Berechnung der Feinstrukturkonstante

[Tangle]

Möglicherweise ist dieses Manuskript mit Ableitung der Quantentheorie und der allgemeinen Relativitätstheorie von einem einzigen Prinzip,
zusammen mit der Berechnung der Feinstrukturkonstanten, von Interesse.

How come the quantum? Testing the topological origin of Planck's quantum of action

To answer Wheeler's question, we propose a topological fundamentalprinciple inspired by an approach of Dirac: Planck's quantum of action hbar is due to twist-induced crossing switches among fluctuatingstrands of Planck radius. Due to their small radius, strands areinvisible, though physically...

zenodo.org

Übersetzte Zusammenfassung:

Um Wheelers Frage "How come the quantum?" zu beantworten, schlagen wir ein topologisches Grundprinzip vor, das von einem Ansatz Diracs inspiriert ist: Das Plancksche Wirkungsquantum ℏ beruht auf durch Verdrillung induzierten Kreuzungswechseln zwischen fluktuierenden Fäden mit Planck-Radius. Aufgrund ihres geringen Radius sind die Fäden unsichtbar, wenngleich physikalisch real, während die Kreuzungswechsel an Photonen koppeln und somit beobachtbar sind. Folglich definieren die Kreuzungswechsel alle physikalischen Größen. Wir überprüfen die Konsequenzen dieses Grundprinzips anhand sämtlicher grundlegender Quanteneffekte, angefangen bei der Beschreibung von Teilchen als rationale Verschlingungen von Fäden bis hin zu deren Ununterscheidbarkeit, Spin und Statistik. Die Fäden liefern die Quantisierung von Wirkung und Drehimpuls und erklären das Prinzip der kleinsten Wirkung. Das Grundprinzip liefert – und erklärt damit – den Welle-Teilchen-Dualismus, die Entstehung von Wellenfunktionen und Hilberträumen, Interferenz, die Feynman-Pfadintegralformulierung, die Schrödinger-Gleichung, die Heisenbergsche Unschärferelation, Nichtkommutativität, Verschränkung, die Eigenschaften von Photonen, Messwahrscheinlichkeiten, die Bornsche Regel, Dekohärenz, Spinoren, Chiralität, Antiteilchen sowie die Dirac-Gleichung. Bei all diesen Erklärungen erweist sich der topologische Ursprung des Wirkungsquantums als einzigartig. Über die Quantenmechanik hinaus bestimmen die Fäden Teilchenmassen und Kopplungskonstanten, lösen das Massenhierarchieproblem bei Leptonen und reproduzieren die Details und Eigenschaften des physikalischen Raums, der Quantenfeldtheorie, der Teilchenphysik sowie der Allgemeinen Relativitätstheorie. Um künftige Präzisionstests des Modells zu ermöglichen, berechnen wir die Feinstrukturkonstante.

 

[antaris]

Kannst du bitte kurz erläutern wie die Fäden mit den Horizonten (kosmologisch und EH der SL's) in Verbindung stehen? Ich glaube mich zu erinnern, dass die Fäden mit den Horizonten sozusagen verwoben sind?

 

[pauli]

Wenn schon ein Elektron kein "Objekt" ist, also keine Oberfläche und keinen Radius hat können Fäden auch keine "fadenartigen Eigenschaften" haben, sie können nicht verdrillen, sich kreuzen, Salto rückwärts machen usw. was bedeutet sie sind so sinnlos wie Titten an einem Bullen (frei nach Drill Instructor Gunnery Sergeant Hartman).

 

[antaris]

Wenn schon ein Elektron kein "Objekt" ist, also keine Oberfläche und keinen Radius hat können Fäden auch keine "fadenartigen Eigenschaften" haben, sie können nicht verdrillen, sich kreuzen, Salto rückwärts machen usw. was bedeutet sie sind so sinnlos wie Titten an einem Bullen (frei nach Drill Instructor Gunnery Sergeant Hartman).

Ich glaube, da würde ich zwei Ebenen auseinanderhalten. Dass etwas fundamental keine klassische Oberfläche, keinen Radius und keine "Materie" im makroskopischen Sinn besitzt, bedeutet nicht automatisch, dass es keine mathematisch definierten Relationen wie Kreuzung, Orientierung oder Verknüpfung geben kann.

