Historischer Ursprung der Bezeichung "analytische Funktion"

[Jakito]

(Antwort von Google Gemini, leicht gekürzt von mir)
Die Bezeichnung „analytische Funktion“ geht historisch maßgeblich auf den Mathematiker Joseph-Louis Lagrange und sein 1797 erschienenes Werk „Théorie des fonctions analytiques“ zurück.
Die Entstehung des Begriffs lässt sich in drei wesentliche historische Phasen unterteilen:

Der „analytische Ausdruck“ (18. Jahrhundert)​

Im 17. und 18. Jahrhundert verstand man unter „Analysis“ die Kunst, mathematische Probleme mithilfe von algebraischen Gleichungen und Variablen zu lösen (im Gegensatz zur geometrischen Beweisführung). Leonhard Euler definierte eine Funktion damals als einen „analytischen Ausdruck“ (expression analytique), also eine Formel, die aus Variablen und Konstanten durch Grundrechenarten, Brüche, Wurzeln oder Logarithmen zusammengesetzt war. [1]

Lagranges Verzicht auf das „unendlich Kleine“ (1797)​

Lagrange wollte die Analysis rein algebraisch, also „analytisch“ reformieren und von den geometrischen und unendlich kleinen Begriffen befreien. Seine fundamentale Idee war: [2]

• Jede „gute“ mathematische Funktion lässt sich als eine unendliche Potenzreihe (die Taylorreihe) darstellen.
• Die Ableitungen einer Funktion sollten nicht über Grenzwerte bestimmt werden, sondern rein rechnerisch aus den Koeffizienten dieser Potenzreihe abgelesen werden.

Funktionen, die auf diese Weise rein algebraisch über ihre Reihe analysiert werden konnten, nannte er analytische Funktionen.

Die moderne Präzisierung (19. Jahrhundert)​

Lagranges Annahme, dass jede denkbare Funktion eine solche Reihe besitzt, erwies sich später als falsch (z. B. durch Gegenbeispiele von Augustin-Louis Cauchy). Dennoch blieb der Name haften.
Mathematiker wie Karl Weierstraß machten die Potenzreihen im 19. Jahrhundert schließlich zum offiziellen Fundament der Funktionentheorie. Seitdem wurde der Begriff per Definition genau für jene Funktionen reserviert, die Lagrange im Sinn hatte: Funktionen, die sich lokal durch eine konvergente Potenzreihe (Taylorreihe) darstellen lassen.

 

[Jakito]

Die Fragen von antaris zur "Provenienz" der komplexen Zahlen gingen ja auf meinen Versuch zurück, TomS zu erklären, wieso es für Mathematiker so wichtig ist, ob eine Konstruktion "natürlich"/"kanonisch"/"nicht-kanonisch" ist:

Barandes hatte in seinem Beweis eine komplizierte "nicht-kanonische" Konstruktion verwendet, deshalb gab es keinerlei Grund anzunehmen, dass diese Konstruktion Stetigkeit oder gar Differenzierbarkeit erhalten würde. Natürlich stört es mich als Mathematiker, dass Barandes noch nichtmal diese Lücke anspricht, und stattdessen durch Differenzieren einen Hamiltonian definiert.

d) oder ob es behebbar wäre
(mir fällt bei der Diskussion mit Physikern auf, dass sie Unsauberkeiten und Missverständnisse gerne selbst zu korrigieren versuchen, während Mathematiker einfach sagen "undefiniert", ...)

Oft wäre es behebbar, aber eben "nicht kanonisch". Und das ist halt immer ein Problem, weil dies die Art von Folgefehler provoziert, die ich mit "zu naiv" meine.
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Hast du eine Quelle, in der eine präzise rein mathematische Kritik zu finden ist, oder eine präzise Ausarbeitung?

Ich könnte auch auf Wikipedia verlinkten, z.B. auf Natürliche Transformation als Formalisierung von "natürlich"/"kanonisch"/"nicht-kanonisch" (mich selbst sollte ich besser nicht verlinken), und ähnliches für Isomorphie oder Äquivalenz. Die Begriffe sind glaube ich älter als ihre Formalisierung mittels Kategorientheorie, aber im Prinzip glaube ich schon, dass Ihre Formalisierung recht akzeptiert ist.
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Weil eine Hauptmotivation der Mathematiker, bei solchen Sachen so pedantisch zu sein, in der "Angst" von Folgefehlern besteht, kamen mir die analytischen Funktionen als gut verstandenes historisches Beispiel in den Sinn.

