Gravitations-Veranschaulichungen und ein bisschen Mathematik

[ralfkannenberg]

Wir betrachten nun in den folgenden 3 Beiträgen die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve v(t) von 0 bis t für folgende Spezialfälle:

(1) v Nullfunktion, d.h. v ≡ 0
(2) v konstant, d.h. v = s/t
(3) v linear, d.h. v = a*t

Hallo zusammen,

wenden wir uns nun dem linearen Fall zu.

Wie gross ist die Fläche F(t) der Kurve unter v(t) für die Zeit von 0 bis t ?

Nun: v(t) = a*t

Die Geschwindigkeitsfunktion ist also eine Gerade, die "schräg hoch geht" und die Fläche ist die Fläche eines Dreieckes, das von den 3 Punkten {(0,0), (t,0), (t,a*t)} gebildet wird. Diese Fläche ist halb so gross wie die Fläche des Rechteckes mit dem zusätzlichen Punkt (0,a*t).

Das Rechteck mit dem zusätzlichen Punkt (0,a*t) hat die Fläche Höhe * Breite, also t*(a*t), also a*t²; somit hat das Dreieck die Fläche 1/2*a*t².


Somit gilt: F(t) = 1/2*a*t²


Frage: gilt auch im linearen Fall, dass die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve gerade die in der Zeit t zurückgelegte Strecke s ist ?

Um diese Frage zu beantworten, schauen wir uns nun Bernhards Beitrag an.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[ralfkannenberg]

Wir betrachten nun in den folgenden 3 Beiträgen die Fläche

Hallo zusammen,

und nun betrachten wir einmal den Allgemeinfall, wobei - erneut der Bequemlichkeit halber - v(t) stets grösser oder gleich 0 sein soll. Die Geschwindigkeitskurve soll also nicht unter die x-Achse, in unserem Beispiel also die Zeitachse, fallen.

Wir benötigen zu diesem Zweck die zusätzliche Voraussetzung, dass die Geschwindigkeitsfunktion stetig ist, wobei es streng genommen sogar genügt, dass die Geschwindigkeitsfunktion stückweise stetig ist, also stetig mit nur endlich vielen Ausnahmen. Man kann das noch weiter verallgemeinern, nämlich dahingehend, dass die Ausnahmemenge eine sogenannte Nullmenge bildet. Da es uns nur darum geht, die grundlegende Idee zu verstehen, können wir uns aber auf den strengsten Fall beschränken, in welchem wir also fordern, dass die Geschwindigkeitsfunktion stetig ist. Mit den beiden Verallgemeinerungen kann man einfach noch mehr aus dieser Idee "herauskitzeln".


Wir teilen diese Fläche nun in ganz schmale Streifen auf, die von den Punkten {(t[sub]i[/sub],0), (t[sub]i[/sub],v(t[sub]i[/sub])), (t[sub]i+1[/sub],0), t[sub]i+1[/sub],v(t[sub]i+1[/sub])) } umrandet werden.

Wenn diese Einteilung fein genug ist, so gilt wegen der Stetigkeit: v(t[sub]i[/sub]) ~ v(t[sub]i+1[/sub]), d.h. wir machen nur einen sehr kleinen Fehler, wenn wir beide gleich setzen und ein Rechteck erhalten. Dieser kleine Fehler konvergiert gegen 0, wenn wir die Streifen schmaler machen; erneut sorgt die vorausgesetzte Stetigkeit der Geschwindigkeitsfunktion v(t) dafür, dass das so funktioniert.

Wenn man das so macht, dann gilt in jedem Rechteck, dass die Geschwindigkeit fast konstant ist, so dass wir also jedesmal den oben hergeleiteten konstanten Fall anwenden dürfen.

Somit wird mit jedem durch ein schmales Rechteck approximierten schmalen Streifen der Weg s berechnet, der in der Zeit von t[sub]i[/sub] bis t[sub]i+1[/sub] zurückgelegt wird, und die Summe aller dieser Teilwege ist der gesamte Weg s(t), der in der Zeit von 0 bis t zurückgelegt wird.

Diese Summe hat Bernhard übrigens in dieser Gleichung genannt:

$$s = v_1 \Delta t + v_2 \Delta t + \ldots + v_n \Delta t$$


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

Hallo Ralf,

ich bin begeistert. Vielen Dank von meiner Seite für die viele Mühe. Inhaltlich kann ich leider erst etwas später wieder mitmachen, aber freue mich schon drauf.

