Hallo,
zu meinem ersten Satz "
nicht-abelsche Eichtheorien zeigen häufig Confinement": m.W.n. hat das Confinement etwas mit dem Zentrum der Gruppe sowie der Darstellung, in der die Fermionen sitzen, zu tun; ich glaube mich zu erinnern, dass die G[SUB]2[/SUB] kein Coinfinement aufweist, da die Struktur des Zentrums anders ist als bei SU(N). Das hat man m.W.n. auch auf dem Gitter nachgeprüft - aber ich müsste das wieder nachlesen.
Zum zweiten Satz "...
erzwingen immer sogenannte Color-Singulets": das besagt ja etwas anderes. Ein Color-Singulet bedeutet nicht zwingend Confinement, d.h. es bedeutet nicht, dass die Ladungen "in einem kleinen Bereich" eingesperrt sind, bzw. es beudeutet kein linear ansteigendes Potential o.ä. Die Argumentation bzgl. Color-Singulet ist m.W.n. wie folgt. Alle mir bekannten Eichtheorien haben eine nicht-dynamische Euler-Lagrange-Gleichung, einen sogenannten Constraint G[SUP]a[/SUP](x), den ich als verallgemeinertes Gaußgesetz bezeichne. Im kanonischen Formalismus gilt für den Operator
[tex]G^a(x) = (DE)^a(x) + gj_0^a(x) = \nabla E^a(x) + gJ_0^a(x)[/tex]
[tex]G^a(x)|\text{phys.}\rangle = 0[/tex]
Dabei ist E[SUP]a[/SUP](x) das "chromo-elektrische" Feld, D die kovariante Ableitung in der adjungierten Darstellung, j[SUB]0[/SUB](x) die von fermionische Ladungsdichte und J[SUB]0[/SUB](x) die Gesamtladungsdichte, die auch von Eichfeldern getragen wird. Die zweite Gleichung folgt als Zwangsbedingung an physikalsiche Zustände und sichert deren Eichinvarianz.
Das Gaußsche Gesetz erfüllt eine lokale Algebra
[tex][G^a(x), G^b
] = if^{abc}\,G^c(x)\,\delta(x-y)[/tex]
wobei die f[SUP]abc[/SUP] die Strukturkonstanten der Eichgruppe repräsentieren. Außerdem gilt die Zeitunabhängigkeit, d.h. auch die Eichinvarianz des Hamiltonoperators
[tex][G^a(x), H] = 0[/tex]
Damit definiert man "erhaltene Ladungen" Q[f] mittels Testfunktionen f[SUP]a[/SUP](x); diese sind gleichzeitig die Generatoren von Eichtransformationen U[f] mit den Eichfunktion f[SUP]a[/SUP](x).
[tex]Q[f] = \int d^3x\,f^a(x)\,G^a(x)[/tex]
[tex]U[f] = e^{igQ[f]}[/tex]
Eichtransformatione werden erzeugt gemäß
[tex]O(x) \to {}^f\!O(x) = U[f]\,O(x)\,U^\dagger[f][/tex]
wobei der Feldoperator O(x) für das Eichfeld A(x), die Feldstärke E(x), Fermionefelder q(x) sowie weitere zusammengesetzte Operatoren wie z.B. die Ladungs- und Stromdichten stehen kann
Aufgrund der Zeitunabhängigkeiot des Gaußschen Gesetzes sind die Q[f] erhalten, aufgrund der Wirkung des Gaußschen Gesetzes auf physikalische Zustände annihilieren die Q's dieselben, und deswegen ist auch der unitäre Operator U[f] der Einheitsoperator im physikalischen Sektor des Hilbertraumes.
Nun ist aber
[tex]G^a(x) = (DE)^a(x) + gj_0^a(x) = \nabla E^a(x) + gJ_0^a(x)[/tex]
und damit entspricht
[tex]Q^a = \int d^3x\,G^a(x) = \int d^3x\,J_0^a(x) [/tex]
bis auf "Oberflächenterme" der chromo-elektrischen Gesamtladung. Für diese gilt die Algebra
[tex][Q^a, Q^b] = if^{abc}\,Q^c[/tex]
sowie automatisch
[tex]Q^a|\text{phys.}\rangle = 0[/tex]
D.h. bis auf "Oberflächenladungen im Unendlichen müssen die physikalischen Zustände Color-Singulets sein - was letztlich der Tatsache entspricht, dass physikalischen Zustände auch eichinvariant sind.
Damit folgt die sogenannte „Color-Neutrality“ letztlich algebraisch aus der Eichinvarianz, das „Color-Confinement“ dagegen ist ein (bis heute nicht vollständig verstandenes) dynamisches Phänomen.
