Stabile Einstein-Rosen-Brücke

[TomS]

Das stimmt nicht. Wenn Du zwei Vakuum-Lösungen (Raumzeiten) zu einer gemeinsamen Raumzeit kombinierst, ergibt sich logischerweise eine neue Vakuumlösung. 0 + 0 = 0.

Aufgrund der nicht-Linearität der ART ist eine Summe zweier Lösungen i.A. nicht wieder eine neue Lösung!

 

[Bernhard]

Aufgrund der nicht-Linearität der ART ist eine Summe zweier Lösungen i.A. nicht wieder eine neue Lösung!

Korrekt. Hier werden aber zwei Energie-Impuls-Tensoren addiert. Beispiel: Die Raumzeit zweier verschmelzender Schwarzer Löcher ist auch eine Vakuum-Lösung.

 

[Bernhard]

Für die FLRW-Metrik habe ich interessehalber die Schnittkrümmung für Geodäten ohne zeitartige Komponente berechnet. Sie beträgt wegen der Isotropie des Modells immer:
$$K=\frac{\dot{a(t)}^2+k}{a(t)^2}$$

Geht man von lichtartigen Geodäten in der (r,theta)-Ebene aus bekommt man:
$$K=2\frac{\ddot{a(t)}}{a(t)}-\frac{\dot{a(t)}^2+k}{a(t)^2}$$
Diese Formel zeigt mMn ebenfalls, dass das Vorzeichen der (Schnitt)Krümmung keine unmittelbare physikalische Bedeutung hat.

 

[Peter_S]

Hallo Bernhard,

entschuldige bitte, ich wollte deine fachliche Kompetenz nicht anzweifeln, im Gegenteil dein Wissen beeindruckt mich.
Ich war nur überrascht, betreffs deiner Aussage (wurde von TomS ja auch bestätigt), dass die resultierende Raumzeit auch wieder die Energiedichte = 0 hat
(ich habe es unterdessen verstanden, bin ja lernfähig ...).

Darüber hinaus hast du möglicherweise recht, was das verschieben in den Bereich "Gegen den Mainstream" anbelangt. Mir ist bewusst, das meine Aussagen hypothetisch sind.

Ich würde mich trotzdem freuen, wenn ich auch in Zukunft von dir hilfreiche Hinweise und Kritiken bekommen könnte.

Danke!

 

[Bernhard]

Guten Morgen Peter,

ich habe es unterdessen verstanden, bin ja lernfähig ...

leider liest man solche Aussagen hier nicht immer. Du bist insofern auch Opfer einiger Vorgänger geworden. Mir ist gestern auch aufgefallen, dass meine Ausdrucksweise etwas arg scharf ausgefallen ist, was teilweise so nicht beabsichtigt war. Gerade in der Freizeit kommt dann auch noch ein gewisser Zeitdruck dazu, was Mißverständnisse verursachen kann.

Ich freue mich aber, dass das Thema nun wieder weitergeführt werden kann.

 

[Ich]

a(t) ist der Skalenfaktor mit der Einheit einer Länge. Der Punkt kennzeichnet die Ableitung nach ct und k hat je nach Modell die Werte 0, 1 oder -1. Ich bin noch nicht ganz überzeugt, ob für k=-1 diese Schnittkrümmung bei verschwindender kosmologischer Konstante immer positiv ist.

Dann überzeuge dich davon, indem du in die Friedmann-Gleichung einsetzt und \(K=8\pi G \rho/3\) findest.

Geht man von lichtartigen Geodäten in der (r,theta)-Ebene aus bekommt man:
$$K=2\frac{\ddot{a(t)}}{a(t)}-\frac{\dot{a(t)}^2+k}{a(t)^2}$$
Diese Formel zeigt mMn ebenfalls, dass das Vorzeichen der (Schnitt)Krümmung keine unmittelbare physikalische Bedeutung hat.

Die (r,theta)-Ebene ist raumartig, darin kann es keine lichtartigen Geodäten geben. Du könntest sinnvollerweise z.B. die (r,t)-Ebene untersuchen.

Die Idee, dass die Schnittkrümmung (noch dazu im Gegensatz zur Krümmung des FRW-Raums!) keine unmittelbare physikalische Bedeutung habe, ist aber haarsträubend. Du musst nur beim Vorzeichen aufpassen, wenn t dabei ist.

 

[Peter_S]

Hallo Bernhard,

nochmal danke für dein Verständnis!