Gruß,
Dgoe

 

[ralfkannenberg]

Frage: gilt auch im linearen Fall, dass die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve gerade die in der Zeit t zurückgelegte Strecke s ist ?

Hallo zusammen,

ich war mir sicher, dass sich diese Frage auch ohne das Schwerstgeschütz vom vergangenen Beitrag von mir lösen lässt.

Bei einer konstanten Beschleunigung kann man nämlich einfach die Durchschnittsgeschwindigkeit bestimmen. Diese ist ja gerade der Mittelwert von der Anfangsgeschwindigkeit v(0) und der Endgeschwindigkeit v(t), das ist (v(0)+v(t))/2.
Aufgrund der Linearität gilt v(0)=0, also hat der Mittelwert den Wert v[sub]mittel[/sub] = 1/2 * v(t) = 1/2 * (a*t), da im linearen Fall ja v(t)=a*t gilt.

Das bedeutet, dass der zurückgelegte Weg gleich lang ist, ob man mit einer konstant beschleunigten Geschwindigkeit oder mit der zugehörigen konstanten Durchschnittsgeschwindigkeit fährt.


Im konstanten Fall gilt: s = v[sub]0[/sub] * t

Setzen wir das nun ein, d.h. v[sub]0[/sub] = v[sub]mittel[/sub] = 1/2 * v(t) = 1/2 * a*t, weil im linearen Fall gilt: v(t)=a*t, so erhalten wir:

s = v[sub]0[/sub] * t = 1/2 * v(t) * t = 1/2 * (a*t) * t = 1/2*a*t²

Nun erinnern wir uns, dass die Fläche unter der Geschwindigkeitsfunktion v(t) im linearen Fall ebenfalls den Wert F(t) = 1/2*a*t² hat, so dass der Nachweis erbracht wurde, dass auch im linearen Fall die Fläche unter der Geschwindigkeitsfunktion der zurückgelegte Weg s ist.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Bernhard]

Diese ist ja gerade der Mittelwert

Hallo Ralf,

der Numeriker erkennt bei meinem Beitrag im Nachbarthema, dass hier ein Integrationsverfahren gewählt wurde, bei dem der Fehler proportional zu \(\Delta t ^2\) ist und da die Ausgangsfunktion nur linear in t ist, gilt die letzte Formel des Beitrages in diesem Fall exakt. Die Summe ergibt nämlich gerade ein n², wie durch vollständige Induktion leicht bewiesen werden kann, und damit kürzt sich das n² einfach heraus.
MfG

 

[ralfkannenberg]

Hallo Ralf,

der Numeriker erkennt bei meinem Beitrag im Nachbarthema, dass hier ein Integrationsverfahren gewählt wurde, bei dem der Fehler proportional zu \(\Delta t ^2\) ist und da die Ausgangsfunktion nur linear in t ist, gilt die letzte Formel des Beitrages in diesem Fall exakt. Die Summe ergibt nämlich gerade ein n², wie durch vollständige Induktion leicht bewiesen werden kann, und damit kürzt sich das n² einfach heraus.

Hallo Bernhard,

das ist schon richtig, allerdings sehe ich nicht ganz, warum Du im linearen Fall einen solchen Aufwand betreibst. Da geht es viel einfacher und insbesondere ohen Aufspaltung in schmale Streifen. Im allgemeinen Fall einer n.-ten Potenz indes ist Dein Ansatz zweifelsohne der richtige, da erhält man dann ja auch solche Summenformeln.

Allerdings "gefällt" mir der von Dir verwendete Mittelwert überhaupt nicht, das ist nur im Spezialfall einer linearen Funktion exakt. Hier würde ich im allgemeinen Fall also Maximum und Minimum bevorzugen, welche dann ja zur Obersumme und zur Untersumme des Riemann-Integrals führen, wo man dann zeigen kann, dass die Differenz zwischen Obersumme und Untersumme für hinreichend kleine Schrittweiten \(\Delta t\) kleiner als epsilon wird. Also das übliche: für alle epsilon grösser 0 findet man eine hinreichend kleine Schrittweite \(\Delta t\), so dass die Differenz der Obersumme - Untersumme kleiner als epsilon wird, wobei man für den Beweis die stückweise Stetigkeit der zu integrierenden Funktion benötigt.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Bernhard]

Allerdings "gefällt" mir der von Dir verwendete Mittelwert überhaupt nicht, das ist nur im Spezialfall einer linearen Funktion exakt.