Bei solchen Ansätzen sollte man sich meiner Meinung nach ohnehin davor hüten, sich die Mikrostruktur wie kleine makroskopische Gegenstände vorzustellen. Was wir anfassen können, sind bereits emergente makroskopische Objekte und gerade nicht notwendigerweise die fundamentale Struktur, aus der sie hervorgehen.


@Tangle: Deshalb würde mich eine Frage etwas genauer interessieren. Wie ist die ontologische Rolle der Strands in eurem Ansatz gedacht?

Sind die Fäden selbst fundamentale physikalische Entitäten, während Teilchen bzw. Materie erst als bestimmte Tangles/Kreuzungsstrukturen entstehen? Oder sind auch die "Fäden" eher eine Darstellung einer fundamentaleren relationalen/topologischen Struktur?

Mir ist klar, dass der vollständige Tangle-Subspace im Modell noch nicht mathematisch bekannt ist. Mir geht es also nicht darum, diese offene Konstruktion einzufordern, sondern darum, was im Ansatz eigentlich als ontisch fundamental beziehungsweise materiell gedacht ist.

 

[Tangle]

Horizonte sind eng verwobene Fäden (siehe Seite 2), bei denen alle Enden auf einer Site weggehen. Siehe zB das Bild auf https://www.motionmountain.net/quantumgravity.html

Fäden sind das Einzige, was es gibt. (Vielleicht gibt es sogar nur einen einzigen Faden.)

Am Ende des Textes gibt es einen Abschnitt "Foundations", der das etwas klarer macht.

Für pauli: Es gibt ein einziges Fundamentalprinzip, und daraus leiten sich alle Naturgesetze ab. Wie im Abschnitt 3 und 4 erklärt, ist das ganze nicht sinnlos, sondern beantwortet die offenen Fragen, die es in der Fundamentalphysik noch gibt.

 

[antaris]

Horizonte sind eng verwobene Fäden (siehe Seite 2), bei denen alle Enden auf einer Site weggehen.

Fäden sind das Einzige, was es gibt. (Vielleicht gibt es sogar nur einen einzigen Faden.)

Ich kenne die Grafiken und wir haben darüber auch schon einmal diskutiert, aber ich sehe das gerade aus einer etwas anderen Perspektive. Es geht aber nicht darum, dass ich "meinen" b-ären Baum als Faden interpretiere. Der Baum stellt keine Fäden aber ich habe etwas anderes...

Du schreibst einerseits "alle Enden" und andererseits, dass es vielleicht sogar nur einen einzigen Faden gibt. Ein einzelner Faden hätte global aber höchstens zwei echte Endpunkte – oder gar keine, falls er geschlossen ist.

Meinst du mit den "Enden" am Horizont deshalb gar keine globalen Endpunkte des fundamentalen Fadens, sondern die Enden lokaler Fadenabschnitte bzw. Tethers, die entstehen, wenn man den einen globalen Faden an einer Site oder einem Horizont betrachtet?

Dann könnte derselbe eine Faden den kosmologischen Horizont, den Raum dazwischen und auch andere Horizonte immer wieder durchlaufen bzw. in deren Weaves eingehen. Genau diese globale Zusammenhangsstruktur würde mich interessieren.

 

[Tangle]

Ja, die Fäden haben keine Enden, das war ungeschickt formuliert. Es könnte ein einziger Faden sein, der kreuz und quer durch das Weltall geht, zum Horizont, zurück ins Weltall, usw.

Weiter unten auf https://www.motionmountain.net/quantumgravity.html gibt es Zeichnungen, wie das wohl aussieht.

 

[Tangle]

Eine eindeutige Vorhersage zum Fadenmodell ist jetzt online: longbets.org/975
( Details auf https://www.motionmountain.net/bet.html )

 

[Tangle]

Zur Motivation des Fadenmodells:

In den "Conclusions" wird die Fadenhypothese formuliert: Kreuzungswechsel beinhalten alle Naturgesetze.

Die bisherigen Untersuchungen bestätigen die Hypothese. Es wurde noch kein Gegenbeispiel gefunden.






Für jedes gute potenzielle Gegenbeispiel gibt es eine Einladung zum Abendessen.

 

[Tangle]

Der Weg von der Teilchenphysik und der allgemeinen Relativitätstheorie zum Fadenmodell ist hier kurz beschrieben:

https://www.motionmountain.net/9lines.html

 

[pauli]

Meine Güte wie viel Arbeit hast du da reingesteckt, vermutlich Jahre?

