Einführung in die Quantenmechanik

Dgoe

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Ok,

draft:

0+b+bx++++

Also, da kommt immer nur das b dazu, b*0=0, etc., mal gucken hier:

(bx^3)/3! = (bx^3)/6 --> (3bx^2)/6 = (bx^2)/2 = (bx^2)/2!
Ja.

0 + b + bx + bx²/2! + bx[SUP]3[/SUP]/3! + ... = ?
= (e[SUP]bx[/SUP])' ... (Notation korrekt?)


Jetzt so verstanden:
Übungsaufgabe: wende nun völlig analog zu vorher einfachen Apostroph-Operator summandenweise auf die Funktion e[SUP](bx)[/SUP] an.
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"Übungsaufgabe: wende nun völlig analog zu vorher den einfachen Apostroph-Operator summandenweise auf die Funktion e[SUP](bx)[/SUP]an."

Nur den Tipp verstehe ich gerade nicht, noch eine Aufgabe, was ausklammern? Bin gerade auch kurz angebunden, morgen weiter, bitte um Nachsicht. Wollte das nur eben irgendwie hinkriegen, sah ganz einfach aus.

Gruß,
Dgoe
 
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ralfkannenberg

ralfkannenberg

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Bernhard schrieb:
= exp(x) * lim [1 + h/2 + h²/3! + h³/4! + ... )] =
exp(x)
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Hallo Bernhard,

wenn Du hier noch einen Zwischenschritt einfügst bin ich einverstanden.

exp(x) * lim [(1 + h/2 + h²/3! + h³/4! + ... )]

Wir schätzen wir lim[sub]h->0[/sub][(1 + h/2 + h²/3! + h³/4! + ... )] ab:

1. da h >= 0 ist lim[sub]h->0[/sub][(1 + h/2 + h²/3! + h³/4! + ... )] >= 1
2. lim[sub]h->0[/sub][(1 + h/2 + h²/3! + h³/4! + ... )] <= lim[sub]h->0[/sub][(1 + h/2 + h²/(2*2) + h³/(2*2*2) + ... )] = 1/(1-h), weil abs(h) für h->0 irgendwann mal echt kleiner als 1 wird und somit (1 + h/2 + h²/(2*2) + h³/(2*2*2) + ... ) eine geometrische Reihe ist, und der Grenzwert lim[sub]h->0[/sub]1/(1-h) = 1 ist.

Damit ist die Gleichheit elementar bewiesen und wir brauchen für den Beweis nur den von Dir genannten 1.Potenzsatz sowie die geometrische Reihe.

Sehr schön, danke Bernhard.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
Dgoe

Dgoe

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Oops. :eek:
"weniger ist mehr"
"Sparsamkeit ist auch eine Tugend"
Tja, Danke Ralf. Ich weiß manchmal nicht mehr, ob das alte Fehler von mir sind oder neue.

Jo, dann bis morgen.

Gruß,
Dgoe
 
Dgoe

Dgoe

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+
Mich hat es jetzt doch nachdenklich gemacht.
Denn ich erinnere mich an einen Moment, wo ich drauf und dran war zu fragen, wie das nochmal war.
Meine Merkregel, dass sich Addition zu Multiplikation meist so verhält wie Multiplikation zu Potenzen - was oft recht gut anschaulich funktioniert, finde ich - hab ich da nur versägt ... hätte sonst doch wieder gepasst.

Ist auch egal. Meine persönlichen Defizite sollen oder möchte ich hier als Threadopener gar nicht lange breit treten, das geht besser unter einem noch zu gründenden Nebenthread - von wem auch immer gegründet, beizeiten mir auch.

Es gibt hier an noch so vielen zahllosen Ecken für Laien Nachholbedarf, reichhaltig - nicht nur für mich.
Kompromisse wurden prognostiziert, ich bin zuerst kaum welche, dann sehr viele eingegangen. Sehr viele. Zu viele?


Ich betrachte das als Exkursion nur was mich betrifft. Hier geht es um eine Einführung in die Quantenmechanik - tout court.

Und ich ich denke, dass diese aus den vielfältigsten Sichtweisen heraus, Laie, Physiker und Mathematiker, u. a. durchaus gelungen ist. Bepackt mit Links und genügend Suchbegriffen.