Korrekt. Ich hatte allerdings auch erwähnt, dass man diesen Formalismus mit einem möglichst großen n verwenden soll und das geht dann wieder bei jeder physikalisch sinnvollen Funktion, also stückweise stetig und begrenzt. Ich habe den Mittelwert zum einen gewählt, um mir die Ober- und Untersumme zu ersparen und zugleich darauf hinzuweisen, dass es neben der Euler-Integration (=Ober- oder Untersumme) auch noch wesentlich ausgefeilterere numerische Integrationsverfahren gibt: http://de.wikipedia.org/wiki/Simpsonregel

 

[Dgoe]

Hallo Ralf,

habe nun alles aufmerksam gelesen und konnte soweit folgen. Zuerst hatte ich mir die laufenden Fragen noch heraus notiert/kopiert, daraufhin jedoch gleich die Antworten allesamt aufgefunden.

Nun hätte ich mal eine Frage.
Wenn man die y-Achse mit dem Weg (s) versieht, anstatt mit v, die x-Achse nach wie vor (t), dann sehen die Grafiken ja etwas anders aus - und zwar so:

Null bleibt Null.

Konstant wäre, wenn man entweder am Anfang 0 (Weg) stehen bleibt, egal wie lange - oder - an einer Wegmarke >0 stehen bleibt, wie auch immer man dahin gelangt ist (gebeamt!? oder aus einer Grafik weiter zurück, aus dem Kontext eben).
Hier ist also Konstant, wenn die Geschwindigkeit immer Null ist (vorhin die Nullfunktion).

Linear wäre v=s/t, was vorhin noch konstant war.

Und nun meine Frage, was wäre dann v=a*t (was zuletzt linear war)? Quadratisch, exponentiell ja nicht unbedingt.
Ist jetzt vielleicht nicht die Schlaueste aller Fragen...

Übrigens hast Du ja doch Geschwindigkeit eingesetzt, zumindest auf der y-Achse, wie ich doch schon intuitiv vermutete - und eben nicht den Weg, wie ich jetzt hier beispielsweise einmal, zum Vergleich.

Gruß,
Dgoe

 

[ralfkannenberg]

Nun hätte ich mal eine Frage.
Wenn man die y-Achse mit dem Weg (s) versieht, anstatt mit v, die x-Achse nach wie vor (t)

Hallo Dgoe,

das wäre ohnehin als nächstes gekommen. Aber erst, wenn das bisherige sattelfest sitzt.

dann sehen die Grafiken ja etwas anders aus - und zwar so:

Null bleibt Null.

Genau, das haben wir ja gezeigt: s ist ja die Fläche unter der v(t)-Kurve. Wenn diese die Nullfunktion ist, so ist der zurückgelegte Weg auch gleich 0.

Konstant wäre, wenn man entweder am Anfang 0 (Weg) stehen bleibt, egal wie lange - oder - an einer Wegmarke >0 stehen bleibt, wie auch immer man dahin gelangt ist (gebeamt!? oder aus einer Grafik weiter zurück, aus dem Kontext eben).
Hier ist also Konstant, wenn die Geschwindigkeit immer Null ist (vorhin die Nullfunktion).

Etwas umständlich formuliert, aber m.E. korrekt.

Linear wäre v=s/t, was vorhin noch konstant war.

Auch das ist richtig; hier nimmst Du einfach den konstanten Fall für v und schaust, welchen Wert s annimmt. v[sub]0[/sub]=s/t, also s=v[sub]0[/sub]*t.

s ist also linear in t mit Proportionalitätsfaktor v[sub]0[/sub]. Auch das habe ich ja gezeigt; geometrisch ergab es sich, weil die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve ein Rechteck mit Breite t und Höhe v[sub]0[/sub] ist.

Und nun meine Frage, was wäre dann v=a*t (was zuletzt linear war)? Quadratisch, exponentiell ja nicht unbedingt.
Ist jetzt vielleicht nicht die Schlaueste aller Fragen...