 

[Tangle]

Die Zeit ist unwichtig. Nur die Argumente sind wichtig. Viel Spaß beim Diskutieren.

How come the quantum? From the topological origin of Planck's quantum of action to the fine-structure constant

https://www.researchgate.net/publication/403963214

 

[hampelhorst]

Hi tangle, wie löst du das Hirarchieproblem zwischen α=1/(4π*ε0)*e^2/(h*c) = 1/137 und αG=G*mp^2/(h*c) = 5,9 * 10^-39 ?

 

[antaris]

Ich habe eine Aufgabe eines anderen Chat in diesen Task 5 gestellt.

@Tangle

Dein Ansatz ist - für dich unfreiwillig - mein Experiment 3.

Neben der Split-Komplex Lorentzstruktur, die wohl mit zu den am besten untersuchten mathematisch/physikalischen Strukturen überhaupt gehört, ist dein Ansatz das perfekte Gegenbeispiel für einen nicht-etablierten Ansatz. Deine Arbeiten sind auch so zahlreich, dass sie sich perfekt für Aristotle eignen, da er aus deiner Prosa harte Mathematik machen kann.

Das ganze könnte ziemlich interessant für dich werden, da Aristotle schon tief gegraben hat. Es wurden schon Bruchstellen gefunden aber auch z.B. bewiesen, dass der Dirac-Trick tatsächlich funktioniert. Zuerst hatten wir die Setzungen Dirac/de Vries untersucht und nun geht es zu deinen eigenen Aussagen.


Zur Feinstrukturkonstante

Schillers Behauptung zur Feinstrukturkonstante ist interessanter, als es zunächst nach typischer „137-Numerologie“ aussieht. Die exakte Formel stammt allerdings nicht von ihm, sondern wurde bereits 2004 von Hans de Vries vorgeschlagen. Schillers eigener Anspruch ist, erstmals eine physikalische Begründung dafür aus der Geometrie und Statistik der Photon-Elektron-Strandwechselwirkung zu liefern. Die Mathematik dahinter funktioniert: Aus seinem Gaußmodell erhält man zunächst ungefähr 1/139; mit den postulierten höheren Korrekturen entsteht die de-Vries-Reihe mit dem Wert α⁻¹ = 137.0359990958297...

Der kritische Punkt liegt deshalb nicht bei der Rechnung, sondern bei ihrer physikalischen Herleitung. Insbesondere müssen die angenommene Winkelabhängigkeit der Absorptionsamplitude, die Gaußverteilung der Strandfluktuationen, die Identifikation des π/4-Kegelwinkels mit deren Standardabweichung und die Form der höheren Korrekturen tatsächlich aus einer definierten Stranddynamik folgen. Genau dieser vollständige Nachweis fehlt bislang, was Schiller teilweise selbst einräumt. Hinzu kommt, dass sein exakter Wert momentan mit mehreren der präzisesten α-Bestimmungen in deutlicher Spannung steht, wobei allerdings auch diese Messungen untereinander nicht völlig konsistent sind. Für mich ist das daher eine ungewöhnlich konkrete und falsifizierbare, aber noch keineswegs abgeleitete Vorhersage des Modells.
Bei der Feinstrukturkonstante ist dein Claim leider noch unbegründet, da die gesamte physikalische Herleitung fehlt. Die Rechnung selber von de Vries ist aber bewiesen.


