ralfkannenberg
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Hallo zusammen,
mal ein bisschen Small-Talk über algebraische Körper. Wer in der Schule gut aufgepasst hat, hat im Rahmen von mathematischen Themen bei der Algebra noch die Begriffe der Gruppe, des Ringes und des Körpers in Erinnerung. Man kann die Details, was das genau ist, in der Wikipedia oder in jedem Algebrabuch nachlesen, wir wollen das hier nicht tun.
Aber man kann auch etwas populärwissensschaftlich beschreiben, was diese Strukturen können.
So ist eine Gruppe eine Menge von Objekten, auf der man sinnvoll eine Addition und eine Subtraktion machen kann; was sinnvoll bedeutet steht dann in der Wikipedia oder im Algebrabuch.
Ein Ring ist eine Menge von Objekten, auf der man sinnvoll eine Addition, eine Subtraktion und eine Multiplikation machen kann.
Ein Körper ist eine Menge von Objekten, auf der man sinnvoll alle 4 Grundrechenarten machen kann, also eine Addition, eine Subtraktion, eine Multiplikation und mit Ausnahme durch 0 eine Division machen kann.
Auch hier findet man jeweils in der Wikipedia bei den Definitionen, was "sinnvoll" bedeutet. Im Wesentlichen ist das die Abgeschlossenheit, d.h. das Ergebnis liegt wieder in der Menge, es ist stets das Assoziativgesetz und wo vorhanden das Distributivgesetz. Es ist "manchmal" das Kommutativgesetz, d.h. bei der Gruppe gar nicht, beim Ring für die Addition und beim Körper für die Addtion und für die Multiplikation; ausserdem gibt es jeweils auch Neutralelemente und inverse Elemente, mit der Einschränkung, dass das Nullelement kein multiplikatives Inverses haben kann - ein solches könnte man nicht widerspruchsfrei definieren, wobei das nichts mit Unendlichkeiten zu tun hat, das folgt bereits elementar auch in endlichen Mengen.
Ein Ring ist allerdings genügend allgemein definiert, dass hier ein Neutralelement und inverse Elemente nur für die Addition, nicht zwingend aber für die Multiplikation gefordert wird: der Ring der geraden Zahlen ist zweifelsohne eine sinnvolle Struktur, aber er hat kein Element 1.
Ich will den ersten Beitrag nicht überladen, die meisten von Euch kennen diese Begriffe vermutlich schon sehr gut, aber auch für die Laien, damit sie das mal in den richtigen Zusammenhang einordnen können.
Freundliche Grüsse, Ralf
mal ein bisschen Small-Talk über algebraische Körper. Wer in der Schule gut aufgepasst hat, hat im Rahmen von mathematischen Themen bei der Algebra noch die Begriffe der Gruppe, des Ringes und des Körpers in Erinnerung. Man kann die Details, was das genau ist, in der Wikipedia oder in jedem Algebrabuch nachlesen, wir wollen das hier nicht tun.
Aber man kann auch etwas populärwissensschaftlich beschreiben, was diese Strukturen können.
So ist eine Gruppe eine Menge von Objekten, auf der man sinnvoll eine Addition und eine Subtraktion machen kann; was sinnvoll bedeutet steht dann in der Wikipedia oder im Algebrabuch.
Ein Ring ist eine Menge von Objekten, auf der man sinnvoll eine Addition, eine Subtraktion und eine Multiplikation machen kann.
Ein Körper ist eine Menge von Objekten, auf der man sinnvoll alle 4 Grundrechenarten machen kann, also eine Addition, eine Subtraktion, eine Multiplikation und mit Ausnahme durch 0 eine Division machen kann.
Auch hier findet man jeweils in der Wikipedia bei den Definitionen, was "sinnvoll" bedeutet. Im Wesentlichen ist das die Abgeschlossenheit, d.h. das Ergebnis liegt wieder in der Menge, es ist stets das Assoziativgesetz und wo vorhanden das Distributivgesetz. Es ist "manchmal" das Kommutativgesetz, d.h. bei der Gruppe gar nicht, beim Ring für die Addition und beim Körper für die Addtion und für die Multiplikation; ausserdem gibt es jeweils auch Neutralelemente und inverse Elemente, mit der Einschränkung, dass das Nullelement kein multiplikatives Inverses haben kann - ein solches könnte man nicht widerspruchsfrei definieren, wobei das nichts mit Unendlichkeiten zu tun hat, das folgt bereits elementar auch in endlichen Mengen.
Ein Ring ist allerdings genügend allgemein definiert, dass hier ein Neutralelement und inverse Elemente nur für die Addition, nicht zwingend aber für die Multiplikation gefordert wird: der Ring der geraden Zahlen ist zweifelsohne eine sinnvolle Struktur, aber er hat kein Element 1.
Ich will den ersten Beitrag nicht überladen, die meisten von Euch kennen diese Begriffe vermutlich schon sehr gut, aber auch für die Laien, damit sie das mal in den richtigen Zusammenhang einordnen können.
Freundliche Grüsse, Ralf
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