Das haben wir doch auch gezeigt. Das ist ja der 3.Fall, in welchen v linear in t ist mit Proportionalitätsfaktor a[sub]0[/sub].

Die geometrische Lösung, also die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve ist dann das Dreieck mit dem Nullpunkt, dem Punkt (t,0) sowie dem Punkt (t, a[sub]0[/sub]*t). Nähme man noch den Punkt (0, a[sub]0[/sub]*t) hinzu, so hätte man ein Rechteck mit der Breite t und der Höhe a[sub]0[/sub]*t; seine Fläche ist ja a[sub]0[/sub]*t².

Da wir aber nur das Dreieck haben, dieses aber rechtwinklig ist, ist dessen Fläche gerade die Hälfte vom Rechteck, also 1/2*a[sub]0[/sub]*t².

Mit der Idee, die Durchschnittsgeschwindigkeit aus dem Mittelwert zu berechnen, konnten wir auch hier zeigen, dass der zurückgelegte Weg gerade die Fläche unter der Geschwindigkeitsfunktion ist, also s= 1/2*a[sub]0[/sub]*t².

s ist also quadratisch in t mit Proportionalitätsfaktor 1/2*a[sub]0[/sub].


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

Hallo Ralf,

doch quadratisch (t²), ja, logisch, war vorhin etwas irritiert.

Gruß,
Dgoe

 

[ralfkannenberg]

doch quadratisch (t²), ja, logisch, war vorhin etwas irritiert.

Hallo Dgoe,

sehr gut.

Dann erkläre mir noch bitte - auf geometrische Weise, warum im konstanten Fall etwas lineares herauskommt, obwohl wir da immerhin ein Rechteck haben, während wir im linearen Fall nur ein Dreieck haben, aber trotzdem etwas quadratisches herauskommt.

Ich will Dich mit dieser Frage übrigens nicht hochnehmen, es ist vielmehr die Frage, die ich mir selber gestellt hatte, als ich den Beitrag verfasst habe und deren Beantwortung dann bei mir ein "Aha-Erlebnis" ausgelöst hat. Ich habe mich dann also gefragt, wo denn eigentlich das Quadrat herkommt, und diese Frage führt dann auch zur Lösung.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

Dann erkläre mir noch bitte....

Hallo Ralf,

diesen Post hatte ich übersehen, hatte über die Aktivitäten gelauscht und mich schon gewundert, so dass ich gerade nachgesehen habe. Hier nur kurz Bescheid, dass ich an der Antwort sitze...

Gruß,
Dgoe

 

[Dgoe]

Die geometrische Lösung, also die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve ist dann das Dreieck mit dem Nullpunkt, dem Punkt (t,0) sowie dem Punkt (t, a[SUB]0[/SUB]*t). Nähme man noch den Punkt (0, a[SUB]0[/SUB]*t) hinzu, so hätte man ein Rechteck mit der Breite t und der Höhe a[SUB]0[/SUB]*t; seine Fläche ist ja a[SUB]0[/SUB]*t².

Hallo Ralf,

eigentlich hast Du es hier ja schon gesagt. Hilfreich ist es, wenn man sich die Grafik skizziert. Eine Rechtecksfläche besteht ja aus Höhe mal Breite (a*b). Die Breite ist schlicht t=b, die Höhe allerdings ist genau a[SUB]0[/SUB]*t=a. Eingesetzt ergibt es t*a[SUB]0[/SUB]*t, was umsortiert a[SUB]0[/SUB]*t*t ist, also a[SUB]0[/SUB]*t².

Und wie Du schon sagst, halbiert sich das Rechteck zu einem rechtwinkligen Dreieck, daher 1/2 * a[SUB]0[/SUB]*t².

Die Höhe ist also immer ein Vielfaches von t, eben mit a[SUB]0[/SUB] multipliziert. Wenn a[SUB]0[/SUB] = 1 ist, dann haben wir dauernd Quadrate, quadratische Rechtecke.

Gruß,
Dgoe

 

[Dgoe]

Dann erkläre mir noch bitte - auf geometrische Weise, warum im konstanten Fall etwas lineares herauskommt, obwohl wir da immerhin ein Rechteck haben, während wir im linearen Fall nur ein Dreieck haben, aber trotzdem etwas quadratisches herauskommt.