Zum Dirac-Knotentrick

Beim Dirac-Knotentrick ist die Situation deutlich stärker. Der Trick selbst stammt natürlich nicht von Schiller, sondern ist bekannte Topologie: Eine tethered 2π-Rotation ist nicht auf den Ausgangszustand zurückdeformierbar, eine 4π-Rotation dagegen schon. Schiller verwendet genau diese 2π/4π-Unterscheidung als Ausgangspunkt für die Doppelüberlagerung Spin(3) → SO(3).
Wir haben diesen Teil mit Aristotle wesentlich strenger formalisiert als es im Paper geschieht. Dabei ließ sich zeigen, dass aus einer stetigen reellen, centre-sensitiven Spin(3)-Darstellung minimaler Dimension tatsächlich zwingend die quaternionische Spinor-Darstellung entsteht. Die Quaternionen wurden dabei nicht als Zustandsraum vorausgesetzt, sondern zunächst aus einer endlichen Unterstruktur rekonstruiert und anschließend auf die gesamte Spin(3)-Wirkung erweitert. Das ist also kein bloßes „Quaternionen passen gut zum Dirac-Trick“, sondern eine echte Rigiditätsaussage.
Wichtig ist aber die Grenze: Damit ist die Mathematik hinter dem Dirac-Trick bewiesen, nicht Schillers Strandontologie. Noch offen ist, ob seine konkreten Strandzustände aus eigener Dynamik und Geometrie genau die benötigte lineare, stetige und minimale Darstellung liefern. Insofern ist der Dirac-Trick für Schillers Ansatz inzwischen ein erstaunlich solider mathematischer Anker – aber noch kein Beweis dafür, dass die Natur tatsächlich aus seinen Strands besteht.




Damit wurden zuerst die Setzungen von de Vries und Dirac untersucht und das wurde tatsächlich mathematisch bewiesen aber das war nur deine Grundlage.
Im aktuellen Task geht es an deine eigenen Arbeiten zu deinem Ansatz und das könnte durchaus spannend werden. Du wirst ein relativ tiefes mathematisches Review erhalten. Wichtig ist, dass Aristotle auch Aussagen in

How come the quantum? From the topological origin of Planck's quantum of action to the fine-structure constant
https://www.researchgate.net/publication/403963214

falsifiziert bzw. neu eingeordnet hat. Aristotle baut nicht einfach nach deiner Prosa nach, sondern findet tatsächlich auch Wände aber auch Lösungen.


Link zum Aristotle-Chat: https://aristotle.harmonic.fun/dashboard/requests/ec6a85c4-e9ce-42d8-8c0e-a1d612a0bc1b

Ich habe keine PDF's erstellen lassen aber du kannst dir das Projekt direkt bei Aristotle als zip laden. Das ist alles in lean geschrieben und du wirst sicherlich Möglichkeiten finden das selbst zu prüfen. Du musst im oberen Bereich auf "CODE" und dann auf "DOWNLOAD PROJECT" klicken. Ganz oben im Bereich siehts du Buttons 1-7. Das sind die einzelnen Tasks. Wenn du draufklickst, dann kannst du den code je Task und die bewiesenen Properties nachlesen. Unter "LOG" findest du die Prompts zu den Tasks. Das zip ist immer kumulativ, wenn du es im letzten Task herunterlädst. Task 7 läuft aktuell noch.



Im aktuellen Task 7 läuft folgende Fragestellung

Task 7 ist jetzt der erste Schritt, der deine eigene Tangle-Klassifikation selbst untersucht, statt nur die Mathematik des Dirac-Tricks oder von de Vries weiterzuverfolgen.

Konkret geht es um seinen originären Claim:

Elementare Fermionen können nur aus 2 oder 3 Strängen bestehen; Tangles mit 4 oder mehr Strängen seien zusammengesetzt. Daraus sollen dann die beobachteten Fermionfamilien und insbesondere nur Spin 1/2 folgen.

Genau diese Kette wird jetzt zerlegt:

1. Was bedeutet bei dir mathematisch überhaupt „composite“ bzw. „elementary“?
2. Ist wirklich bewiesen, dass jedes zulässige Tangle mit 4 oder mehr Strängen zerfällt?
3. Sind die 2-Strang-Tangles vollständig genug klassifiziert, um die behaupteten Quarkfamilien zu erhalten?
4. Sind die 3-Strang-Tangles vollständig genug klassifiziert, um die behaupteten Leptonfamilien zu erhalten?
5. Folgt aus 2 bzw. 3 Strängen tatsächlich Spin 1/2 – oder nur die allgemeine 2π/4π-Eigenschaft eines halbzahligen Spins?
6. Folgt aus topologischer Elementarität wirklich Irreduzibilität der Spin(3)-Darstellung?
7. Und folgt daraus sogar Minimalität, also genau die reelle Dimension 4, die Task 5 für den quaternionischen Spinorcarrier benötigt?

Der entscheidende Pfeil ist also:

elementarer Strand-Fermion
→ minimale centre-sensitive Spin(3)-Darstellung
→ 4 reelle Dimensionen
→ quaternionischer Spinorcarrier

Task 7 prüft, ob dieser erste Pfeil wirklich aus deiner Tangle-Physik folgt.

