber ein System innerhalb der QM kann nie strahlen, weil das Photonfeld nicht existiert. Es gibt im Hilbertraum der QM einfach keine entsprechenden Freiheitsgrade (es gibt auch keine Wellenfunktion für das Photonfeld) sie sind nicht da, deswegen kann das Elektron auch keine Energie auf ein Photon übertragen.