Wenn Du zwei Vakuum-Lösungen (Raumzeiten) zu einer gemeinsamen Raumzeit kombinierst, ergibt sich logischerweise eine neue Vakuumlösung. 0 + 0 = 0.

Basierend auf der Aussage von Bernhard und TomS gehe ich davon aus, dass die resultierende Raumzeit (zwei ERBs mit dazwischenliegender Sattelfläche) ebenfalls eine Energiedichte = 0 hat.

Wäre es jetzt vorstellbar, dass zwar für das Gesamtsystem die Gesamt-Energiedichte = 0 ist, dass aber innerhalb des Systems lokale Abweichungen betreffs der Energiedichte erlaubt sind?

Dann könnte sich folgende hypothetische Schlussfolgerung daraus ergeben:

Das Gesamt-System hat eine Energiedichte von 0.
Es gibt aber lokale Bereiche in denen die Energiedichte ungleich Null ist. So könnten lokale Bereiche mit positiver Energiedichte und lokale Bereiche mit negativer Energiedichte existieren.
Diese lokal positiven und negativen Bereiche müssten sich aber gegenseitig kompensieren, so dass die Summe über alle Energiedichten und über alle Bereiche als Gesamt-Energiedichte wiederum NULL ergibt.

Ich habe einmal versucht diese lokale Verteilung der Energiedichten in Grafik 2 und 3 vereinfacht darzustellen. Grafik 2 ist die „Frontalansicht“ und Grafik 3 die „Draufsicht“. (bitte nach unten scrollen)

Bemerkenswert ist dabei vor allem der grüne Bereich. Diese beiden an den Flanken der Sattelfläche befindlichen Raumbereiche sind leicht positiv gekrümmt und nähern sich asymptotisch im Unendlichen dem Vakuum an. In Übereinstimmung mit den bisherigen Erkenntnissen der Physik haben sie bei positiver Krümmung auch positive Energiedichte analog der konventionellen Materie.

 

[Bernhard]

Dann überzeuge dich davon, indem du in die Friedmann-Gleichung einsetzt und \(K=8\pi G \rho/3\) findest.

OK.

Die (r,theta)-Ebene ist raumartig, darin kann es keine lichtartigen Geodäten geben.

Gemeint sind Lichtstrahlen, die in dieser Ebene entlang laufen. Da kommt man mit der obigen Formel für die Schnittkrümmung auf ein anderes Vorzeichen, wenn man die Beschleunigungsgleichung aus der WP verwendet. (?)

 

[Bernhard]

Basierend auf der Aussage von Bernhard und TomS gehe ich davon aus, dass die resultierende Raumzeit (zwei ERBs mit dazwischenliegender Sattelfläche) ebenfalls eine Energiedichte = 0 hat.

Da sehe ich keine Möglichkeit. Abgesehen von der Singularität ist bei der ERB der Energie-Impuls-Tensor überall gleich Null. Wenn ich nun zwei ERBs nimmt, ändert sich daran ja nichts. Man bekommt nur andere Randbedingungen, d.h. anschaulich gesprochen eine Vakuum-Raumzeit mit zwei "Löchern".

 

[Peter_S]

Hallo Bernhard,

Abgesehen von der Singularität ist bei der ERB der Energie-Impuls-Tensor überall gleich Null. Wenn ich nun zwei ERBs nimmt, ändert sich daran ja nichts. Man bekommt nur andere Randbedingungen, d.h. anschaulich gesprochen eine Vakuum-Raumzeit mit zwei "Löchern".

Ja danke verstanden.

Noch eine vorsichtige Frage zu den "Grünen Flankenbereichen" bitte (ich hoffe ich nerve nicht zu sehr mit meinen vielen Fragen?):

Wenn diese die Raum-Zeit positiv krümmen sollten, schließt diese positive Krümmung nicht einen Energie-Impuls-Tensor = 0 aus?

 

[Bernhard]

Wenn diese die Raum-Zeit positiv krümmen sollten, schließt diese positive Krümmung nicht einen Energie-Impuls-Tensor = 0 aus?

Nein. Vakuum-Lösungen müssen nicht notwendigerweise einem flachen Raum entsprechen. Die Schwarzschild-Raumzeit ist ja auch eine Vakuum-Lösung. Viel mehr wollte ich übrigens auch hier:

Diese Formel zeigt mMn ebenfalls, dass das Vorzeichen der (Schnitt)Krümmung keine unmittelbare physikalische Bedeutung hat.

nicht zur Diskussion stellen. Ichs Reaktion darauf mag so zu erklären sein, dass es für die einsteinschen Feldgleichungen trotzdem sehr anschauliche Erklärungen gibt. Eine empfehlenswerte Arbeit ist in dieser Hinsicht hier zu finden: The Meaning of Einstein's Equation, Baez & Bunn oder auch ein Video-Clip auf YouTube: Ricci-Tensor und Volumenänderung, J. Loviscach. Eine Suche nach "Ricci Scalar" liefert viele weitere Clips zum Thema "Krümmung", was zeigt, wie umfangreich das Thema ist.