Weil ein symbolischer „analytischer Ausdruck“ (expression analytique) eine Art der Wahrheit und Allgemeingültigkeit suggeriert, kommt es manchmal zu nicht gerechtfertigten impliziten Annahmen. Für eine allgemeine stetige Funktion wären solche Annahmen sehr offensichtlich falsch, aber gefühlt bildet die stetige Funktion eben das Wesen eines solchen symbolischen Ausdrucks nicht gut ab. Deshalb entwickelt sich dann ein Begriff wie der der analytischen Funktion, der einerseits mathematisch sauber rigoros definiert ist, und trotzdem das Wesen eines symbolischen Ausdrucks gut abbildet. Dies erklärt dann einerseits, wieso die impliziten Annahmen oft tatsächlich funktionieren, und warum sie machmal trotzdem versagen (z.B. beim Residuensatz, wo es zwar einen symbolischen Ausdruck für das Integral gibt, dieser aber trotzdem nicht uneingeschränkt gültig ist).

Die Sache mit den natürlichen/kanonischen Konstruktionen ist ähnlich, nur leider etwas "abstrakter".

 

[antaris]

Weil eine Hauptmotivation der Mathematiker, bei solchen Sachen so pedantisch zu sein, in der "Angst" von Folgefehlern besteht

Diese Gefahr von Folgefehlern habe ich bei mir selbst ziemlich drastisch erlebt. Ich hatte eine komplexe Struktur an einer Stelle gesetzt, an der sie für meine eigentliche Frage nicht hätte gesetzt, sondern erst hätte motiviert oder abgeleitet werden müssen.

Danach konnte ich formal sehr viel weiterbauen. Am Ende standen hunderte Lean-Module mit zehntausenden Zeilen Code. Das Gefühl war schon länger da und dann wurde mir klar: Für die eigentliche Große Frage bleibt das alles ein empty vessel, sobald die entscheidende Struktur vorher eingeführt und die Provenienz nicht geklärt wurde. Die Module waren formal nicht einfach „falsch“, aber sie beantworteten nicht mehr die Frage, die ich eigentlich stellen wollte. Darüber hinaus zeigte sich danach ja sehr schnell, dass die zugrundeliegende Annahme bzw. das Grundobjekt einfach falsch war.

Die Fragen von antaris zur "Provenienz" der komplexen Zahlen gingen ja auf meinen Versuch zurück, TomS zu erklären, wieso es für Mathematiker so wichtig ist, ob eine Konstruktion "natürlich"/"kanonisch"/"nicht-kanonisch" ist:

Nicht unbedingt. Auch wenn du mir vielleicht immer noch nicht glaubst aber es war mein herumstochern als "CatNoir" bezüglich der Vermischung von AQFT und RQFT aus meiner Sicht. Mir war zu dem Zeitpunkt aber schon vollkommen klar, dass ich selbst eine schwere Setzung habe und die Diskussion hat mir selbst einen Spiegel vorgehalten. Darüber hinaus wirkt nach wie vor in meinem Kopf noch das "empty vessels makes much noise", wo ich erst beleidigt war und trotzig weitergemacht hatte aber was mich nach vielen Nachdenken tatsächlich an der richtigen Stelle getroffen hatte. Warum lasse ich leere Fässer überhaupt zu und veräppel damit vor allem mich selbst? Ganz klar: Weil viel formaliseren sich "richtig" anfühlt, vor allem wenn dann sowas großes bei rauskommt. Es war aber nur eine Extrapolation eines früh gesetzten "Fehlers".
Dein Beitrag bzw. gerade die Anspielung auf "Folgefehler" auf dem Physikerboard hat mich aber letztlich dann vielleicht auch innerlich dazu getriggert das Problem ernst zu nehmen und anzugehen. Es ist also eher eine Komposition aus vielen verschiedenen vorgelagerten Erfahrungen gewesen.

Der wichtige Schritt war deshalb nicht irgendein einzelnes Gegenbeispiel, sondern das gedankliche Zurückrollen: Was muss ich überhaupt klären, damit die Konstruktion nicht nur formal weiterläuft, sondern inhaltlich trägt? Genau dadurch bin ich bis zur Frage der komplexen Struktur zurückgegangen. Ehrlich gesagt bin ich schon auch etwas stolz auf mich, dass ich das selbst erkannt habe und dann noch über meinen Schatten gesprungen bin, die Annahme/Setzung inkl. aller Module kurz und klein zu schlagen....es war wirklich eine innere Befreiung.

In diesem Sinn glaube ich inzwischen sehr gut zu verstehen, was du mit Mathematiker sind bei bei „natürlich“, „kanonisch“ und „nicht-kanonisch“ so empfindlich meinst. Eine nicht-kanonische oder nicht ausreichend motivierte Setzung kann dazu führen, dass alles danach zwar formal sauber aussieht, aber für die ursprüngliche Ableitungsfrage keinen Beweiswert mehr hat.