In meiner Welt gibt es zwei unterschiedliche Abstände zwischen zwei Punkten auf einer Kreislinie, je nach der Richtung.
Und mehrmalige Umrundungen sind zwar möglich, aber Du hast ja selbst schon den Kunstgriff mod eingeführt.
Also wenn das der Knackpunkt ist, können wir ihn gerne diskutieren.
Das Ziel meiner Darstellungen war, möglichst anschaulich zu erklären, dass die Topologie der räumliche Mannigfaltigkeit nicht in
einer Metrik kodiert sein kann, wenn – wie auf der Kreislinie – nicht
eine Metrik existiert, sondern mathematisch zwingend *) mehrere offene Umgebungen mit je einer Karte eingeführt werden müssen, und daher auch
je Karte eine eigene Metrik existiert.
*) weil andernfalls die Funktion phi nicht bijektiv ist
Es geht dabei nie um den physikalischen Prozess des Umrundens. Es ging nie darum, dass verschiedene Wege den Kreis physikalisch falsch wären, oder dass sie nicht verschiedene Längen haben können. Das ist alles möglich, für mein Argument jedoch weder relevant, noch widerspricht es ihm.
Die Analogie ist wie folgt:
- gegeben sei eine FRW-Metrik, am einfachsten die für k=0 in kartesischen Koordinaten; der Fehlschluss ist, zu glauben, dies würde die Topologie festlegen
- also betrachte ich auf einer Kreislinie mehrere Karten – mindesten drei für mein Argument – so dass auf jeder Karte Koordinaten x(P) und y(Q) für Punktepaare P und Q existieren, und dass die Abstandsfunktion d(P,Q) durch d(x,y) = |x - y| gegeben ist
Dazu betrachte ich je Karte ein eigenes Punktepaar.
Natürlich existiert ein Weg, der der Kreis vollständig oder auch mehr umläuft, aber für einen derartigen Weg benötigt man einen Kartenwechsel. Den betrachtet niemand für eine FRW-Metrik, ich betrachte ihn also auch nicht.
Der Trick mit den "mod 1/2" stellt zunächst sicher, dass der Abstand eindeutig definiert ist. Wenn ich ihn anwende, funktioniert aber mein Argument nicht, denn dann habe ich eine andere Abstandsfunktion als die triviale d(x,y) = |x-y|. Also betrachte ich drei oder mehr Karten, so dass sichergestellt ist, dass auf jeder Karte für beliebige Koordinaten x,y innerhalb der Karte sicher d(x,y) = |x-y| zulässig ist, d.h. eine eindeutige Abstandsfunktion vorliegt.
Damit erreiche ich mein Ziel, nämlich die Analogie:
- gegeben sei eine FRW-Metrik, am einfachsten die für k=0 in kartesischen Koordinaten
- gegeben ist eine Kreislinie mit mehreren Karten, und je Karte die Abstands Funktion d(x,y) = |x - y|
- hätten wir nur eine Karte mit d(x,y) = |x - y|, so hätten wir keine Information darüber, dass wir uns auf einer Kreislinie befinden, es könnte auch die reelle Gerade oder einfach ein Intervall sein; die Tatsache, dass wir nur eine Karte haben, eliminiert also sämtliche Informationen über die Topologie, die erst in der Existenz mehrerer Karten enthalten ist
- gibt mit nun jemand eine FRW-Metrik für k=0 und sagt nicht explizit dazu, dass sie für genau eine Umgebung gilt, die dem vollständigen euklidischen Raum überspannt, so liegt eine essentielle Information nicht vor, nämlich die über die Topologie; evtl. handelt es sich auch um den 3-Torus, für den man zwingend mehrere Karten benötigt, wobei die FRW-Metrikfunktion auf jeder Karte wieder identisch aussieht.
Eine Metrik auf einer Karte kodiert also nur die karten-lokalen Informationen nicht jedoch weitere globale Informationen, die erst mittels mehrere Karten sichtbar werden; am Beispiel des Kreises wären dies z.B. Wege, die um den Kreis herumführen.
Das führt zu einer weiteren topologische Charakterisierung, der sogenannten Fundamentalgruppen. Auf einer Karte (mit einer FRW-Metrik) existieren keine nicht-trivialen d.h. nicht zusammenziehbaren Wege. Auf einem 3-Torus existieren jedoch solche Wege.
Das ist im Zusammenhang mit den kosmologische Prinzip wichtig, das nämlich ebenfalls oft falsch dargestellt wird. Ursprünglich besagt es, dass wir keine ausgezeichnete Position im Universum einnehmen. Ein 3-Torus erlaubt es uns sicher, dieses Prinzip aufrechtzuerhalten. Die mathematische sinnvoll Formulierung wäre die Forderung nach
lokaler (je Umgebung bzw. Karte) Isotropie; diese gilt auf jeder Karte des 3-Torus. Ein Fehlschluss wäre es, globale Isotropie zu fordern, die auf dem Torus gerade aufgrund der Existenz nicht zusammenziehbaren Wege tatsächlich nicht gegeben ist; der 3-Torus ist lokal isotrop, global jedoch anisotrop. Dies verletzt jedoch nicht das ursprüngliche kosmologische Prinzip, dass wir keine ausgezeichnete Position im Universum einnehmen. Die globale Anisotropie gilt für jeden Punkt auf dem 3-Torus und ist daher mit dem kosmologischen Prinzip verträglich.
Zurück zum Ausgangspunkt, dass nämlich die Topologie der räumlichen Mannigfaltigkeit nicht in
einer Metrik kodiert sein kann, wenn nicht
eine Metrik existiert, sondern mathematisch zwingend mehrere offene Umgebungen mit je einer Karte und
je einer eigene Metrik. Ich hoffe, dass das jetzt klargeworden ist.
Viele Texte zur ART und zur Kosmologie sind diesbzgl. leider unvollständig und führen zu falschen Schlussfolgerungen.
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