 

[Bernhard]

Mir ist eben noch aufgefallen, dass man die ganze Diskussion hier auch stark vereinfachen kann, wenn man als "Krümmung" den Ricci-Skalar verwendet. Die kontrahierten einsteinschen Gleichungen zeigen, dass der Ricci-Skalar proportional zum Energie-Impuls-Skalar ist und das ist in etwa der Zusammenhang, den Peter hier immer wieder angedeutet hat, wobei der Energie-Impuls-Skalar zwar nicht identisch mit der Energiedichte ist, diese aber enthält.

Bei der ERB ist die zugehörige Diskussion dann relativ schnell erledigt, weil der Ricci-Skalar hier überall (abzüglich des Ortes der Singularität) gleich Null ist und das gilt auch für die Raumzeiten mit mehreren ERBs.

 

[TomS]

Mir ist eben noch aufgefallen, dass man die ganze Diskussion hier auch stark vereinfachen kann, wenn man als "Krümmung" den Ricci-Skalar verwendet. Die kontrahierten einsteinschen Gleichungen zeigen, dass der Ricci-Skalar proportional zum Energie-Impuls-Skalar ist und das ist in etwa der Zusammenhang, den Peter hier immer wieder angedeutet hat, wobei der Energie-Impuls-Skalar zwar nicht identisch mit der Energiedichte ist, diese aber enthält.

Bei der ERB ist die zugehörige Diskussion dann relativ schnell erledigt, weil der Ricci-Skalar hier überall (abzüglich des Ortes der Singularität) gleich Null ist und das gilt auch für die Raumzeiten mit mehreren ERBs.

Im Falle einer Vakuum-Lösung ist die Ricci-Krümmung natürlich Null, nicht jedoch die Weyl-Krümmung.

 

[TomS]

Korrekt. Hier werden aber zwei Energie-Impuls-Tensoren addiert. Beispiel: Die Raumzeit zweier verschmelzender Schwarzer Löcher ist auch eine Vakuum-Lösung.

Man kann nicht zwei Energie-Impuls-Tensoren addieren, wenn sie zu verschiedenen Raumzeiten gehören.

Nehmen wir zwei Schwarzschild-Raumzeiten M und M’ mit Metriken g und g’. Natürlich gehören zu den beiden Raumzeiten zwei Energie-Impuls-Tensoren T = 0 und T’ = 0. Aber jeder der beiden Tensoren darf nicht losgelöst von der Mannigfaltigkeit und damit der Metrik betrachtet werden, auf der er definiert. D.h. T = 0 gehört zu M, und T’ = 0 gehört zu M’. Eine Summe T + T’ ist schlicht nicht definiert - auch wenn beide identisch Null sind.

Deswegen ist

Wenn Du zwei Vakuum-Lösungen (Raumzeiten) zu einer gemeinsamen Raumzeit kombinierst, ergibt sich logischerweise eine neue Vakuumlösung. 0 + 0 = 0.

weiterhin mathematisch sinnlos. Eine derartige Kombination zweier Mannigfaltigkeiten und eine Summe ihrer Energie-Impuls-Tensoren ist nicht definiert.

Mir ist schon klar, was du meinst, wenn du eine Raumzeit mit zwei SLs betrachtest. Aber dennoch ist diese Raumzeit nicht die Summe zweier ursprünglicher Raumzeiten M und M’. Und demnach ist auch ihr Energie-Impuls-Tensor nicht die Summe der beiden ursprünglichen Tensoren T und T’.

 

[Bernhard]

Aber dennoch ist diese Raumzeit nicht die Summe zweier ursprünglicher Raumzeiten M und M’.

Das habe ich nicht behauptet!!

Und demnach ist auch ihr Energie-Impuls-Tensor nicht die Summe der beiden ursprünglichen Tensoren T und T’.

Warum verbesserst Du nicht einfach meine Behauptungen?