Es gibt noch einen Link zu einer vorangegangenen Diskussion, den ich noch hinzufüge wollte vorne schon und ein Zitat von Tom,

das aber morgen erst.
.
Gruß,
Dgoe
 
ralfkannenberg

ralfkannenberg

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Dgoe schrieb:
Ich betrachte das als Exkursion nur was mich betrifft. Hier geht es um eine Einführung in die Quantenmechanik - tout court.
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Hallo Dgoe,

Du hast recht, ich will auch nicht Tom's sehr schönen Thread mit einer Einführung in die Differenzierbarkeit von Exponentialfunktionen zerreden.

Deswegen führe ich den Beweis rasch selber aus:

Definition des Operators einfacher Apostroph ('):
[1] (a*f(x) )' := a*f'(x)
[2] (f[sub]1[/sub](x) + f[sub]2[/sub](x))' := f[sub]1[/sub]'(x) + f[sub]2[/sub]'(x)
[3] K' := 0 mit K eine Konstante, die von x unabhängig ist
[4] (x[sup]n[/sup])' := n*x[sup](n-1)[/sup]


Auf deutsch:
[1] Vielfache kann man aus dem einfachen Apostroph-Operator "ausklammern"
[2] der einfache Apostroph-Operator einer Summe ist die Summe der beiden einfachen Apostroph-Operatoren
[3] der einfache Apostroph-Operator einer Konstanten ist 0
[4] der einfache Apostroph-Operator einer n.-ten Potenz ist dieses n multipliziert mit der (n-1).-ten Potenz

Sei e[sup](bx)[/sup] = 1 + bx + (bx)[sup]2[/sup]/2! + (bx)[sup]3[/sup]/3! + (bx)[sup]4[/sup]/4! + ...

Nun wenden wir den einfachen Apostroph-Operator summandenweise auf die Exponentialfunktion e[sup](bx)[/sup] an:

1.Summand:
1' = 0

2.Summand:
(bx)' = b

3.Summand:
((bx)[sup]2[/sup]/2!)' = b * 1/2! * 2 * (bx) = b * (bx)

4.Summand:
((bx)[sup]3[/sup]/3!)' = b * 1/3! * 3 * (bx)[sup]2[/sup] = b * 1/2 * (bx)[sup]2[/sup] = b * 1/2! * (bx)[sup]2[/sup] = b * (bx)[sup]2[/sup]/2!


5.Summand:
((bx)[sup]4[/sup]/4!)' = b * 1/4! * 4 * (bx)[sup]3[/sup] = b * 1/3! * (bx)[sup]3[/sup] = b * (bx)[sup]3[/sup]/3!

u.s.w.

Du siehst also: der einfache Apostroph-Operator des ersten Summanden verschwindet zu 0 und die einfachen Apostroph-Operatoren der anderen Summanden ergeben gerade den linearen Faktor b im Exponenten der Exponentialfunktion e[sup](bx)[/sup] multipliziert mit den Summanden eine Position zuvor. Und da es unendlich viele von denen gibt - und zwar abzählbar unendlich viele - d.h. zu jedem n in IN findet man so einen - erhält man wieder die vollständige Exponentialfunktion e[sup](bx)[/sup] multipliziert mit dem linearen Faktor b im Exponenten der Exponentialfunktion e[sup](bx)[/sup]:

(e[sup](bx)[/sup])' = b * e[sup](bx)[/sup]


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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Bernhard

Bernhard

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ralfkannenberg schrieb:
ich will auch nicht Tom's sehr schönen Thread mit einer Einführung in die Differenzierbarkeit von Exponentialfunktionen zerreden.
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Die Gefahr schätze ich als eher gering ein.

Im Gegenteil: Quantenmechanik ohne Mathematik ist ja wohl wie "Kaffee ohne Dosenmilch", um einen alten Werbeslogan zu benutzen. Dem Anfänger sei da auch gleich mitgeteilt, dass der Spruch aller Anfang ist schwer hier eher nicht zutrifft. Es wird mit Zeit eher noch schlimmer und komplizierter. Es ist also gut, sich schon am Anfang auf viel Mathematik auf relativ hohem Niveau einzustellen und die Zeitbudgets entsprechend einzuteilen. Im Erfolgsfall gilt man dafür auch als echt behornbrillter Supernerd (scherzhafte Anspielung auf das letzte Thema von Alex74).
 