Ja, ich habe die Frage nochmal gelesen, dazu war meine Antwort nicht ganz maßgeschneidert. Ich möchte es nochmal versuchen... (gleich).

Gruß,
Dgoe

 

[Dgoe]

...geometrisch ... warum im konstanten Fall etwas lineares herauskommt ...

Geometrisch übersetze ich 'konstant' mit einer waagerechten Geraden und "linear" mit einer schrägen Geraden durch den Nullpunkt. Was nun wann konstant oder linear ist, hängt hier von der Wahl der y-Achse ab (x-Achse immer t). Nehmen wir s, dann wird die Gerade "schräg", also linear, nehmen wir v, dann ist sie gerade, also konstant. Zumindest für v=s/t.

Bei v=a*t (oder besser v=a[SUB]0[/SUB]*t) muss man wieder unterscheiden (oder auch nicht, weiß gerade gar nix). Doch, bei y-Achse ist v, nimmt die Funktion abhängig von a[SUB]0[/SUB] zu, die Gerade ist schräg, also linear (oben noch konstant). Bei y-Achse ist s, ähm, ja, ist sie quadratisch wegen t*t, gewürzt mit a[SUB]0[/SUB]. Das ist dann auch "schräg" (s.o.) und damit linear.
Das ist wahrscheinlich alles Quatsch, lass uns lieber über das Wetter reden...

..., obwohl wir da immerhin ein Rechteck haben, ...

Wann, wie, wo, was? Kommt hier und da vor, je nach dem.

..., während wir im linearen Fall nur ein Dreieck haben, aber trotzdem etwas quadratisches herauskommt.

Arghh, ja wegen dem t², siehe meinen letzten Beitrag.

Gruß,
Dgoe

 

[ralfkannenberg]

Arghh, ja wegen dem t², siehe meinen letzten Beitrag.

Hallo Dgoe,

vermutlich hast Du in diesem Beitrag meine Frage beantwortet, ohne es zu merken ...

Die Sache ist einfach die, dass Du beim konstanten Fall, also dem Rechteck, das t nur nach rechts "vergrösserst", die Höhe aber gleich bleibt, während Du beim linearen Fall die Diagonale mit t vergrösserst, d.h. sowohl nach rechts als auch nach oben. Dass das "nur" ein Dreieck ist hat lediglich zur Folge, dass das ganze noch mit 1/2 multipliziert wird, das ändert aber nichts daran, dass das mit dem Quadrat anwächst, weil die Diagonale anwächst.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

Hallo Ralf,

ja genau, das wollte ich mit 'schräg' durch den Nullpunkt sagen. Hört sich tatsächlich wesentlich eleganter an, von Diagonale und von nach rechts oben zu sprechen.

Dgoe im Wunderland ...

Gruß,
Dgoe

 

[ralfkannenberg]

durch den Nullpunkt sagen.

Hallo Dgoe,

eine der wenigen Situationen, die ich guten Gewissens mit "korrekt" und mit "falsch" kommentieren könnte.

Aus puristischer Sicht hast Du damit recht, denn eine anständige lineare Funktion sollte wirklich durch den Nullpunkt gehen, auch wenn sie ohne allzugrosse Einschränkung der Allgemeinheit noch um eine konstante Zahl nach oben oder nach unten verschoben werden darf.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[ralfkannenberg]

Hallo Dgoe,

machen wir mal eine kleine Zusammenfassung:

Fall 1: v(t) ≡ 0, d.h. v Nullfunktion
a(t) = ?
v(t) ≡ 0
s(t) = ?
F(t) = ?

Fall 2: v(t) = s/t, d.h. v konstant v[sub]0[/sub]
a(t) = ?
v(t) = s/t
s(t) = ?
F(t) = ?

Fall 3: v(t) = a[sub]0[/sub] * t, d.h. v linear
a(t) = ?
v(t) = a[sub]0[/sub] * t
s(t) = ?
F(t) = ?


Tipp: Fall 3, s(t) und F(t)


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

Hallo Ralf,

Du unterschätzt meine Begriffsstutzigkeit, ich weiß nicht, was da anstelle der Fragezeichen hinkommt, würde ich selber gerne wissen.

Ist heute nicht mein Tag...

Gruß,
Dgoe