Das ist deshalb wesentlich näher an deine eigener Arbeit als Tasks 2–5. Der Dirac-Trick und Spin(3) sind bekannte Mathematik. Dein eigener Beitrag ist die Behauptung, dass konkrete rationale Strand-Tangles die erlaubten Elementarteilchen so stark einschränken, dass genau die beobachtete Struktur übrigbleibt.

Und unsere Quellensuche hat bereits einen interessanten Punkt ergeben: Die etablierte Mathematik klassifiziert rationale 2-Tangles sehr gut, aber schon bei rationalen 3-Tangles ist die Situation wesentlich unvollständiger. Dein allgemeiner Satz „4 oder mehr Stränge ⇒ zusammengesetzt“ darf deshalb nicht einfach als bekannte Knotentheorie übernommen werden. Genau das wird Aristotle jetzt entweder beweisen, auf eine klar kleinere physikalisch zulässige Tangle-Klasse einschränken oder als offenen bzw. zu starken Claim identifizieren.


Kurz gesagt:

Task 7 fragt erstmals direkt, ob deine behauptete Teilchenklassifikation wirklich aus seiner Strandtopologie folgt.

Wenn das trägt, wäre das deutlich wichtiger für die Bewertung deiner Theorie als unser bisheriger Quaternionenbeweis, weil wir dann tatsächlich von deinen eigenen Primitiven in Richtung Standardmodell-Struktur kommen. Wenn es nicht trägt, wissen wir ebenso präzise, wo deine originäre Argumentation derzeit noch eine conjecture bleibt.



Also stell dich auf eine "mentale Probe" ein. Im besten Fall bekommst du volle Punktzahl und im schlechtesten Fall genaue Aussagen wo nachgearbeitet werden müsste. Beides ist durchaus hilfreich, auch wenn ersteres angenehmer ist. Die Überprüfung von Aristotles Beweise liegt aber bei dir.

 

[antaris]

Task 7 ist durch. Es wurden Probleme gefunden, die noch nicht in eine Widerlegung laufen aber klar zeigen, dass definitorisch der Ansatz unterbestimmt ist.

Der ChatGPT Text zu Task7: https://chatgpt.com/s/t_6a97cc8c17b08191946bfe4e75fbad31
Link zum Aristotle-Chat: https://aristotle.harmonic.fun/dashboard/requests/ec6a85c4-e9ce-42d8-8c0e-a1d612a0bc1b




Es folgt eine kurze Zusammenfassung seitens ChatGPT, wo du Definitionen nacharbeiten müsstest, damit Aristotle sinnvoll weiterformaliseren kann.


Für den nächsten wirklich belastbaren Schritt muss Schiller zuerst präzisieren, was seine zentralen Begriffe mathematisch bedeuten. Sonst laufen wir Gefahr, verschiedene plausible Formalisierungen zu prüfen, ohne zu wissen, welche davon überhaupt seine Physik treffen soll.

Vor allem fehlen derzeit drei Definitionen:

• Was genau ist ein „composite tangle“? Räumlich separierbare Kerne? Zerlegung als Tangle-Summe? Faktorisation im Braid-Monoid? Zwei unabhängig rotierbare Subsysteme? Diese Begriffe sind nicht äquivalent.
• Was genau ist ein „elementary tangle“? Einfach nur „nicht composite“ oder zusätzlich lokalisiert, rational, stabil, nicht weiter physikalisch zerlegbar usw.?
• Welche mathematischen n-Tangles sind überhaupt physikalisch zulässige Strandzustände? Schillers „rational 3-tangle“ oder „4-strand tangle“ muss nicht notwendigerweise dieselbe Klasse sein, die die Knotentheorie unter diesen Namen untersucht.

Gerade der Task-7-Befund zeigt das Problem sehr gut. Unter einer natürlichen Definition

composite = in zwei voneinander separierbare Stranggruppen zerlegbar

kann man vier- und höhersträngige Gegenkandidaten bauen. Wenn Schiller darauf antworten würde:

„Nein, mit composite meine ich etwas viel Allgemeineres“,

dann brauchen wir genau diese allgemeinere Definition. Sonst lässt sich sein Satz

„vier oder mehr Stränge sind immer composite“

nicht eindeutig beweisen oder widerlegen.