Dgoe

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Ich trinke Kaffee immer schwarz. Dafür hänge ich an meinem Vollautomaten aber auch wie am Tropf.

@Bernhard:
Es ging hier von vornherein um die Mathematik dazu. Was wird denn schlimmer? Konkret?

@Ralf:
Du zerredest nichts, keine Sorge, das passt alles sehr gut zusammen.

Gruß,
Dgoe
 
Bernhard

Bernhard

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Dgoe schrieb:
Was wird denn schlimmer? Konkret?
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Hallo Dgoe,

als nächstes Stichwort wäre da wohl zu nennen, dass "Ralfs Apostroph-Operator" bis auf eine (multiplikative) Konstante mit dem Impulsoperator der eindimensionalen Quantenmechanik identisch ist. Und kennt man erstmal den Impulsoperator kann man auch den Kommutator mit dem Ortsoperator berechnen.
Davon ausgehend kann man die heisenbergsche Unschärferelation (HUR) beweisen, wie es in jedem einführenden Lehrbuch der Quantenmechanik nachzulesen ist, in denen dann natürlich auch weiterführende Themen vorgestellt werden.

Vorher müsste aber erst noch geklärt werden, was eine Wellenfunktion ist und wie sie zu interpretieren ist.
 
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TomS

TomS

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Bernhard schrieb:
Vorher müsste aber erst noch geklärt werden, was eine Wellenfunktion ist und wie sie zu interpretieren ist.
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Dazu zunächst mal die von mir eingeführte Wellengleichung für eine ebene Welle = ohne Wechselwirkung, anschließend die Schrödingergleichung mit Wechselwirkung.

Die Interpretation benötigt man dazu m.E. noch nicht! Es wird auch nicht einfacher, wenn wir diese Ebene bereits jetzt mit einbeziehen.
 
ralfkannenberg

ralfkannenberg

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ralfkannenberg schrieb:
Nun definieren wir formal einen Operator einfacher Apostroph ('), für den folgendes gelten soll:
[1] (a*f(x) )' := a*f'(x)
[2] (f[sub]1[/sub](x) + f[sub]2[/sub](x))' := f[sub]1[/sub]'(x) + f[sub]2[/sub]'(x)
[3] K' := 0 mit K eine Konstante, die von x unabhängig ist
[4] (x[sup]n[/sup])' := n*x[sup](n-1)[/sup]


Auf deutsch:
[1] Vielfache kann man aus dem einfachen Apostroph-Operator "ausklammern"
[2] der einfache Apostroph-Operator einer Summe ist die Summe der beiden einfachen Apostroph-Operatoren
[3] der einfache Apostroph-Operator einer Konstanten ist 0
[4] der einfache Apostroph-Operator einer n.-ten Potenz ist dieses n multipliziert mit der (n-1).-ten Potenz
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Hallo Dgoe,

ich muss der Vollständigkeit halber ergänzen, dass [4] üblicherweise ein Resultat ist und keine Definition. Üblicherweise bestimmt man wie Bernhard geschrieben hat den Differenzenquotienten, bildet dann den Differentialquotienten, d.h. man lässt das h gegen 0 gehen und wenn man das macht, erhält man [4] (für Polynome). Diesen Weg bin ich hier und hier ja auch gegangen.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
Dgoe

Dgoe

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Hallo,

zu diesem Thread ging es von meiner Seite im Hintergrund weiter. Gleichzeitig ist das Ganze vom Umfang her etwas 'versandet', insbesondere seit einer Grippe-Erkältung von mir letzte Woche völlig zum Erliegen gekommen.

Hier habe ich einmal die letzten offenen Tabs zum Thema mit Fokus auf Wellengleichungen zusammegetragen.




Dort finden sich viele tolle Informationen, das Ganze etwas zusammenhängender darzustellen, ist mir nur zur Zeit nicht möglich.

Viele Grüße,
Dgoe
 
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