Danke für Deine Hilfe, jonas.
Ich bin noch dabei, herauszufinden, wie man die Regel von L'Hospital herleitet. Diesbezüglich ist die Wikipedia leider nicht laiengerecht. Es gebe:
Da s(x) an jeder beliebigen Stelle x dieselbe Steigung besitzt, gilt auch: f '(x) = [s(x) - f(a)] / (x - a).
Die Sekantenfunktion lautet also: s(x) = f(a) + {[f(b) - f(a)] / (b - a)} * (x - a)
Die Hilfsfunktion h(x) = f(x) - s(x) ist demnach: h(x) = f(x) - f(a) + {[f(b) - f(a)] / (b - a)} * (x - a).
Die erste Ableitung von h(x) ist: h '(x) = f '(x) - [f(b) - f(a)] / (b - a).
Da sich f(x) und s(x) an den Stellen a und b schneiden, gilt: h(a) = h(b).
Da h(a) = h(b), muss die Steigung der Sekante durch die Punkte P1[a / h(a)] und P2[b / h(b)] gleich 0 sein.
Da nun die Tangente parallel zur Sekante liegen soll, gilt: h(x0) = 0, so also: 0 = f(x0) - [f(b) - f(a)] / (b - a).
Weiter komme ich aber nicht mehr. Ich verstehe nicht, wie man jetzt noch auf f '(x0) * [h(b) - h(a)] = h '(x0) * [f(b) - f(a)] kommen soll.
Ich bin noch dabei, herauszufinden, wie man die Regel von L'Hospital herleitet. Diesbezüglich ist die Wikipedia leider nicht laiengerecht. Es gebe:
- eine Funktion f(x);
- eine Sekante s(x), die f(x) an den Punkten P1[a / f(a)] und P2[b / f(b)], also an den Stellen Intervallanfang a und Intervallende b schneidet;
- eine Tangente t(x), die parallel zur Sekante verläuft und f(x) an der Stelle x0 berührt;
- eine Hilfsfunktion h(x), die als h(x) = f(x) - s(x) definiert ist.
Da s(x) an jeder beliebigen Stelle x dieselbe Steigung besitzt, gilt auch: f '(x) = [s(x) - f(a)] / (x - a).
Die Sekantenfunktion lautet also: s(x) = f(a) + {[f(b) - f(a)] / (b - a)} * (x - a)
Die Hilfsfunktion h(x) = f(x) - s(x) ist demnach: h(x) = f(x) - f(a) + {[f(b) - f(a)] / (b - a)} * (x - a).
Die erste Ableitung von h(x) ist: h '(x) = f '(x) - [f(b) - f(a)] / (b - a).
Da sich f(x) und s(x) an den Stellen a und b schneiden, gilt: h(a) = h(b).
Da h(a) = h(b), muss die Steigung der Sekante durch die Punkte P1[a / h(a)] und P2[b / h(b)] gleich 0 sein.
Da nun die Tangente parallel zur Sekante liegen soll, gilt: h(x0) = 0, so also: 0 = f(x0) - [f(b) - f(a)] / (b - a).
Weiter komme ich aber nicht mehr. Ich verstehe nicht, wie man jetzt noch auf f '(x0) * [h(b) - h(a)] = h '(x0) * [f(b) - f(a)] kommen soll.