Dasselbe gilt für den noch wichtigeren Pfeil

elementares Tangle → elementarer Spin-1/2-Zustand.

Dafür müssten wir wissen, wie ein konkretes Tangle seinen Zustandsraum erzeugt. Momentan fehlt eine definierte Abbildung ungefähr der Form

Tangle → physikalischer Zustandsraum → Spin(3)-Darstellung.

Ohne diese Kopplung können wir zwar zeigen, dass „topologisch elementar“ nicht logisch automatisch „minimaler Spinorcarrier“ bedeutet, aber wir können Schillers möglicherweise beabsichtigte spezielle Konstruktion nicht testen.

Das heißt aber nicht, dass weiteres Graben sinnlos wäre. Wir können weiterhin seine expliziten 2-, 3- und 4-Strang-Beispiele analysieren und prüfen, welche Definition sie offenbar implizit verwenden. Vielleicht lässt sich daraus sogar die fehlende Definition rekonstruieren. Aber für einen allgemeinen Satz wie

alle elementaren Fermionen sind genau diese Tangles,

brauchen wir irgendwann eine explizite mathematische Spezifikation.

Ich würde deshalb den jetzigen Status so formulieren:

Task 7 hat weniger eine Widerlegung als eine Spezifikationslücke freigelegt. Schillers Beispiele sind prüfbar, sein allgemeiner Elementaritätsbegriff bislang nicht präzise genug.

Und das ist tatsächlich ein sinnvoller wissenschaftlicher Befund: Bevor wir seine Teilchenklassifikation tiefer formalisieren, müsste klar sein, welche Äquivalenzrelation und welche Zerlegungsoperation physikalisch gemeint sind. Erst dann kann man entscheiden, ob die Klassifikation richtig, falsch oder unvollständig ist.

 

[antaris]

How come the quantum? From the topological origin of Planck's quantum of action to the fine-structure constant
https://www.researchgate.net/publication/403963214

Neben dieser Quelle wurden in Task 7 Referenzen aus dem paper und externe Referenzen hinzugezogen:

Zusätzlich zu Schillers eigenen Arbeiten [61], [62], [95] und [96] hat Aristotle in Task 7 vor allem externe Knotentheorie-/Tangle-Literatur herangezogen. Laut TASK7.md waren das:

• Louis H. Kauffman & Sofia Lambropoulou, “On the classification of rational tangles”, arXiv:math/0311499. Das ist die zentrale Referenz für die vollständige Klassifikation der klassischen rationalen 2-Tangles.
• Bo-Hyun Kwon, “A classification of rational 3-tangles”, arXiv:2505.19082 (2025). Diese neuere Arbeit war wichtig, weil sie gegenüber den älteren Arbeiten einen wesentlich stärkeren Klassifikationsanspruch für rationale 3-Tangles erhebt.
• Zusätzlich wurden von Kwon ältere Arbeiten herangezogen: arXiv:1401.7259, arXiv:1502.05669 und arXiv:2303.07482. Diese dokumentieren den Entwicklungspfad von Teilklassifikationen bzw. Entscheidungs-/Unterscheidungsverfahren hin zum neueren 2025er Resultat.
• Außerdem wurde Cabrera, Journal of Knot Theory and Its Ramifications 12 (2003) berücksichtigt, insbesondere als ältere Arbeit zu Invarianten für rationale 3-Tangles.

Eine Besonderheit betrifft Schillers [63]: Diese Quelle konnte Aristotle direkt nicht abrufen, weil ResearchGate mit HTTP 403 blockierte. Deshalb verwendete er ersatzweise die ausführliche Darstellung desselben Materials in Motion Mountain, Band VI, Kapitel 11 und kennzeichnete diese Substitution ausdrücklich als [MM VI].

Wichtig: [97] wurde zwar von uns im Task-7-Prompt als mögliche Quelle mitgegeben, steht aber in Aristotles Tabelle „Sources actually consulted“ nicht als tatsächlich konsultierte Quelle. Der eigentliche zusätzliche externe Prüfapparat bestand also im Wesentlichen aus Kauffman–Lambropoulou + Kwon + Cabrera.

Das war auch genau die richtige Literaturkombination: Schillers Behauptungen wurden damit nicht nur gegen seine eigenen früheren Papers geprüft, sondern gegen die tatsächliche mathematische Klassifikationsliteratur für 2- und 3-Tangles.