Planetenbahnen
- Ersteller Mathias
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mac
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Hallo Orbit,
mein Pendelbeispiel erfüllt seinen Zweck, wenn es um die Erklärung der beiden Pendelrichtungen und einigen sich daraus ergebenden Konsequenzen geht. Das Pendel wird aber, anders als der Planet, um so schwächer zum Mittelpunkt gezogen, je näher es ihm ist. Der Planet hingegen wird um so stärker angezogen, je näher er seiner Sonne ist, und das auch noch mit einer quadratischen Abhängigkeit vom Abstand.
Daher ‚pendelt’ sich der gebremste Planet nicht auf einer symmetrischen Bahn um seine Sonne herum ein, wie es das Pendel mit dem Mittelpunkt hält, sondern eben auf einer Kepler-Bahn. Die ist auch symmetrisch, aber nicht bei den Abständen, sondern bei den pro Zeit überstrichenen Flächen. Diese Bahn ist im Perihel (kleinste Bahnentfernung zur Sonne) zu schnell für eine Kreisbahn in diesem Abstand und im Aphel (größte Bahnentfernung zur Sonne) zu langsam (weil wir ja hier vorhin die hiesige Geschwindigkeit gebremst hatten).
Du kennst die Formel mit der man die Geschwindigkeit einer Kreisbahn ausrechnen kann, wenn man Abstand zur und Masse der Sonne die umkreist werden soll, kennt.
Geschwindigkeit für Kreisbahn = Wurzel(Gravitationskonstante * Masse des zu umkreisenden Körpers / Bahnradius von Mittelpunkt zu Mittelpunkt)
Die gilt solange der zu umkreisende Körper viel schwerer ist, als der kreisende Körper.
Was passiert mit der Geschwindigkeit, wenn wir in der hohen Kreisbahn auf die Bremse ‚treten’? Klar, wird langsamer. Das ist ja im Allgemeinen der tiefere Sinn des Bremsens.
Jetzt ist die Geschwindigkeit aber zu niedrig, um unsere ehemalige Kreisbahn noch halten zu können. Der Planet ‚fällt runter’, Richtung Sonne. Dabei wird er aber wieder schneller. Und zwar wird er viel schneller, schneller, als sein jeweiliger Abstand auch eine höhere Kreisbahngeschwindigkeit erfordert.
Da sich in unserem Beispiel nur der Abstand (der Bahnradius) bei der obigen Formel verändert, steigt die notwendige Kreisbahngeschwindigkeit in Abhängigkeit von Wurzel(1/Abstand).
Die Geschwindigkeit eines, im konstanten Schwerefeld fallenden Körpers steigt mit:
Geschwindigkeit = Wurzel(2 * Fallstrecke * Beschleunigung)
Hergeleitet aus:
Weg = ½ * Beschleunigung * Beschleunigungszeit^2
und
Geschwindigkeit = Beschleunigung * Beschleunigungszeit
Nun bleibt aber bei unserem Beispiel die Beschleunigung nicht gleich, sondern steigt mit (1/Abstand)^2.
(Um die genaue Formulierung drücke ich mich hier. Hab’ auch noch keinen eleganten Plan, wie man das in einer geschlossenen Gleichung machen könnte.. Die, bei denen ich nachgelesen hab’, drücken sich auch!)
Resultat dieser unterschiedlichen Abhängigkeit ist jedenfalls ein, in weiten Geschwindigkeitsbereichen erreichbares, stabiles Gleichgewicht bei den Umlaufbahnen.
Herzliche Grüße
MAC
mein Pendelbeispiel erfüllt seinen Zweck, wenn es um die Erklärung der beiden Pendelrichtungen und einigen sich daraus ergebenden Konsequenzen geht. Das Pendel wird aber, anders als der Planet, um so schwächer zum Mittelpunkt gezogen, je näher es ihm ist. Der Planet hingegen wird um so stärker angezogen, je näher er seiner Sonne ist, und das auch noch mit einer quadratischen Abhängigkeit vom Abstand.
Daher ‚pendelt’ sich der gebremste Planet nicht auf einer symmetrischen Bahn um seine Sonne herum ein, wie es das Pendel mit dem Mittelpunkt hält, sondern eben auf einer Kepler-Bahn. Die ist auch symmetrisch, aber nicht bei den Abständen, sondern bei den pro Zeit überstrichenen Flächen. Diese Bahn ist im Perihel (kleinste Bahnentfernung zur Sonne) zu schnell für eine Kreisbahn in diesem Abstand und im Aphel (größte Bahnentfernung zur Sonne) zu langsam (weil wir ja hier vorhin die hiesige Geschwindigkeit gebremst hatten).
Du kennst die Formel mit der man die Geschwindigkeit einer Kreisbahn ausrechnen kann, wenn man Abstand zur und Masse der Sonne die umkreist werden soll, kennt.
Geschwindigkeit für Kreisbahn = Wurzel(Gravitationskonstante * Masse des zu umkreisenden Körpers / Bahnradius von Mittelpunkt zu Mittelpunkt)
Die gilt solange der zu umkreisende Körper viel schwerer ist, als der kreisende Körper.
Was passiert mit der Geschwindigkeit, wenn wir in der hohen Kreisbahn auf die Bremse ‚treten’? Klar, wird langsamer. Das ist ja im Allgemeinen der tiefere Sinn des Bremsens.
Jetzt ist die Geschwindigkeit aber zu niedrig, um unsere ehemalige Kreisbahn noch halten zu können. Der Planet ‚fällt runter’, Richtung Sonne. Dabei wird er aber wieder schneller. Und zwar wird er viel schneller, schneller, als sein jeweiliger Abstand auch eine höhere Kreisbahngeschwindigkeit erfordert.
Da sich in unserem Beispiel nur der Abstand (der Bahnradius) bei der obigen Formel verändert, steigt die notwendige Kreisbahngeschwindigkeit in Abhängigkeit von Wurzel(1/Abstand).
Die Geschwindigkeit eines, im konstanten Schwerefeld fallenden Körpers steigt mit:
Geschwindigkeit = Wurzel(2 * Fallstrecke * Beschleunigung)
Hergeleitet aus:
Weg = ½ * Beschleunigung * Beschleunigungszeit^2
und
Geschwindigkeit = Beschleunigung * Beschleunigungszeit
Nun bleibt aber bei unserem Beispiel die Beschleunigung nicht gleich, sondern steigt mit (1/Abstand)^2.
(Um die genaue Formulierung drücke ich mich hier. Hab’ auch noch keinen eleganten Plan, wie man das in einer geschlossenen Gleichung machen könnte.
. Die, bei denen ich nachgelesen hab’, drücken sich auch!)Resultat dieser unterschiedlichen Abhängigkeit ist jedenfalls ein, in weiten Geschwindigkeitsbereichen erreichbares, stabiles Gleichgewicht bei den Umlaufbahnen.
Herzliche Grüße
MAC