 

[ralfkannenberg]

Mir ist schon klar, was du meinst, wenn du eine Raumzeit mit zwei SLs betrachtest. Aber dennoch ist diese Raumzeit nicht die Summe zweier ursprünglicher Raumzeiten M und M’. Und demnach ist auch ihr Energie-Impuls-Tensor nicht die Summe der beiden ursprünglichen Tensoren T und T’.

Das habe ich nicht behauptet!!

Bemerkung: Zitat von Tom etwas ausführlicher wiedergegeben


Hallo Bernhard,

ich denke gerade für den Laien ist es sehr wichtig, dass Tom noch einmal etwas weiter ausgeholt hat und das ganze entsprechend ausführlicher dargestellt hat. Dass Dir das klar ist weiss jeder hier, dennoch wird so mancher stiller Mitleser sehr froh um Tom's etwas ausführlichere Darstellung des Sachverhaltes sein.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Bernhard]

Und demnach ist auch ihr Energie-Impuls-Tensor nicht die Summe der beiden ursprünglichen Tensoren T und T’.

AFAIK unterscheiden sich nur die Mannigfaltigkeiten, auf denen die Raumzeiten definiert sind und bei numerischen Simulationen sollte sich das AFAIK lediglich in den Randbedingungen bemerkbar machen. Trotzdem gilt AFAIK auf dem gesamten Definitionsbereich der Mannigfaltigkeiten \( T_{\mu\nu}=0\) und zwar unabhängig von der Anzahl der ERBs.

Ich lasse mich da auch gerne eines besseren belehren, sollte das nicht stimmen, da ich kein Profi auf diesem Spezialgebiet bin.

 

[Bernhard]

Und demnach ist auch ihr Energie-Impuls-Tensor nicht die Summe der beiden ursprünglichen Tensoren T und T’.

OK. Möglicherweise/Scheinbar muss im gemeinsamen EIT (Energie-Impuls-Tensor) doch so etwas wie die potentielle Energie zwischen den ERBs berücksichtigt werden. Im MTW ist dazu, wenn ich mich recht erinnere, auch etwas zu finden. Sorry.

Bei der Suche im www gibt es weitere interessante Treffer, wie diesen hier: http://inspirehep.net/record/1647315 .

 

[Ich]

Gemeint sind Lichtstrahlen, die in dieser Ebene entlang laufen. Da kommt man mit der obigen Formel für die Schnittkrümmung auf ein anderes Vorzeichen, wenn man die Beschleunigungsgleichung aus der WP verwendet. (?)

Alle Lichtstrahlen in dieser Ebene spannen eine 3D-Untermannigfaltigkeit auf, keine Ebene. Schnittkrümmungen gibt es nur für Ebenen. Von daher verstehe ich nicht, was du da tust, und auch mit dem Ergebnis kann ich nichts anfangen.

Nein. Vakuum-Lösungen müssen nicht notwendigerweise einem flachen Raum entsprechen. Die Schwarzschild-Raumzeit ist ja auch eine Vakuum-Lösung. Viel mehr wollte ich übrigens auch hier:

Diese Formel zeigt mMn ebenfalls, dass das Vorzeichen der (Schnitt)Krümmung keine unmittelbare physikalische Bedeutung hat.

nicht zur Diskussion stellen. Ichs Reaktion darauf mag so zu erklären sein, dass es für die einsteinschen Feldgleichungen trotzdem sehr anschauliche Erklärungen gibt.

Die Bedeutung ist direkt aus der Geometrie klar, noch ohne Feldgleichungen: Positve Schnittkrümmung bedeutet, dass Geodäten in dieser Ebene zusammenlaufen, während sie bei negativer Schnittkrümmung divergieren. Bei zeitartigen Geodäten ist es gerade umgekehrt.
Für (t,r), (t,theta) und (t,phi) kommt ä/a raus, also wenig überraschend die gravitative Anziehung oder Abstoßung des Fluids im Universum, die sich natürlich auf auf Testteilchen auswirkt. Das ist physikalisch bedeutungsvoll, insbesondere da wie gesagt die Krümmung des FRW-Raums lokal überhaupt keine messbaren Auswirkungen hat.

Übrigens, Geometrodynamics ist ein Stichwort, das wohl zum Thread passt.

 

[Bernhard]

Alle Lichtstrahlen in dieser Ebene spannen eine 3D-Untermannigfaltigkeit auf, keine Ebene.

Also ich habe bei meiner Rechnung zwei linear unabhängige und lichtartige Vektoren aus dem Tangentialraum verwendet, so wie es die Formel für die Schnittkrümmung auch vorsieht und die spannen damit auch eine 2D-Ebene auf.